高中数学人教高中选修第二章圆锥曲线与方程椭圆及其标准方程张小宏

一、情境引入，认识椭圆公元前4世纪古希腊柏拉图学派数学家梅内克缪斯为了解决倍立方问题而发明了圆锥曲线。用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅氏分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线。梅内克缪斯在发现圆锥曲线时，并不知道圆锥曲线更多的性质。在他之后，亚里斯塔欧（Aristaeus,公元前4世纪下半叶）著有《立体轨迹》5卷，“立体轨迹”（Solid Loci）即指圆锥曲线。欧几里得（Euclid,公元前3世纪）著《圆锥曲线》4卷，两部著作对圆锥曲线有更深入系统的论述，可惜它们都失传了。欧几里得的著作是当时圆锥曲线知识的总汇，成了后来阿波罗尼斯《圆锥曲线》前四卷的基础。明清之际，西方圆锥曲线的零星知识传入中国，但圆锥曲线系统知识的传入是在鸦片战争之后发生的。中国数学家李善兰与英国传教士和汉学家艾约瑟（J.Edkins,1823～1905）合译译了《圆锥曲线说》三卷（1856），作为西方力学著作《重学》的附录出版。在李善兰与英国另一位传教士伟烈亚力

（A.Wylie,1815～1887）合译的微积分课本《代微积拾级》（1859）中，也涉及了许多圆锥曲线的知识。明清之际所用的译名“椭圆”，以及李善兰、艾约瑟和伟烈亚力等所用的译名，如、“抛物线”、“双曲线”、“长轴”、“短轴”、“渐近线”、“准线”等都沿用至今。

阿波罗尼奥斯用一个不过圆锥顶点的平面沿不同方向截同一个圆锥，截出三种不同的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）。阿波罗尼奥斯（公元前262年-公元前190年，古希腊数学家）《圆锥曲线论》书中他证明了近500个命题，几乎将圆锥曲线的性质网罗殆尽，但证明过程复杂。其中得到了一条很重要的性质：椭圆上的点到两个定点的距离之和为常数。一、椭圆定义的探究思考：到两个定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗？若定值等于两个定点距离,则动点轨迹是线段若定值小于两个定点距离,则动点轨迹不存在

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．

(大于|F1F2|)

二、定义椭圆，完善定义

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。椭圆的定义：

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．

(大于|F1F2|)

还记得求曲线方程的一般步骤吗？建系列式设点证明化简三、合理建系，推导方程问题

F1F2如何建系更好？（使方程最简洁）.圆与坐标轴的关系：圆关于X、Y、原点对称圆方程的最简单形式：以两定点、所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系

.设，则设M（x,y）为椭圆上的任意一点，再设M与F1、F2的的距离的和等于问题：如何化简含两个根式的方程？椭圆上点M的集合为问题：如何化简含两个根式的方程？椭圆上点的集合为整理得上式两边再平方，得整理得移项平方，得问题：如何化简含两个根式的方程？两边同时除以，得问题：如何化简含两个根式的方程？方法二：直接两边平方法问题：观察右图，你能从中找出表示

的线段吗？OxyF1F2P（1）则（1）式可化为：（2）令b=

从上述过程可以看到，（1）椭圆上任一点的坐标都满足方程（2）；（2）方程（2）的解对应坐标的点都在椭圆上。则（2）为椭圆的标准方程。（2）总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式特征：方程的左边是平方和，右边是1如果焦点在Y轴上，标准方程是什么呢？思考椭圆的定义图形

标准方程焦点坐标用a，b表示c焦点位置的判断

看标准方程的分母，谁的分母大就在其对应的轴上。（反之亦然）归纳方程特征MM椭圆的标准方程，体现数学式子的简洁美、对称美，内在的每一个字母a,b都赋予它深刻的含义，最能直观体现参数几何意义，方便对椭圆的研究。四、例题研讨，学以致用四、例题研讨，学以致用四、例题研讨，学以致用

例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-2，0)和F2(2,0)，并且经过点M，求它的标准方程。解法一

例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-2，0)和F2(2,0)，并且经过点M，求它的标准方程。

例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-2，0)和F2(2,0)，并且经过点M，求它的标准方程。例题研讨，学以致用解法二提高练习提高练习如果问题改成1:焦点在x轴上；2:表示椭圆，又该怎么思考？求椭圆标准方程的方法

待定系数法求椭圆的标准方程：

(1)判断焦点位置，设出标准方程；(先定位)(2)根据条件求出a、b、c的值。(再定量)

椭圆的定义一个定义：二类方程:五、小结归纳，提高认识平面内到两个定点F1、F2的