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文档简介
勾股定理的应用本课内容本节内容1.2结论直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方.
a2+b2=c2
直角三角形的性质定理:故AD的长为12cm.在Rt△ADB中,由勾股定理得AD2+BD2=AB2
,如图1-15,在等腰三角形ABC
中,已知AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC
于点D.
你能算出BC边上的高AD的长吗?例1图1-15举例解在△ABC中,∵
AB=AC
=
13
,BC
=10,AD⊥BC,∴
BD==5.∴动脑筋如图1-16,电工师傅把4m长的梯子AC
靠在墙上,使梯脚C
离墙脚B
的距离为1.5m,准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后,发现高度不够,于是将梯脚往墙脚移近0.5m,即移动到C′处.那么,梯子顶端是否往上移动0.5m呢?图1-16图1-17图1-16(“引葭赴岸”问题)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何?”意思是:有一个边长为10尺的正方形池塘,一棵芦苇生长在池的中央,其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少?例2宋刻《九章算术》书影举例分析
根据题意,先画出水池截面示意图,如图1-18.设AB
为芦苇,BC
为芦苇出水部分,即1尺,将芦苇拉向岸边,其顶部B点恰好碰到岸边B′.在Rt△ACB′中,根据勾股定理,得x2+52=(x+1)2,答:水池的深度为12尺,芦苇长为13尺.如图1-18,设水池深为x尺,则AC=x尺,AB=AB′=(x+1)尺.解图1-18因为正方形池塘边长为10尺,所以B′C=5尺.解得x=12.则芦苇长为13尺.1.如图,一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A
处测得小岛C
在船的北偏东60°方向;40min后,渔船行至B处,此时测得小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C
为中心,周围10海里以内有暗礁,问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险?练习解:过点C作CD⊥AB,垂足为D,D因CD距离不在以点C为中心,周围10海里范围内,所以轮船不会触礁.由已知得AB=30×(海里),在Rt△CBD中,∠BCD=30°,2.如图,AE是位于公路边的电线杆,高为12m,为了使电线CDE
不影响汽车的正常行驶,电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD,用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m,电线CD
与水平线AC
的夹角为60°.求电线CDE
的总长L(A,B,C
三点在同一直线上,电线杆、水泥杆的粗细忽略不计).在下图中,过D点作DM⊥AE,垂足为M.解M易知四边形MABD为矩形,MA=BD=6m,所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在Rt△EMD中,由勾股定理得所以L=ED+CD=(10+)(m).
M在Rt△DBC中,∠CDB=30°,设BC=x,DC=2x,由勾股定理得,x2+62=(2x)2解得x=我们已经知道勾股定理:“直角三角形两直角边a,b
的平方和,等于斜边c的平方.”那么,这个定理的逆命题成立吗?探究如图1-19,在△ABC
中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2
,那么△ABC是直角三角形吗?图1-19
如果我们能构造一个直角三角形,然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等,即可得△ABC是直角三角形.∵
a2+b2=c2
,图1-20∴
=c.如图1-20,作Rt,使∠=90°,=a,=b.△在Rt中,根据勾股定理得,2=a2+b2,△∴
2=c2.∴△ABC是直角三角形.先构造满足某些条件的图形,然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系,完成证明,这也是常用的问题解决策略.在△ABC和中,∵
BC==a,AC==b,AB==c,△∴△ABC≌△∴∠C=∠
=90°.结论如果三角形的三条边长a,b,c满足关系:,那么这个三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理:上述定理被称为勾股定理的逆定理.分析根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.例3判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.(1)a=6,b=8,c=10;(2)a=12,b=15,c=20.举例
满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.(2)
∵122+152=369,202=400,∴
122+152≠202.∴这个三角形不是直角三角形.(1)
∵
62+82=100,102=100,∴
62+82=100.∴这个三角形是直角三角形.解(1)a=6,b=8,c=10;(2)a=12,b=15,c=20.例4如图1-21,在△ABC中,已知AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.求DC的长.在△ABD中,AB=10,BD=6,AD=8,∵
62+82=102
,解即AD2+BD2=AB2
,∴△ADB为直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中,DC2=AC2-
AD2,∴图1-21举例练习1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.(1)
a=8,b=15,c=17;(2)a=10,b=24,c=25;(3)a=4,b=5,c=.答:(1)是
;(2)不是;(3)是.2.如图,在边长为4的正方形ABCD中,F为CD的中点,E是BC上一点,且EC=BC.求证:△AEF是直角三角形.证明:由已知可得DF=CF=2,
EC=1,BE=3.在Rt△ADF中,由勾股定理得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得AE2=25,EF2=5.在△AEF中,有AE2=AF2+
EF2,所以△AEF是直角三角形.中考试题例
如图所示,在Rt△ABD中,∠D=90°,C为AD上一点,则x可能是().
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