勾股定理的应用（Ⅱ）

勾股定理的应用本课内容本节内容1.2结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.

a2+b2=c2

直角三角形的性质定理：故AD的长为12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2+BD2=AB2

，如图1-15，在等腰三角形ABC

中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC

于点D.

你能算出BC边上的高AD的长吗？例1图1-15举例解在△ABC中，∵

AB=AC

=

13

，BC

=10，AD⊥BC，∴

BD==5.∴动脑筋如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC

靠在墙上，使梯脚C

离墙脚B

的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？图1-16图1-17图1-16（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？例2宋刻《九章算术》书影举例分析

根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB

为芦苇，BC

为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.解图1-18因为正方形池塘边长为10尺，所以B′C=5尺.解得x=12.则芦苇长为13尺.1.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A

处测得小岛C

在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C

为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？练习解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，D因CD距离不在以点C为中心，周围10海里范围内，所以轮船不会触礁.由已知得AB=30×（海里），在Rt△CBD中，∠BCD=30°，2.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE

不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD

与水平线AC

的夹角为60°.求电线CDE

的总长L（A，B，C

三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.在下图中，过D点作DM⊥AE，垂足为M.解M易知四边形MABD为矩形，MA=BD=6m，所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在Rt△EMD中，由勾股定理得所以L=ED+CD=(10+)（m）.

M在Rt△DBC中,∠CDB=30°,设BC=x,DC=2x，由勾股定理得,x2+62=(2x)2解得x=我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b

的平方和，等于斜边c的平方.”那么，这个定理的逆命题成立吗？探究如图1-19，在△ABC

中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2

，那么△ABC是直角三角形吗？图1-19

如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.∵

a2+b2=c2

，图1-20∴

=c.如图1-20，作Rt，使∠=90°，=a，=b.△在Rt中，根据勾股定理得，2=a2+b2，△∴

2=c2.∴△ABC是直角三角形.先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略.在△ABC和中，∵

BC==a，AC==b，AB==c，△∴△ABC≌△∴∠C=∠

=90°.结论如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：，那么这个三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理：上述定理被称为勾股定理的逆定理.分析根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.例3判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.举例

满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.（2）

∵122+152=369，202=400，∴

122+152≠202.∴这个三角形不是直角三角形.（1）

∵

62+82=100，102=100，∴

62+82=100.∴这个三角形是直角三角形.解（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.例4如图1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，∵

62+82=102

，解即AD2+BD2=AB2

，∴△ADB为直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2=AC2-

AD2，∴图1-21举例练习1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）

a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=.答：（1）是

；（2）不是；（3）是.2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.求证：△AEF是直角三角形.证明：由已知可得DF=CF=2，

EC=1，BE=3.在Rt△ADF中，由勾股定理得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得AE2=25，EF2=5.在△AEF中，有AE2=AF2+

EF2，所以△AEF是直角三角形.中考试题例

如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）.