无理根式的不定积分

无理根式的不定积分演示文稿目前一页\总数四十三页\编于八点（优选）无理根式的不定积分目前二页\总数四十三页\编于八点有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.其一般形式为一、有理函数的积分（1）目前三页\总数四十三页\编于八点假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)目前四页\总数四十三页\编于八点有理函数化为部分分式之和的一般步骤：第一步对分母

在实系数内作标准分解：

第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：目前五页\总数四十三页\编于八点（1）分母中若有因式，则分解后为特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为目前六页\总数四十三页\编于八点特殊地：分解后为目前七页\总数四十三页\编于八点真分式化为部分分式之和的待定系数法例1目前八页\总数四十三页\编于八点代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2目前九页\总数四十三页\编于八点例3整理得目前十页\总数四十三页\编于八点例4求积分解目前十一页\总数四十三页\编于八点例5求积分解目前十二页\总数四十三页\编于八点例6求积分解令目前十三页\总数四十三页\编于八点目前十四页\总数四十三页\编于八点说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：对于目前十五页\总数四十三页\编于八点则记令目前十六页\总数四十三页\编于八点目前十七页\总数四十三页\编于八点令目前十八页\总数四十三页\编于八点有理函数的原函数都是初等函数.结论所以注

用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦。所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。目前十九页\总数四十三页\编于八点例7解目前二十页\总数四十三页\编于八点由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角有理式．三角有理式的定义二、三角函数有理式的不定积分一般记为三角有理函数的积分，一般有如下规律（一）目前二十一页\总数四十三页\编于八点（二）万能代换令（万能置换公式）目前二十二页\总数四十三页\编于八点例8解法一：目前二十三页\总数四十三页\编于八点解法二：(用初等化简)解法三：(用初等化简,并凑微)目前二十四页\总数四十三页\编于八点例9求积分解由万能置换公式目前二十五页\总数四十三页\编于八点目前二十六页\总数四十三页\编于八点例10求积分解（一）目前二十七页\总数四十三页\编于八点解（二）修改万能置换公式,令目前二十八页\总数四十三页\编于八点解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.目前二十九页\总数四十三页\编于八点例11求积分解目前三十页\总数四十三页\编于八点目前三十一页\总数四十三页\编于八点1、讨论类型解决方法作代换去掉根号.例12求积分解令三、简单无理函数的积分目前三十二页\总数四十三页\编于八点目前三十三页\总数四十三页\编于八点例13求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.目前三十四页\总数四十三页\编于八点例14求积分解先对分母进行有理化原式目前三十五页\总数四十三页\编于八点由于若记则此二次三项式必属于以下三种情形之一：因此上述无理根式的不定积分也就转化为:目前三十六页\总数四十三页\编于八点目前三十七页\总数四十三页\编于八点例15求

解［解法一］按上述一般步骤，求得目前三十八页\总数四十三页\编于八点由于因此．目前三十九页\总数四十三页\编于八点[解法二]若令则可解出于是所求不定积分化为有理函数的不定积分

目前四十页\总数四十三页\编于八点注1可以证明

．所以两种解法所得结果是一致的．此外，上述结果对同样成立．目前四十一页\总数四十三页\编于八点这类变换称为欧拉变换.目前四十二页\总数四十三页\编于八点简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.