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文档简介
1.1直线的倾斜角和斜率[学习目标]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率.【主干自填】1.直线的确定在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件是:已知直线上的一个点和这条直线的eq\o(□,\s\up3(01))方向.2.直线的倾斜角(1)倾斜角的概念在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按eq\o(□,\s\up3(02))逆时针方向绕着交点旋转到和直线leq\o(□,\s\up3(03))重合所成的角,叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行时,它的倾斜角为eq\o(□,\s\up3(04))0°.(2)倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是eq\o(□,\s\up3(05))0°≤α<180°.3.斜率的定义(1)把一条直线的倾斜角α的eq\o(□,\s\up3(06))正切值叫作这条直线的斜率,通常用k表示,即k=eq\o(□,\s\up3(07))tanα.(2)所有的直线都有eq\o(□,\s\up3(08))倾斜角,但不是所有直线都有斜率,倾斜角为eq\o(□,\s\up3(09))90°的直线没有斜率.(3)当倾斜角0°≤α<90°时,斜率是eq\o(□,\s\up3(10))非负的,倾斜角越大,直线的斜率就eq\o(□,\s\up3(11))越大;当倾斜角90°<α<180°时,斜率是eq\o(□,\s\up3(12))负的,倾斜角越大,直线的斜率就eq\o(□,\s\up3(13))越大.4.直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k=eq\o(□,\s\up3(14))eq\f(y2-y1,x2-x1).【即时小测】1.思考下列问题(1)已知直线上一个点,能确定一条直线吗?提示:不能.(2)所有直线都有倾斜角吗?所有直线都有斜率吗?提示:所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.2.下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是()A.①B.①②C.①③D.②④提示:A根据倾斜角定义判断.3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C.1D.eq\f(\r(2),2)提示:Ak=tan30°=eq\f(\r(3),3).4.给出下列说法:①任何一条直线都有唯一的倾斜角;②一条直线的倾斜角可以是-30°;③倾斜角是0°的直线只有一条;④平行于x轴的直线的倾斜角为180°.其中,正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3提示:B直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,故②④错;垂直于y轴的直线的倾斜角都是0°,故③错;①是正确的.例1一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.α B.180°-αC.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α[解析]如图,当直线l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当直线l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.[答案]D类题通法倾斜角的求法求直线的倾斜角主要是根据定义来求,解题的关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况讨论,讨论常见情形有:(1)0°角;(2)锐角;(3)90°角;(4)钝角.eq\a\vs4\al([变式训练1])如图,有三条直线l1,l2,l3,倾斜角分别是α1,α2,α3,则下列关系正确的是()A.α1>α2>α3B.α1>α3>α2C.α2>α3>α1D.α3>α2>α1答案D解析由倾斜角的定义可知0°<α1<90°,α2=90°,90°<α3<180°,∴α3>α2>α1.例2(1)直线过两点A(1,3),B(2,7),求直线的斜率;(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置,求直线l′的斜率.[解](1)因为两点的横坐标不相等,所以直线的斜率存在,根据直线斜率公式得k=eq\f(7-3,2-1)=4.(2)因为直线l的斜率k=1,所以直线l的倾斜角为45°,所以直线l′的倾斜角为45°+90°=135°,所以直线l′的斜率k′=tan135°=-1.类题通法直线斜率的求法求直线的斜率有两种思路:一是公式;二是定义.当两点的横坐标相等时,过这两个点的直线与x轴垂直,其斜率不存在,不能用斜率公式求解,因此,用斜率公式求斜率时,要先判断斜率是否存在.eq\a\vs4\al([变式训练2])已知直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),且l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解由于点Q1,Q2,Q3的横坐标与点P的横坐标均不相等,所以设k1,k2,k3分别表示直线l1,l2,l3的斜率,则k1=eq\f(-1-2,-2-3)=eq\f(3,5),k2=eq\f(-2-2,4-3)=-4,k3=eq\f(2-2,-3-3)=0.由k1>0知,直线l1的倾斜角为锐角;由k2<0知,直线l2的倾斜角为钝角;由k3=0知,直线l3的倾斜角为0°,既不是锐角,也不是钝角.