新教材人教B版必修第三册7.1.2弧度制及其与角度制的换算作业

课时分层作业(二)弧度制及其与角度制的换算(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多项选择题)以下转化结果正确的选项是()A．60°化成弧度是eq\f(π,3) B．－eq\f(10,3)π化成度是－660°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)π D．eq\f(π,12)化成度是15°AD[对于A,60°＝60×eq\f(π,180)＝eq\f(π,3)；对于B，－eq\f(10π,3)＝－eq\f(10,3)×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5,6)π；对于D，eq\f(π,12)＝eq\f(1,12)×180°＝15°.]2．假设α＝－3，那么角α的终边在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限C[由于－π<－3<－eq\f(π,2)，所以α是第三象限角．]3．将1920°转化为弧度数为()A．eq\f(16,3) B．eq\f(32,3)C．eq\f(16π,3) D．eq\f(32π,3)D[1920°＝1920×eq\f(π,180)＝eq\f(32π,3).]4．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4) B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)A[－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4).所以－eq\f(11π,4)与－eq\f(3π,4)是终边相同的角，且此时|－eq\f(3π,4)|＝eq\f(3π,4)是最小的．]5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，那么该圆弧所对圆心角的弧度数为()A．eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\r(3) D．2C[如图，设圆的半径为R，那么圆的内接正三角形的边长为eq\r(3)R，所以圆弧长度为eq\r(3)R的圆心角的弧度数α＝eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).]二、填空题6．圆的半径是6cm，那么圆心角为15°的扇形面积是________．eq\f(3,2)πcm2[由于15°＝eq\f(π,12)，所以面积S＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,12)×36＝eq\f(3,2)π(cm2)．]7．(1)将－157°30′化成弧度为________．(2)将－eq\f(11π,5)化为度是________．(1)－eq\f(7,8)πrad(2)－396°[(1)－157°30′＝－157.5°＝－eq\f(315,2)×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(7,8)πrad.(2)－eq\f(11π,5)＝－eq\f(11π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)＝－396°.]8．假设角α的终边与eq\f(8,5)π角的终边相同，那么在[0,2π]上，终边与eq\f(α,4)角的终边相同的角是________．eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)[由题意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ，所以eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).]三、解答题9．角α＝1200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角．(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．[解](1)由于α＝1200°＝1200×eq\f(π,180)＝eq\f(20π,3)＝3×2π＋eq\f(2π,3)，又eq\f(π,2)<eq\f(2π,3)<π，所以角α与eq\f(2π,3)的终边相同，所以角α是其次象限的角．(2)由于与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋eq\f(2π,3)≤π，得－eq\f(7,3)≤k≤eq\f(1,6).由于k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－eq\f(10π,3)，－eq\f(4π,3)，eq\f(2π,3).10．如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．[解]取AB的中点D，连接OD，由于120°＝eq\f(120,180)π＝eq\f(2,3)π，所以l＝6×eq\f(2,3)π＝4π，所以eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为4π.由于S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如下图，有S△OAB＝eq\f(1,2)×AB×OD＝eq\f(1,2)×2×6cos30°×3＝9eq\r(3).所以S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3).所以弓形ACB的面积为12π－9eq\r(3).11．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，那么P∩Q＝()A．∅B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4}D．{α|0≤α≤π}B[如图，在k≥1或k≤－2时，[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]为空集，分别取k＝－1,0，于是P∩Q＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．]12．(多项选择题)某扇形的周长为6，面积为2，那么其圆心角的弧度数可能是()A．1 B．2C．4 D．5AC[设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α(0<α<2π)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)α·r2＝2，,2r＋α·r＝6，))解得α＝1或α＝4，应选AC．]13．(一题两空)弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，那么扇形的半径为________，圆心角所对的弧长为________．eq\f(1,sin1)eq\f(2,sin1)[设半径为R，那么Rsin1＝1，所以R＝eq\f(1,sin1)，所以弧长l＝eq\f(2,sin1).]14．假设角α的终边与角eq\f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，那么α＝________.－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)[由题意，角α与eq\f(π,3)终边相同，那么eq\f(π,3)＋2π＝eq\f(7,3)π，eq\f(π,3)－2π＝－eq\f(5,3)π，eq\f(π,3)－4π＝－eq\f(11,3)π.]15．如图，一长为eq\r(3)dm，宽1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板拦住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．[解]AA1所对的圆半径是2dm，圆心角为eq\f(π,2)，A1A2所对圆半径是1dm，圆心角是eq\f(π,2)，A2A3所对的圆半径是eq\r(3)dm，圆心角是eq\f(π,3)，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×eq\f(