Leslie模型(数学建模)

关于人口预测、控制及其他相关问题的研究2021/5/912021/5/92关于建立人口增长模型,我们考虑了两条主要思路:一.以微分方程为主要手段:二.以高等代数为主要手段:2021/5/93提出问题:我们首先考虑Malthus模型：x(t)为人口总数，r为自然增长率；于是可以得出：

x(t)=x0er(t-t0)2021/5/94改进的模型

设地球能容纳的总人数为k，随着人口的增长，出生率必然会下降，于是r与x存在着一定的关系。基于上述假设，我们选择一种简单的函数。r(x)=r0(1-x/k)r0为特定的常数解得：

x(t)=k/[1+(k/x0-1)e-r(t-t0)]2021/5/95分析以上两个模型：每个个体的出生率与死亡率是相同的。但实际上不同年龄的年的生育率与死亡率有很大的不同。基于这种考虑，下面将建立一个人口按年龄分布的模型2021/5/96定义r表示年龄，函数F（r,t)为t时刻年龄小于r的人口总数，称其为人口分布函数令p(r,t)=F/rp(r,t)为年龄密度函数则t时刻年龄处在[r,r+dr)的人口总数为p(r,t)dr设µ(r,t)为t时刻年龄为r的人的死亡率，t时刻年龄在[r,r+dr)单位时间死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)dree浙江大学竺可桢学院多学科讨论组2021/5/97分析：下面考虑从t到t+dt这一过程的人口变化：年龄处在[r,r+dr)到t+dt时刻活着的人的年龄变为[r+dt,r+dr+dt)而这一时刻死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)drdt则p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr=µ(r,t)p(r,t)drdtp/r+p/t=-µ(r,t)p(r,t)p(r,0)=p0(r)p(0,t)=f(t)eeee2021/5/98p0(r-t)ef(t-r)e在社会比较安定的情况下,死亡率大致与时间无关.μ(r,t)=μ(r)p(r,t)=0≤t≤rt>r2021/5/99分析：1.当t<r时，p(r,t)完全由年龄为r-t的人口的初始密度及这些人的死亡率决定。2.t>r时，p(r,t)完全由未来的生育状况f(t-r)及死亡率决定。back2021/5/910两个重要模型:KeyfitzLeslie2021/5/911一些定义:n为人类的年龄上限F(x)=x岁的妇女所生的婴儿数/x岁的总人口数S(x)=x岁人的存活率P(x)=初始时x岁的总人口数Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数K=……P(0)P(1)P(n)I(t)=……Nt(0)Nt(1)Nt(n)2021/5/912数学表达:第一年新生儿的总数:F(0)•P(0)+F(1)•P(1)+•••+F(n)•P(n)第一年x岁人口总数:N1(x)=S(x-1)•P(x-1)第一年末人口总数:F(0)•P(0)+F(1)•P(1)+•••+F(n)•P(n)+

S(0)•P(0)+S(1)•P(1)+•••+S(n-1)•P(n-1)2021/5/913建立模型:构造n+1阶方阵M=F(0)F(1)F(2)•

•

•F(n)S(0)

S(1)S(2)

•

•

•S(n-1)那么I

(1)=MKI

(t)=MtKback2021/5/914考虑到在一段稳定的时间段内:总的女性人口数比上总的男性人口数为一个近似为1的定值.为了更为确切地分析女性个体数量的分布对总人口数的影响,我们单独把女性人口数作为研究对象.另外在这个模型中我们还加上了人口迁移对起其总数的影响.2021/5/915一些定义:n为人类的年龄上限a(x)=x岁的妇女所生的婴数/x岁的妇女总数b(x)=x岁人的存活率h(x)=x岁的妇女迁移数/x岁的妇女总数Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数K=I(0)I(t)=……Nt(0)Nt(1)Nt(n)H(t)=h(0)h(1)

