习题解析第五章

定理5.7.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得

Q–1AQ=

QTAQ

=

=diag(1,2,…,n),

其中1,2,…,n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A的对应于1,2,…,n的标准正交特征向量组.

实对称矩阵的正交相似对角化推论.

n阶实对称矩阵A的ni重特征值都有ni个线性无关的特征向量，再由施密特正交化方法知，必有ni个标准正交的特征向量.§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量求|E–A|=0的根,得到所有特征值1,2,…,s注:特征向量要与特征值的顺序相对应实对称阵的正交相似对角化对每个i,求(iE–A)x=0的基础解系i1,i2,,iti利用施密特正交化方法将i1,i2,,it

正交化，并单位化，得到标准正交特征向量i1,i2,,itii则Q–1AQ=QTAQ=令Q=(11,12,,1t,…,s1,s2,,st)1s=diag(1,…,1,…,s,…,s)§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量解：

(2)若A,B是一般方阵，特征多项式相同，不一定相似也不一定正交相似。比如：

实对称矩阵A,B的特征多项式相同，所以它们的特征值相同，A,B都与=diag(1,…,

n)相似并且正交相似，所以A,B正交相似。例1.若A,B是实对称阵,

|EA|=|EB|,A,B是否相似？是否正交相似？若A,B是一般实方阵呢？注：若A相似对角化,f(A)

呢？解所以A的全部特征值为0(n1重根),

例1.设0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.实对称阵A可正交相似对角化.即存在正交阵Q和对角阵,0,使得

§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量因为A的全部特征值为0(n1重根),

例1.设0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.并求|E

A3|.

是A的特征值

f,f()是f(A)的特征值

所以E

A3的特征值为1(n1重根),

解:§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量例2.设0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.并求|E

A3|.

A与相似

f,f(A)与f()相似

解2:因为存在正交阵Q和对角阵,使得

§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章特征值与特征向量证明：3.设n阶方阵A的任一行中n个元素之和都是0,证明：0是A的一个特征值,并求出其对应的一个特征向量.所以0是A的一个特征值.对应0的一个特征向量为设n阶方阵A可逆，且A每行元素之和都等于a，证明：a0.证明:a0.

A每行元素之和都等于aa是A的特征值，(1,…,1)T是A对应于a的特征向量方阵A可逆A的特征值都不等于0A1每行元素之和等于?解：因此，对于A的任意的特征值都有因为A满足A23A+2E=O

是A的一个化零多项式，

所以A的特征值只能取1,2。(2)当A=E时，

2不是A的特征值.

1不是A的特征值.

4.设矩阵A满足A23A+2E=O,证明：A的特征值只能取1或2，举例说明1和2未必一定是A的特征值.A满足A23A+2E=O当A=2E时，

A满足A23A+2E=O解：对于A的任意的特征值都有因为A满足A2=

E

是A的一个化零多项式，

所以A的特征值只能取1,1。(2)若1不是A的特征值，5.设矩阵A满足A2

=

E,证明：A的特征值只能取1或1;若1不是A的特征值，则A

=

E.是方阵A的一个特征值

(EA)不可逆.

不是方阵A的特征值(EA)可逆.则(1EA)可逆.由A2=

E可得(A+

E)

(A

E)=O则A

=

E.解：所以A的三个特征值为1,3,1.6.设A为3阶矩阵，如果EA,3EA,E+A均不可逆，求A的迹和行列式.因为EA,3EA,E+A均不可逆是方阵A的一个特征值

(EA)不可逆.

不是方阵A的特征值(EA)可逆.|EA|=|3EA|=|E+A|=0证明：7.设1,2为方阵A的属于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,证明k11+k22不是A的特征向量.若k11+k22是A的特征向量,则存在使得因为1,2线性无关产生矛盾.因此，k11+k22不是A的特征向量.证明2：因为1,2为对应于12的特征向量，所以1,2线性无关,

设k11+k22为对应的特征向量.矛盾.

当，线性无关,矛盾.当8.设1,2为方阵A的属于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,证明k11+k22不是A的特征向量.k11+k22

k11+k22,1,2因此，k11+k22不是A的特征向量9.设的一个特征向量.(1)求a,b及对应的特征值.

(2)A能否相似对角化？解：(2)trA=3=1+2+32+3=4|A|=4=2323=42=3=2所以A不能相似对角化.9.设的一个特征向量.(1)求a,b及对应的特征值.

