专题24 概率-全国初三数学自主招生专题大揭秘（含答案详解）

专题24概率一．选择题（共12小题）1．（2021•江岸区校级自主招生）袋中有红球4个，白球若干，抽到红球的概率为，则白球有（）个．A．8 B．6 C．4 D．22．（2020•江岸区校级自主招生）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．先从D、E两个点中任意取一个点，再从F、G、H三个点中任意取两个不同的点，以所取得这三个点为顶点画三角形，则所画三角形与△ABC面积相等的概率为（）A． B． C． D．3．（2020•谷城县校级自主招生）若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A． B． C． D．4．（2020•温江区校级自主招生）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（）A．24 B．36 C．40 D．905．（2020•南安市校级自主招生）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．拔苗助长6．（2020•浙江自主招生）从1，2，3，4，5这五个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（）A． B． C． D．7．（2020•浙江自主招生）同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是5的概率是（）A． B． C． D．8．（2020•浙江自主招生）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）A． B． C． D．9．（2019•武昌区校级自主招生）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是﹣3，﹣1，﹣0.5，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数y＝kx+2b+1的图象不经过第四象限的概率是（）A． B． C． D．10．（2019•武侯区校级自主招生）将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组，只有正数解的概率为（）A． B． C． D．11．（2019•青羊区校级自主招生）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A． B． C． D．12．（2018•武昌区校级自主招生）在直角坐标平面上随机地取点P（x，y），其中﹣3≤x≤3，0≤y≤3，x、y均为整数，则点P满足y≥|x|的概率为（）A． B． C． D．二．填空题（共8小题）13．（2008•成都）如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．14．（2021•武进区校级自主招生）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2＝有正整数解的概率为15．（2021•巴南区自主招生）现将背面完全相同，正面分别标有数字0，1，2，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片正面上的数字记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片正面上的数字记为n，则数字m，n之和为奇数的概率为．16．（2021•江汉区校级自主招生）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率是．17．（2021•黄州区校级自主招生）从﹣3，﹣2，﹣1，﹣，0，，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是．18．（2021•大渡口区自主招生）在网络课程学习中，韩梅和李雷分别在《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为．19．（2020•渝北区自主招生）学校通过组织丰富多彩的社团活动，不断丰富学生校园文化生活，发展学生兴趣与特长．小明和小刚都喜欢“书法社团”、“舞蹈社团”、“篮球社团”，他们从这三个社团中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社团的概率是．20．（2020•武昌区校级自主招生）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．三．解答题（共6小题）21．（2020•谷城县校级自主招生）一堆彩球有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出8个球中都有7个红球，一直数到最后8个球，正好数完，在已经数出的球中红球的数目不少于90%．（1）这堆球的数目最多有多少个？（2）在（1）的情况下，从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率有多大？22．（2015•绵阳校级自主招生）张三同学投掷一枚骰子两次，两次所投掷的点数分别用字母m、n表示（1）求使关于x的方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率；（2）求使关于x的方程mx2+nx+1＝0有两个相等实根的概率．23．（2019•锦江区校级自主招生）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．24．（2019•汉阳区校级自主招生）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．（1）用列表法或树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y＝5的解的概率；（3）小明、小华玩游戏，规则如下：组成数对和为偶数小明赢，组成数对和为奇数小华赢．你认为这个游戏公平吗？若不公平，请重新设计一个对小明、小华都公平的游戏．25．（2021•江岸区校级自主招生）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．（1）若Rt△ABC的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．26．（2020•衡阳县自主招生）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀．（1）从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率；（2）从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率．专题24概率参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•江岸区校级自主招生）袋中有红球4个，白球若干，抽到红球的概率为，则白球有（）个．