北师大数学必修二讲义第二章解析几何初步11

1.1直线的倾斜角和斜率[学习目标]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.【主干自填】1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的eq\o(□,\s\up3(01))方向．2．直线的倾斜角(1)倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按eq\o(□,\s\up3(02))逆时针方向绕着交点旋转到和直线leq\o(□,\s\up3(03))重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为eq\o(□,\s\up3(04))0°.(2)倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是eq\o(□,\s\up3(05))0°≤α<180°.3．斜率的定义(1)把一条直线的倾斜角α的eq\o(□,\s\up3(06))正切值叫作这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝eq\o(□,\s\up3(07))tanα.(2)所有的直线都有eq\o(□,\s\up3(08))倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为eq\o(□,\s\up3(09))90°的直线没有斜率．(3)当倾斜角0°≤α<90°时，斜率是eq\o(□,\s\up3(10))非负的，倾斜角越大，直线的斜率就eq\o(□,\s\up3(11))越大；当倾斜角90°<α<180°时，斜率是eq\o(□,\s\up3(12))负的，倾斜角越大，直线的斜率就eq\o(□,\s\up3(13))越大．4．直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\o(□,\s\up3(14))eq\f(y2－y1,x2－x1).【即时小测】1．思考下列问题(1)已知直线上一个点，能确定一条直线吗？提示：不能．(2)所有直线都有倾斜角吗？所有直线都有斜率吗？提示：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．2．下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是()A．①B．①②C．①③D．②④提示：A根据倾斜角定义判断．3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．1D.eq\f(\r(2),2)提示：Ak＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).4．给出下列说法：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以是－30°；③倾斜角是0°的直线只有一条；④平行于x轴的直线的倾斜角为180°.其中，正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3提示：B直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，故②④错；垂直于y轴的直线的倾斜角都是0°，故③错；①是正确的．例1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．α B．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α[解析]如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.[答案]D类题通法倾斜角的求法求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论常见情形有：(1)0°角；(2)锐角；(3)90°角；(4)钝角．eq\a\vs4\al([变式训练1])如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是()A．α1>α2>α3B．α1>α3>α2C．α2>α3>α1D．α3>α2>α1答案D解析由倾斜角的定义可知0°<α1<90°，α2＝90°，90°<α3<180°，∴α3>α2>α1.例2(1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的斜率．[解](1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k＝eq\f(7－3,2－1)＝4.(2)因为直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l′的斜率k′＝tan135°＝－1.类题通法直线斜率的求法求直线的斜率有两种思路：一是公式；二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．eq\a\vs4\al([变式训练2])已知直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，且l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解由于点Q1，Q2，Q3的横坐标与点P的横坐标均不相等，所以设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率，则k1＝eq\f(－1－2,－2－3)＝eq\f(3,5)，k2＝eq\f(－2－2,4－3)＝－4，k3＝eq\f(2－2,－3－3)＝0.由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°，既不是锐角，也不是钝角.例3已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．[解]如图所示，由于点P(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于eq\f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq\f(2,3)，所以可求得eq\f(y,x)的最大值为2，最小值为eq\f(2,3).类题通法转化思想在解题中的应用若所求最值或范围的式子可化为eq\f(y2－y1,x2－x1)的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．eq\a\vs4\al([变式训练3])已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求eq\f(y＋3,x＋2)的最大值和最小值．解如图所示．由于点P(x，y)满足关系式y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，可知点P(x，y)在曲线AB上移动，其中A(－1,4)，B(1,2)，设Q(－2，－3)．由于eq\f(y＋3,y＋2)的几何意义是直线PQ的斜率且kAQ＝7，kBQ＝eq\f(5,3).所以eq\f(y＋3,x＋2)的最大值为7，最小值为eq\f(5,3).例4求证：A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))三点共线．[证明]∵A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，∴直线AB的斜率kAB＝eq\f(－2－3,3－－2)＝－1，直线AC的斜率kAC＝eq\f(\f(1,2)－3,\f(1,2)－－2)＝－1，∴kAB＝kAC，即直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一条直线，∴A，B，C三点共线．类题通法三点共线问题的解法(1)求出任意两点连线的斜率．(2)说明任意两点的斜率相等．(3)说明两条直线经过同一点．eq\a\vs4\al([变式训练4])如果Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m，\f(5,2)))，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值．解由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.由斜率公式，得kAB＝eq\f(\f(5,2)＋1,2m－4)＝eq\f(7,4m－8)，kBC＝eq\f(－1＋m,4＋4)＝eq\f(m－1,8).∵A，B，C三点在同一条直线上，∴kAB＝kBC.∴eq\f(7,4m－8)＝eq\f(m－1,8)，即m2－3m－12＝0.解得m＝eq\f(3＋\r(57),2)或eq\f(3－\r(57),2).易错点⊳忽略直线斜率不存在的情况[典例]已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求l的斜率．[错解]设直线l的斜率为k，则k＝eq\f(2－3,1－m)＝eq\f(1,m－1).[错因分析]当m＝1时，直线l的斜率不存在，错解中忽略了这种情况导致求解不完全．[正解]当m＝1时，直线l垂直于x轴，其倾斜角为90°，斜率不存在；当m≠1时，设直线l的斜率为k，则k＝eq\f(2－3,1－m)＝eq\f(1,m－1).综上可得，当m＝1时，直线l的斜率不存在；当m≠1时，直线l的斜率为eq\f(1,m－1).课堂小结1.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，1．在下列四个说法中，正确的说法共有()①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析由于倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以①④不正确；若一条直线的斜率为tanα＝1，角α可以为225°，由直线的倾斜角的取值范围可知③不正确；由直线的倾斜角的定义可知直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，所以②不正确，故选A.2．设直线l1的斜率大于0，直线l2的斜率小于0，直线l3的斜率不存在，并且l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则α1，α2，α3的大小关系是()A．α1<α2<α3B．α3<α2<α1C．α1<α3<α2D．α2<α3<α1答案C解析由斜率公式k＝tanα(α≠90°)易知0°<α1<90°，90°<α2<180°，α3＝90°，所以α1<α3<α2，故选C.3．直线l1的倾斜角为30°，斜率为k1，直线l2过点(1,2)，(5,2＋eq\r(5))，斜率为k2，则()A．k1>k2 B．k1<k2C．k1＝k2 D．不能