例3已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求eq\f(y,x)的最大值和最小值.[解]如图所示,由于点P(x,y)满足关系式2x+y=8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).由于eq\f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=eq\f(2,3),所以可求得eq\f(y,x)的最大值为2,最小值为eq\f(2,3).类题通法转化思想在解题中的应用若所求最值或范围的式子可化为eq\f(y2-y1,x2-x1)的形式,则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解.eq\a\vs4\al([变式训练3])已知实数x,y满足y=x2-x+2(-1≤x≤1),试求eq\f(y+3,x+2)的最大值和最小值.解如图所示.由于点P(x,y)满足关系式y=x2-x+2(-1≤x≤1),可知点P(x,y)在曲线AB上移动,其中A(-1,4),B(1,2),设Q(-2,-3).由于eq\f(y+3,y+2)的几何意义是直线PQ的斜率且kAQ=7,kBQ=eq\f(5,3).所以eq\f(y+3,x+2)的最大值为7,最小值为eq\f(5,3).例4求证:A(-2,3),B(3,-2),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)))三点共线.[证明]∵A(-2,3),B(3,-2),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2))),∴直线AB的斜率kAB=eq\f(-2-3,3--2)=-1,直线AC的斜率kAC=eq\f(\f(1,2)-3,\f(1,2)--2)=-1,∴kAB=kAC,即直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A,∴直线AB与直线AC为同一条直线,∴A,B,C三点共线.类题通法三点共线问题的解法(1)求出任意两点连线的斜率.(2)说明任意两点的斜率相等.(3)说明两条直线经过同一点.eq\a\vs4\al([变式训练4])如果Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m,\f(5,2))),B(4,-1),C(-4,-m)三点在同一条直线上,试确定常数m的值.解由于A,B,C三点所在直线不可能垂直于x轴,因此设直线AB,BC的斜率分别为kAB,kBC.由斜率公式,得kAB=eq\f(\f(5,2)+1,2m-4)=eq\f(7,4m-8),kBC=eq\f(-1+m,4+4)=eq\f(m-1,8).∵A,B,C三点在同一条直线上,∴kAB=kBC.∴eq\f(7,4m-8)=eq\f(m-1,8),即m2-3m-12=0.解得m=eq\f(3+\r(57),2)或eq\f(3-\r(57),2).易错点⊳忽略直线斜率不存在的情况[典例]已知直线l过点A(1,2),B(m,3),求l的斜率.[错解]设直线l的斜率为k,则k=eq\f(2-3,1-m)=eq\f(1,m-1).[错因分析]当m=1时,直线l的斜率不存在,错解中忽略了这种情况导致求解不完全.[正解]当m=1时,直线l垂直于x轴,其倾斜角为90°,斜率不存在;当m≠1时,设直线l的斜率为k,则k=eq\f(2-3,1-m)=eq\f(1,m-1).综上可得,当m=1时,直线l的斜率不存在;当m≠1时,直线l的斜率为eq\f(1,m-1).课堂小结1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连,如下表:3.运用两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)求直线斜率k=eq\f(y2-y1,x2-x1)应注意的问题:(1)斜率公式与P1,P2两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2-x1,y2-y1中x2与y2对应,x1与y1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,1.在下列四个说法中,正确的说法共有()①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率;②直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°];③若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α;④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα.A.0个B.1个C.2个D.3个答案A解析由于倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,所以①④不正确;若一条直线的斜率为tanα=1,角α可以为225°,由直线的倾斜角的取值范围可知③不正确;由直线的倾斜角的定义可知直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°),所以②不正确,故选A.2.设直线l1的斜率大于0,直线l2的斜率小于0,直线l3的斜率不存在,并且l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则α1,α2,α3的大小关系是()A.α1<α2<α3B.α3<α2<α1C.α1<α3<α2D.α2<α3<α1答案C解析由斜率公式k=tanα(α≠90°)易知0°<α1<90°,90°<α2<180°,α3=90°,所以α1<α3<α2,故选C.3.直线l1的倾斜角为30°,斜率为k1,直线l2过点(1,2),(5,2+eq\r(5)),斜率为k2,则()A.k1>k2 B.k1<k2C.k1=k2 D.不能
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