2018届重庆中考复习：二次函数相关的最值问题练习(含答案)

二次函数相关的最值问题例1.如图，抛物线y＝－x2－4x＋5与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标；(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA、QC，求|QA－QC|的最大值及此时点Q的坐标；(3)连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE＋PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；(4)在(3)问的条件下，将P向下平移eq\f(3,4)个单位得到点H，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，KH，求线段OL＋LK＋KH的最小值，并求出此时点L的坐标；(5)在(3)问的条件下，将线段PE沿着直线AC的方向平移得到线段P′E′，连接DP′，BE′，求DP′＋P′E′＋E′B取最小值时点E′的坐标．3．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？说明理由．4．已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax－3a(a≠0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H，B关于直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(3)对称．(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于点K，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\r(2)x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D.(1)求平行线AD、BC之间的距离；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长．6．如图，抛物线y＝－eq\f(\r(3),4)x2－eq\f(9,4)x＋3eq\r(3)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点．(1)求点D的坐标和tan∠ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B、D之间的一个动点(不与B、D重合)，在直线BC上有一动点E，在x轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P→E→F的路径运动到点F，再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到A点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案例1.解：(1)∵y＝－x2－4x＋5＝－(x2＋4x)＋5＝－(x＋2)2＋9，∴D(－2，9)．当x＝0时，y＝5，∴C(0，5)．当y＝0时，x1＝1，x2＝－5，∴A(－5，0)，B(1，0)，∴yAC＝x＋5；(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QA＝QB，由C(0，5)和B(1，0)可求得yBC＝－5x＋5，根据三角形三边关系可知，当点Q，C，B三点共线时，|QB－QC|最大，即|QA－QC|最大，可求直线yBC＝－5x＋5与抛物线对称轴交点Q为(－2，15)，此时|QA－QC|最大值＝BC＝eq\r(26).解：(3)过P作PQ∥y轴，交AC于Q，再作FM⊥PQ于M，如图①，直线AC：y＝x＋5，设P(t，－t2－4t＋5)，Q(t，t＋5)，∴PQ＝(－t2－4t＋5)－(t＋5)＝－t2－5t.∵∠PEF＝∠CAO＝45°，∴PE＝PQ＝－t2－5t，∵PF∥CD，∴kCD＝－2＝kPF，∴tan∠MPF＝eq\f(1,2)，设FM＝n＝MQ，则PM＝2n，PQ＝3n，PF＝eq\r(5)n，即PF＝eq\f(\r(5),3)PQ，∴PE＋PF＝(3＋eq\r(5))n＝(1＋eq\f(\r(5),3))PQ，∴当PQ最大时，PE＋PF取最大值，而PQ＝－t2－5t＝PE＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，当t＝－eq\f(5,2)时，PE＋PF取最大值，此时Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(35,4)))，EF＝eq\r(2)PM＝eq\f(25\r(2),6).(4)如图②：在(3)问的条件下，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(35,4)))，∴Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，8))，作H关于y轴的对称点H1，作O关于抛物线对称轴对称点O1，所以O1(－4，0)，H1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，8))，连接O1H1，则O1H1长即为OL＋LK＋KH的最小值，直线O1H1：y＝eq\f(16,13)x＋eq\f(64,13)，∴直线O1H1与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时Leq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(32,13)))，OL＋LK＋KH的最小值＝O1H1＝eq\f(5,2)eq\r(17)；(5)在(3)问的条件下，P′E′＝PE＝eq\f(25,4)，在线段PE平移过程中，PE即P′E′长度不变，将DP′沿P′E′向右平移PE的长即eq\f(25,4)个单位，得到D′E′，如图③，则四边形D′DP′E′为平行四边形，故DP′＝D′E′，要使得DP′＋P′E′＋E′B最小，即DP′＋E′B最小，即要使D′E′＋E′B最小，当D′，E′，B三点共线时，D′E′＋E′B最小，设D′B与直线AC交于点E″.