A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：设白球有x个，根据题意，抽到红球的概率为，有＝，解可得x＝8，故选：A．2．（2020•江岸区校级自主招生）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．先从D、E两个点中任意取一个点，再从F、G、H三个点中任意取两个不同的点，以所取得这三个点为顶点画三角形，则所画三角形与△ABC面积相等的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：从D、E两个点中任意取一个点，再从F、G、H三个点中任意取两个不同的点画三角形共有6种不同的结果，即：△DHF，△DHC，△DFC，△EHF，△EHC，△EFC，由网格可求出各个三角形的面积为：S△DHF＝×3×1＝，S△DHC＝×3×4＝6，S△DFC＝×3×4＝6，S△EHF＝16﹣﹣6﹣6＝，S△EHC＝×4×4＝8，S△EFC＝×3×4＝6，而S△ABC＝×3×4＝6，因此这6个三角形中与△BC面积相等的有3个，所以所画三角形与△ABC面积相等的概率为＝，故选：D．3．（2020•谷城县校级自主招生）若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：把甲、乙、丙、丁、戌分别记为1、2、3、4、5，画树状图如图：共有60个等可能的结果，甲或乙被录用的结果有54个，甲或乙被录用的概率为＝，故选：D．4．（2020•温江区校级自主招生）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（）A．24 B．36 C．40 D．90【解答】解：设袋中有黑球x个，由题意得：＝0.6，解得：x＝90，则布袋中黑球的个数可能有90个．故选：D．5．（2020•南安市校级自主招生）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．拔苗助长【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意；B、是不可能事件，故B不符合题意；C、是必然事件，故C不符合题意；D、是不可能事件，故D不符合题意；故选：A．6．（2020•浙江自主招生）从1，2，3，4，5这五个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，其乘积为偶数的有14种情况，∴其乘积为偶数的概率为：＝．故选：B．7．（2020•浙江自主招生）同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是5的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）共有36种等可能的结果，向上的点数之和是5的情况有4种，∴两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为＝．故选：C．8．（2020•浙江自主招生）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：当2a﹣b＝0时，方程组无解；当2a﹣b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x＝，y＝，∵使x、y都大于0则有＞0，＞0，解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都为1到6的整数，所以可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，这两种情况的总出现可能有3+10＝13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为，故选：D．9．（2019•武昌区校级自主招生）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是﹣3，﹣1，﹣0.5，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数y＝kx+2b+1的图象不经过第四象限的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如图：共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数y＝kx+2b+1的图象不经过第四象限的结果有6个，∴满足条件关于x的一次函数y＝kx+2b+1的图象不经过第四象限的概率为，故选：D．10．（2019•武侯区校级自主招生）将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组，只有正数解的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：①当a﹣2b＝0时，方程组无解；②当a﹣2b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得x＝，y＝，∵使x、y都大于0则有x＝＞0，y＝＞0，∴解得a＜，b＞或者a＞，b＜，∵a，b都为1到6的整数，∴可知当a为1时b只能是1，2，3，4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b无解，这两种情况的总出现可能有6种；（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6），又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝＝，故选：B．11．（2019•青羊区校级自主招生）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD，和A配合的男运动员有4个选择；和B配合的男运动员剩下3种选择；和C配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和D配合．所以总共有24种．∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：4×3×2＝24种，设一、二、三、四班的男、女选手分别为A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形．故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：＝．故选：C．12．（2018•武昌区校级自主招生）在直角坐标平面上随机地取点P（x，y），其中﹣3≤x≤3，0≤y≤3，x、y均为整数，则点P满足y≥|x|的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意列表如下：xy﹣3﹣2﹣101230（﹣3，0）（﹣2，0）（﹣1，0）（0，0）（1，0）（2，0）（3，0）1（﹣3，1）（﹣2，1）（﹣1，1）（0，1）（1，1）（2，1）（3，1）2（﹣3，2）（﹣2，2）（﹣1，2）（0，2）（1，2）（2，2）（3，2）3（﹣3，3）（﹣2，3）（﹣1，3）（0，3）（1，3）（2，3）（3，3）共有28种等可能的情况数，其中点P满足y≥|x|的有16种，则点P满足y≥|x|的概率为＝．