新教材人教A版必修第二册强化练1球的切接问题作业

微专题强化练(一)球的切、接问题(建议用时：40分钟)1．直三棱柱ABC­A′B′C′的全部棱长均为2eq\r(3)，那么此三棱柱的外接球的外表积为()A．12πB．16πC．28πD．36πC[由直三棱柱的底面边长为2eq\r(3)，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r＝2，又由直三棱柱的侧棱长为2eq\r(3)，那么球心到圆O的球心距d＝eq\r(3)，依据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满意勾股定理，易得球半径R满意：R2＝r2＋d2＝7，∴外接球的外表积S＝4πR2＝28π．]2．?九章算术?中，将底面积为长方形且有一条侧棱与底面积垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．假设三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为()A．8πB．12πC．20πD．24πC[将三棱锥P­ABC放入长方体中，如图，三棱锥P­ABC的外接球就是长方体的外接球．由于PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)．设外接球的半径为R，依题意可得2R2＝22＋22＋(2eq\r(3))2＝20，故R2＝5，那么球O的外表积为4πR2＝20π．应选：C．]3．正四棱锥P­ABCD的全部顶点都在球O的球面上，假设AB＝2eq\r(2)，且四棱锥P­ABCD的体积为eq\f(32,3)，那么球O的外表积为()A．25πB．eq\f(25π,3)C．eq\f(25π,4)D．5πA[设正四棱锥底面的中心为O1，连接PO1，OA，O1A，那么有eq\f(1,3)×PO1×(2eq\r(2))2＝eq\f(32,3)，可得PO1＝4．设外接球的半径为R，在Rt△OO1A中，OO1＝4－R，O1A＝2，那么有(4－R)2＋22＝R解得R＝eq\f(5,2)，所以球O的外表积为4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)＝25π．应选A．]4．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝12，BC＝10，AA′＝6，过A′D′作长方体的截面A′D′EF使它成正方形．求三棱柱AA′F­DD′E的外接球的外表积．[解](1)由于截面A′D′EF为正方形，所以A′D′＝A′F＝BC＝10，在Rt△A′AF中，AA′2＋AF2＝A′F2，即62＋AF2＝102，解得AF＝8，在直三棱柱AA′F­DD′E中，底面积Rt△A′AF的外接圆半径为eq\f(1,2)A′F＝eq\f(1,2)×10＝5，直三棱柱AA′F­DD′E的外接球球心的到平面A′AF的距离为eq\f(1,2)×10＝5，设三棱柱的外接球半径为R，那么R＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，所以三棱柱AA′F­DD′E的外接球的外表积S＝4πR2＝200π．5．正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(6)，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的外表积与体积．[解]如图，球O是正三棱锥P­ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R．PH是正三棱锥的高，即PH＝1．设E是BC的中点，连接PE，AE，H在AE上，△ABC的边长为2eq\r(6)，∴HE＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2eq\r(6)＝eq\r(2)，∴PE＝eq\r(3)，可以得到S△PAB＝S△PAC＝S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PE＝3eq\r(2)，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(6))2＝6eq\r(3)，∵VP­ABC＝VO­PAB＋VO­PAC＋VO­PBC＋VO­ABC，∴eq\f(1,3)×6eq\r(3)×1＝eq\f(1,3)×3eq\r(2)×R×3＋eq\f(1,3)×6eq\r(3)×R，解得R＝eq\f(2\r(3),2\r(3)＋3\r(2))＝eq\r(6)－2，∴S球＝4πR2＝4π(eq\r(6)－2)2＝8(5－2eq\r(6))π．∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(6)－2)3．6．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PB＝eq\r(3)a，PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，且PD是四棱锥的高．(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径；(2)求四棱锥外接球的半径．[解](1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．设球的半径为R，球心为S，如图，连接SA，SB，SC，SD，SP．由于最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S­PAB，S­PBC，S­PCD，S­PAD与四棱锥S­ABCD的高都为R，且它们恰好组成四棱锥P­ABCD．由于PD为四棱锥P­ABCD的高，PD＝AD＝BC＝a，四边形ABCD为正方形，且PA＝PC＝eq\r(2)a，PB＝eq\r(3)a，所以PB2＝PA2＋AB2＝PC2＋BC2，所以△PAB，△PCB为直角三角形且全等，所以S△PAB＝S△PBC＝eq\f(1,2)a×eq\r(2)a＝eq\f(\r(2),2)a2，S△PDA＝S△PDC＝eq\f(1,2)a2，S正方形ABCD＝a2，所以VP­ABCD＝eq\f(1,3)a2·a＝eq\f(1,3)a3，VS­PAB＝VS­PBC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)a2×R＝eq\f(\r(2),6)a2R，VS­PDA＝VS­PDC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×R＝eq\f(1,6)a2R，VS­ABCD＝eq\f(1,3)a2·R＝eq\f(1,3)a2R．由于VP­ABCD＝VS­PAB＋VS­PBC＋VS­PDA＋VS­PDC＋VS­ABCD，所以eq\f(1,3)a3＝eq\f(\r(2),3)a2R＋eq\f(1,3)a2R＋eq\f(1,3)a2R，即(eq\r(2)＋2)R＝a，所以R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))a，即球的最大半径为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))a．(2)由(1)知△PAB，△PCB为直角三角形，假设M为斜边PB的中点，那么MA＝MB＝MP＝M