人教A版选择性必修第一册第一章第10课时用空间向量研究距离问题作业

第10课时用空间向量讨论距离问题1．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝eq\f(9,5)，那么点P到斜边AB的距离是3.解析：以点C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，eq\f(9,5))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，3，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－4，0，eq\f(9,5))，所以点P到AB的距离d＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－〔\f(|\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)〕2)＝eq\r(16＋\f(81,25)－\f(256,25))＝3.2．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，那么直线MN到平面ACD1的距离为eq\f(\r(3),2).解析：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，那么D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，eq\f(1,2))，A(1，0，0)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0，1，eq\f(1,2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1)．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·AD1＝0，)))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0.)))令x＝1，那么y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)．所以点M到平面ACD1的距离d＝eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(3),2).又eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))，故MN∥平面ACD1，故直线MN到平面ACD1的距离为eq\f(\r(3),2).3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，那么平面AMN与平面EFBD的距离为eq\f(8,3).解析：如下图，建立空间直角坐标系Dxyz，那么A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2，0，4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，所以EF∥MN，BF∥AM，EF⊄平面AMN，MN⊂平面AMN，所以EF∥平面AMN，同理BF∥平面AMN.又EF∩BF＝F，所以平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\o(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2z，,y＝－2z.))取z＝1，那么x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2，1)．平面AMN到平面EFBD的距离就是点A到平面EFBD的距离．由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，4，0)，所以平面AMN与平面EFBD间的距离d＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(8,3).4．空间直角坐标系Oxyz中有一点Α(－1，－1，2)，点Β是平面Οxy内的直线x＋y＝1上的动点，那么Α，Β两点的最短距离是eq\f(\r(34),2).解析：由于点B是Oxy平面内的直线x＋y＝1上的动点，所以可设点B(m，1－m，0)，由空间两点之间的距离公式，得|AB|＝eq\r(〔－1－m〕2＋[－1－〔1－m〕]2＋〔2－0〕2)＝eq\r(2m2－2m＋9)，令t＝2m2－2m＋9＝2(m－eq\f(1,2))2＋eq\f(17,2).当m＝eq\f(1,2)时，t的最小值为eq\f(17,2)，所以当m＝eq\f(1,2)时，|AB|的最小值为eq\r(\f(17,2))＝eq\f(\r(34),2)，即A，B两点的最短距离是eq\f(\r(34),2).5．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2eq\r(3)，M，N分别为AB，SB的中点，如下图．求点B到平面CMN的距离．解析：如图取AC的中点O，连接OS，OB.由于SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SO，AC⊥BO.由于平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，所以SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC，所以SO⊥BO.如下图，以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，那么B(0，2eq\r(3)，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2eq\r(2))，M(1，eq\r(3)，0)，N(0，eq\r(3)，eq\r(2))．所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝(3，eq\r(3)，0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，0，eq\r(2))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(CM,\s\up6(→))·n＝3x＋\r(3)y＝0，,\o(MN,\s\up6(→))·n＝－x＋\r(2)z＝0，))取z＝1，那么x＝eq\r(2)，y＝－eq\r(6)，所以n＝(eq\r(2)，－eq\r(6)，1)．所以点B到平面CMN的距离d＝eq\f(|n·\o(MB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(4\r(2),3).6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1.线段AP长度的取值范围为(D)A．[1，eq\r(2)]B．[1，eq\r(3)]C．[eq\f(\r(3),2)，eq\r(2)]D．[eq\f(\r(6),2)，eq\r(2)]解析：以D为原点DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，那么A(1，0，0)，B(1，1，0)，M(0，1，t)，D1(0，0，1)，P(x，y，1).eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y，1)，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1，0，t)，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1)).由AP⊥平面MBD1，那么eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0且eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x＋t＝0，,1－x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝1－t.))所以|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(〔x－1〕2＋y2＋1)＝eq\r(2〔t－\f(1,2)〕2＋\f(3,2)).当t＝eq\f(1,2)时，|eq\o(AP,\s\up6(→))|min＝eq\f(\r(6),2)，当t＝0或t＝1时，|eq\o(AP,\s\up6(→))|max＝eq\r(2)，所以eq\f(\r(6),2)≤|eq\o(AP,\s\up6(→))|≤eq\r(2).7．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝2，CC1＝2eq\r(2)，E为CC1的中点，那么点A到平面BED的距离是1，点C1到平面BED的距离是1.解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，那么D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2eq\r(2))，E(0，2，eq\r(2))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，2，eq\r(2))．设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量．那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\o(DE,\s\up6(→))＝2y＋\r(2)z＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－y，,z＝－\r(2)y，))令y＝1，那么x＝－1，z＝－eq\r(2)，所以n＝(－1，1，－eq\r(2))为平面BDE的一个法向量．又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，所以点A到平面BDE的距离是d＝eq\f(|n·\o(DA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(|－1×2＋0＋0|,\r(〔－1〕2＋12＋〔－\r(2)〕2))＝1.连接AC1，易知AC1∥平面BED，所以点C1到平面BED的距离也是1.8．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图，那么F为CD的中点，A(0，0，0)，B(4，0，0)，F(0，2eq\r(3)，0)，C(2，2eq\r(3)，0)，D(－2，2eq\r(3)，0)，P(0，0，4)，E(0，0，2)．设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，由eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－4，0，2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(3)，2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(n·\o(BE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，)))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4x＋2z＝0，,2x－2\r(3)y＋2z＝0，)))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝\f(z,2)，,y＝\f(\r(3)z,2)，)))取z＝2，那么x＝1，y＝eq\r(3)，得n＝(1，eq\r(3)，2)．由于eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2，2eq\r(3)，－4)，所以n·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2＋6－8＝0，所以n⊥eq\o(PC,\s\up6(→))，故PC∥平面BED，所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离．由于eq\o(EP,\s\up6(→))＝(0，0，2)，所以点P到平面BED的距离d＝eq\f(|\o(EP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4,\r(1＋3＋4))＝eq\r(2)，即PC到平面BED的距离为eq\r(2)，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等．9．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2.∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解析：(1)证明：由于直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，所以DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD.以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，M(1，eq\r(3)，2)，N(1，0，2)，D(0，0，0)，E(0，eq\r(3)，0)，C1(－1，eq\r(3)，4)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，4)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0)，设平面C1DE的法向量n＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC1,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)y＋4z＝0，,n·\o(DE,\s\up6(→))＝\r(3)y＝0，))取z＝1，得n＝(4，0，1)，由于eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝0，MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由(1)知C(－1，eq\r(3)，0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，平面C1DE的法向量n＝(4，0，1)，所以点C到平面C1DE的距离d＝eq\f(|\o(DC,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f