故选：D．二．填空题（共8小题）13．（2008•成都）如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．【解答】解：从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有：4×3＝12种结果，∵满足关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根，则Δ＝（﹣2m）2﹣4n2＝4（m2﹣n2）≥0，符合的有9个，m＝0，n＝0；m＝1，n＝0；m＝1，n＝1；m＝2，n＝0；m＝2，n＝1；m＝2，n＝2；m＝3，n＝0；m＝3，n＝1；m＝3，n＝2；∴关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．14．（2021•武进区校级自主招生）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2＝有正整数解的概率为【解答】解：解分式方程得：x＝，∵分式方程的解为正整数，∴2﹣a＞0，∴a＜2，∴a＝0，1，∵分式方程的解为正整数，当a＝1时，x＝2不合题意，∴a＝0，∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为，故答案为：．15．（2021•巴南区自主招生）现将背面完全相同，正面分别标有数字0，1，2，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片正面上的数字记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片正面上的数字记为n，则数字m，n之和为奇数的概率为．【解答】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，数字m，n之和为奇数的结果有8个，∴数字m，n之和为奇数的概率为＝，故答案为：．16．（2021•江汉区校级自主招生）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率是．【解答】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，两次取出的小球上数字之积等于2或16的结果有4个，∴两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率为＝，故答案为：．17．（2021•黄州区校级自主招生）从﹣3，﹣2，﹣1，﹣，0，，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是．【解答】解：解不等式（2x+7）≥3，得：x≥1，解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，∵不等式组无解，∴m≤1，∴符合此条件的有﹣3，﹣2，﹣1，﹣，0，，1这7个数，解分式方程得x＝，∵方程有非负整数解，∴在以上7个数中，符合此条件的有﹣3、﹣1这2个，∴从这9个数中抽到满足条件的m的概率是，故答案为：．18．（2021•大渡口区自主招生）在网络课程学习中，韩梅和李雷分别在《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为．【解答】解：把《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》分别记为A、B，画树状图如图：共有9个等可能的结果，韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的结果有3个，∴韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的概率为＝，故答案为：．19．（2020•渝北区自主招生）学校通过组织丰富多彩的社团活动，不断丰富学生校园文化生活，发展学生兴趣与特长．小明和小刚都喜欢“书法社团”、“舞蹈社团”、“篮球社团”，他们从这三个社团中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社团的概率是．【解答】解：把“书法社团”、“舞蹈社团”、“篮球社团”分别记为A、B、C，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一个社团的的有3种情况，∴两人恰好选择同一社团的概率为：＝；故答案为：．20．（2020•武昌区校级自主招生）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．故答案为：．三．解答题（共6小题）21．（2020•谷城县校级自主招生）一堆彩球有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出8个球中都有7个红球，一直数到最后8个球，正好数完，在已经数出的球中红球的数目不少于90%．（1）这堆球的数目最多有多少个？（2）在（1）的情况下，从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率有多大？【解答】解：设这堆球的数目为n个，共有x个红球，由于首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出8个球中都有7个红球，一直数到最后8个球，正好数完，则可列出方程50+×（x﹣49）＝n，又≥90%，当＝90%时，n最大，求方程得出n＝210个；（2）∵n＝210，x＝189，故从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率为＝＝0.18086约为18.1%．22．（2015•绵阳校级自主招生）张三同学投掷一枚骰子两次，两次所投掷的点数分别用字母m、n表示（1）求使关于x的方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率；（2）求使关于x的方程mx2+nx+1＝0有两个相等实根的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中满足Δ＝m2﹣8n≥0的结果数为10，所以使关于x的方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率＝＝；（2）满足Δ＝n2﹣4m＝0的结果数为2，所以使关于x的方程mx2+nx+1＝0有两个相等实根的概率＝＝．23．（2019•锦江区校级自主招生）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．【解答】解：画树状图为：共有8种等可能的结果数；（1）有2个男孩和1个女孩的结果数为3，所以有2个男孩和1个女孩的概率＝；（2）至少有一个男孩的结果数为7，所以至少有一个男孩的概率＝．24．（2019•汉阳区校级自主招生）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字