…..h(n)2021/5/916数学表达:第一年新生女婴的总数:a(0)•Nt(0)+a(1)•Nt(1)+•••+a(n)•Nt(n)第一年x岁女性人口总数:N1(x)=b(x-1)•Nt(x-1)-h(x-1)•b(x-1)•Nt(x-1)=(1-h(x-1))•b(x-1)•Nt(x-1)第一年末女性人口总数:a(0)•Nt(0)+a(1)•Nt(1)+•••+a(n)•Nt(n)+(1-h(0))•b(0)•Nt(0)+•••+(1-h(n-1))•b(n-1)•Nt(n-1)2021/5/917建立模型:构造n+1阶方阵L=a(0)a(1)a(2)•

•

•a(n)b(0)

b(1)b(2)

•

•

•b(n-1)那么I

(1)=(L-H)K;I

(t)=(L-H)I

(t-1)I

(t)=(L-H)tK2021/5/918定理：Leslie矩阵具有唯一的正特征根1，与之对应的特征向量为N=（1k/(P0P1…Pk-1),1k-1(P1…Pk-1),…,1/Pk-1,1)T2021/5/919A属于1的特征向量N=n0..nk解线性方程组AN=1N

1k/(P0P1…Pk-1)

N=1k-1(P1…Pk-1)

1/Pk-112021/5/920当且仅当1=1时，NjN，人口总量将趋于稳定且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于一个定值。在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数，事实上人们只能通过控制bj的值来保证1=1。2021/5/921定理：若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相邻的bi>0则|i|<|1|且Nj/1jCN其中C为某一常数，由值bi，Pi及N0决定本定理的条件通常能够得到满足，故在j充分大时有Nj=C1jN，即各年龄组的人口比例总会趋于稳定，且Nj+1=1Nj。若1>1，种群增大，1<1时，种群减小。2021/5/922记R=f1(1)=b0+P0b1+…+(P0…Pk-1)bk易见R即为女性一生所生女孩的平均值。有定理：1=1的充要条件为R=1但并非每一个均能活到足够的年龄并生下R个女孩，每一妇女可生子女数可定为某一略大于2的数，称为临界生育率。据统计，中国妇女的临界生育率为2.2左右。2021/5/923要实现对人口增长的控制只能采取降低人口出生率的办法。记j时段I年龄组中女性所占的百分比为Ki（j）并设i1,…,i2为育龄年龄组，则j时段新生儿总数为

N(0,j+1)=bi(j)Ki(j)N(i,j)N(i,j+1)=Pi-1N(i-1,j)i=1,…,m目前我国人口中中年青人的比例很大，加上计划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人口的严重老龄化，待这一代人越出m组后，又会使人口迅速青年化而走向另一个极端。2021/5/924为减少这种年龄结构上的振荡，人们又引入了一个控制变量h(i,j),使bi(j)=h(i,j)

且h(i,j)=1h(i,j)称为女性的生育模式，用来调整育龄妇女在不同年龄组内生育率的高低。为简便可通过控制结婚年龄和两胎之间的年龄差来接近h(i,j)的理想值。于是Leslie模型可以如下形式上的改变：

Nj+1=[A(j)+B(j)]Nj2021/5/925

0…

…

…0

P0(j)A(j)=0

00Pm-1(j)0其中

0…

b`i1(j)…b`i2(j)0…0B(j)=0…

…

…

…

…

…00…

…

…

…

…

…0

2021/5/926b`i(j)=(j)h(i,j)Ki(j)在一定时期内，Pi(j),(I=0,…,m-1),(j),h(i,j)和Ki(j)可视为与j无关的常数，从而在这一时期内A(j),B(j)取常数矩阵A,B。2021/5/927控制论模型常采取一些评价函数来评判控制模型的效果，对于人口模型，可类似连续型模型，引入以下一些人口指数：(1)人口总量不妨以N(j)记j时段的人口总量，N(j)=N(i,j).(2)平均年龄y(j)=(1/N(j))iN(i,j).(3)平均寿命Q(j)=exp[-(1-Pi(j))],其中(1-Pi(j))为j时段i组人的死亡率。(4)p社会人口老龄化指数w(j)=y(j)