由题意知D′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)，9))，直线BD′：y＝eq\f(36,13)x－eq\f(36,13)，∴E″eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(101,23)，\f(216,23)))，即点E′的坐标为(eq\f(101,23)，eq\f(216,23))．针对训练：1.解：(1)∵直线y＝kx＋b经过A(－4，0)、B(0，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝0，,b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4)，,b＝3.))∴y＝eq\f(3,4)x＋3.(2)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N.设H(m，eq\f(3,4)m＋3)，则M(－4，eq\f(3,4)m＋3)，N(x，eq\f(3,4)m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°.∴∠MAH＝∠PHN，∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP.∵MA∥y轴，∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.∴eq\f(NH,3)＝eq\f(PN,4)＝eq\f(PH,5).∴eq\f(x－m,3)＝eq\f(（\f(3,4)m＋3）－（－x2＋2x＋1）,4)＝eq\f(d,5).整理得：d＝eq\f(4,5)x2－x＋eq\f(8,5)，所以当x＝eq\f(5,8)时，d取最小值，此时P(eq\f(5,8)，eq\f(119,64))．(3)抛物线的对称轴为直线x＝1，作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F.过点F作JK∥x轴，分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J，C′K⊥JK于点K，则C′(2，1)．设F(m，eq\f(3,4)m＋3)，∵C′F⊥AB，∴∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵C′K⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°，∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K.∴eq\f(AJ,FK)＝eq\f(JF,C′K)，∴eq\f(\f(3,4)m＋3,2－m)＝eq\f(m＋4,\f(3,4)m＋2)，解得m＝eq\f(8,25)或m＝－4(不符合题意，舍去)．∴F(eq\f(8,25)，eq\f(81,25))，∵C′(2，1)，∴FC′＝eq\f(14,5).∴CE＋EF的最小值＝C′F＝eq\f(14,5).2.解：(1)对于抛物线y＝－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x＋eq\r(3)，令x＝0，得y＝eq\r(3)，即C(0，eq\r(3))，D(2，eq\r(3))，∴DH＝eq\r(3)，令y＝0，即－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x＋eq\r(3)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴eq\f(OC,AH)＝eq\f(OA,EH)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,EH)，解得：EH＝eq\r(3)，则DE＝2eq\r(3)；(2)如图②，找点C关于DE的对称点N(4，eq\r(3))，找点C关于AE的对称点G(－2，－eq\r(3))，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF的周长＝CF＋PF＋CP＝GF＋PF＋PN最小，直线GN的解析式：y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)；直线AE的解析式：y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)；直线DE的解析式：x＝2.联立得：F(0，－eq\f(\r(3),3))，P(2，eq\f(\r(3),3))，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M(m，－eq\f(\r(3),3)m2＋eq\f(2\r(3),3)m＋eq\r(3))，则Q(m，eq\f(\r(3),3)m－eq\f(\r(3),3))(0≤m≤2)；∴S△MFP＝S△MQF＋S△MQP＝eq\f(1,2)MQ×2＝MQ＝－eq\f(\r(3),3)m2＋eq\f(\r(3),3)m＋eq\f(4\r(3),3)，∵对称轴为直线m＝eq\f(1,2)，而0≤eq\f(1,2)≤2，抛物线开口向下，∴m＝eq\f(1,2)时，△MPF的面积有最大值，为eq\f(17\r(3),12).3.解：(1)∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝m′(x－2)2＋k.将A(－1，0)，C(0，5)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m′＋k＝0，,4m′＋k＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m′＝－1，,k＝9，))∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5.(2)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3.令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±eq\r(6).∵点P在第一象限，∴P(2＋eq\r(6)，3)．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME＋PF最小，则四边形PMEF的周长最小．如图，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P(2＋eq\r(6)，3)，M2(1，－1)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2＋\r(6)）m＋n＝3，,m＋n＝－1，))解得：m＝eq\f(4\r(6)－4,5)，n＝－eq\f(4\r(6)＋1,5)，∴y＝eq\f(4\r(6)－4,5)x－eq\f(4\r(6)＋1,5).当y＝0时，解得x＝eq\f(\r(6)＋5,4).∴F(eq\f(\r(6)＋5,4)，0)．∵a＋1＝eq\f(\r(6)＋5,4)，∴a＝eq\f(\r(6)＋1,4).∴a＝eq\f(\r(6)＋1,4)时，四边形PMEF周长最小．4.解：(1)依题意，得ax2＋2ax－3a＝0(a≠0)，解得x1＝－3，x2＝1∵B点在A点右侧，∴A点坐标为(－3，0)，B点坐标为(1，0)，证明：∵直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(3)，当x＝－3时，y＝eq\f(\r(3),3)×(－3)＋eq\r(3)＝0，∴点A在直线l上．(2)过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，∵点H、B关于过A点的直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(3)对称，∴AH＝AB＝4，又∵点H为抛物线顶点，则点H在抛物线对称轴上，∴AH＝BH＝AB＝4.在Rt△ACH中，由勾股定理得CH＝eq\r(AH2－AC2)＝2eq\r(3)，∴顶点H(－1，2eq\r(3))，代入二次函数解析式，解得a＝－eq\f(\r(3),2)，∴二次函数解析式为y＝－eq\f(\r(3),2)x2－eq\r(3)x＋eq\f(3\r(3),2).(3)直线AH的解析式为y＝eq\r(3)x＋3eq\r(3)，直线BK的解析式为y＝eq\r(3)x－eq\r(3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x＋\r(3)，,y＝\r(3)x－\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2\r(3)，))即K(3，2eq\r(3))，则BK＝4，∵点H、B关于直线AK对称，∴HN＋MN的最小值是MB，过点K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则KE＝KD＝2eq\r(3)，QM＝MK，QE＝EK＝2eq\r(3)，AE⊥QK，∴BM＋MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝8，∴HN＋NM＋MK的最小值为8.5.解：(1)令y＝0，即－eq\f(1,2)x2＋eq\r(2)x＋3＝0，解得：x1＝－eq\r(2)，x2＝3eq\r(2)，∴A(－eq\r(2)，0)，B(3eq\r(2)，0)，∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，在Rt△BOC中，BO＝3eq\r(2)，CO＝3，∴BC＝3eq\r(3)，∴sin∠CBO＝eq\f(CO,BC)＝eq\f(\r(3),3).因为AD∥BC，∴sin∠BAD＝sin∠CBO＝eq\f(\r(3),3).过B作BH⊥AD于点H，∴sin∠BAD＝eq\f(BH,AB)＝eq\f(\r(3),3)，∴BH＝eq\f(4\r(6),3)；∴平行线AD、BC间的距离为eq\f(4,3)eq\r(6).(2)过P作PQ∥y轴，交BC于点Q，设P(m，－eq\f(1,2)m2＋eq\r(2)m＋3)，∵直线BC：y＝－eq\f(\r(2),2)x＋3，∴Q(m，－eq\f(\r(2),2)m＋3)，∴S△PCB＝eq\f(1,2)·PQ·(xB－xC)＝eq\f(3\r(2),2)(－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3\r(2),2)m)，当m＝eq\f(3\r(2),2)时，S△CPB最大，此时，P(eq\f(3\r(2),2)，eq\f(15,4))．取点B关于AD的对称点B′，将B′沿B′B方向平移eq\f(4\r(6),3)个单位长度得B′′，此时B′′与点H(eq\f(5\r(2),3)，－eq\f(8,3))重合．连接HP，交BC于点M，点M即为所求．∴(PM＋NM＋BN)最小＝PH＋MN＝eq\f(\r(5937),12)＋eq\f(4\r(6),3).6.解：(1)令－eq\f(\r(3),4)x2－eq\f(9,4)x＋3eq\r(3)＝0，解得x1＝－4eq\r(3)，x2＝eq\r(3)，∴A(－4eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，在y＝－eq\f(\r(3),4)x2－e