(2)A能否相似对角化？解：(2)法2：2=3=2所以A不能相似对角化.A的特征值可由特征方程求得.若A能与对角阵相似.则10.设相似.求x,侧y,并求孝可逆妨阵P,使得P1AP王=.(1坑)A与B相似视，则蔽有相累同的展特征塑值.解：11船.若二坊阶实渴方阵A满足|A|<仿0,证明地：A与对育角阵脖相似.tr芒A=x1筹=y+1证明该：设y职=2.x=0.二阶施实方啦阵A有两艰个不菠同的敲特征阀值，所以羊与对领角阵脆相似.因A有一摄个特虎征值2，因为|A|<鸽0，12论.若任意n维列候向量桐都是n阶方并阵A的特亲征向卷量,证明缸：A是数袖量矩厦阵.证明1：显然e1,e2,勺…,en都是A的特雨征向热量，所以Aei=iei=Ai12蚂.若任意n维列昏向量柱都是n阶方毕阵A的特防征向址量,证明势：A是数蝇量矩梅阵.证明2：显然e1,e2,盗…,en都是A的特且征向遍量，所以生存在毯可逆香阵P凳=(e1,e2,愚…,en)芬=E使得12快.若任意n维列奔向量疾都是n阶方残阵A的特拐征向计量,证明毕：A是数惕量矩餐阵.证明3：任意n维列方向量都是A的特昨征向庆量，所以A=，津蜘.所以(E滤A)=的非伐零解串为任意非零桨向量显然e1,e2,绞…,en都是(E锅A)=的解，所以e1,e2,壮…,en是(E声A)=的基撒础解服系.所以n罩r(E诸A)=n.r(E琴A)=0.A=踏O也成亦立，隙故A不可帅逆.不是段方阵飞，不表存在激逆矩网阵和坟行列博式！13距.设求A=席T的特纳征值,并证坑明：A可以宋相似赴对角朽化T0.证明蒙：A的特烤征值绒为0(n1重),T(过程歪略)若T=0抱,则0是n重根待。所以r(0EA)=r(A)=1nn=0.从而A不可鼓以相融似对干角化.矛盾.必要归性：充分轿性：若T0,设T对应旋的特经征向波量为0对应凭的n1线性浅无关办的特玩征向适量为1,…腿,n-1则,1,…绳,n-1线性江无关.所以A可相撕似对疾角化.14游.设n2捉,,都是n维实深特征志向量,且,是一绳标准捕正交屑向量井组，p,q都是均非零诸实数笼，A=触p谱T+q贞T.证明:(1哨),都是A的特话征向昼量,并求渴相应河特征黑值.(2优)A相似坏于对血角阵盟，并好求相老应对借角阵.证明贸：(1卸)A=p硬T梳+q住T所以姻实对总称矩兔阵A可相愈似于扇对角漠阵.=p繁T=pA=p穴T肠+q疗T=q坊T=q从而,都是A的特戴征向剂量,相应租特征夺值为p,色q.(2摸)AT=(p准T+q条T)T=辨p糊T+q烘T=屈Ar(A)=讽r(p锡T+q亮T)r(p宫T)+r(q耳T)=2当n=2时，A相似汁于对叮角阵裁=di涌ag顺(p,q)14祥.设n2南,,都是n维实妙特征赏向量,且,是一大标准增正交朱向量插组，p,q都是汽非零巩实数软，A=缸p言T+q贯T.证明:(1躁),都是A的特离征向渣量,并求清相应窃特征喘值.(2么)A相似忧于对焰角阵芬，并牙求相榜应的蔬对角环阵.证明宏：所以然实对琴称矩卧阵A可相细似于华对角门阵.从而,都是A的特荒征向垃量,相应析特征谷值为p,酷q.(2荷)r(A)2当n=2时，A相似番于对队角阵中=di墓ag同(p,q)当n>2时，|A|捏=0,则Q1AQ=di偿ag信(p,q,藏0,详…,胆0)0是A的一缠个特找征值,p,q都是寻非零第实数律，0对应吧的特时征向瞒量与,正交,设0对应偿的标准记正交特征脱向量逼为3,…乏,n,令Q=(,,3,…床,n),14子.设n2变,,都是n维实各向量,且,是一孟标准墙正交凝向量瞒组，p,q都是延非零循实数泥，A=拢p熄T+q胡T.证明:(1荒),都是A的特鸽征向搭量,并求仰相应重特征侨值.(2挣)A相似路于对产角阵狸，并凝求相柳应对炕角阵.所以砍实对刮称矩望阵A可相故似于天对角联阵.(2傻)r(A)2当n=2时，A相似哭于对政角阵地=di荡ag糕(p,q)当n>2时，Q1AQ=di宝ag皇(p,q,伐0,族…,畅0)(3馒)当k满足隔什么年条件婆时，kE潜+A正定陡？kE亩+A与kE致+相似(3锡)当k>奶m恐ax{p,捆q}时，kE痛+A正定.(3炸)当k>昏m疫ax{0,p,却q}时，kE吗+A正定.14吨.设n2娱,,都是n维实猫特征姨向量,且,是一巡寿标准旺正交鼻向量糟组，p,q都是雕非零档实数泽，A=础p证T+q喇T.证明:(1封),都是A的特呜征向陆量,并求膊相应照特征裂值.(2命)A相似聋于对尸角阵农，并都求相宝应对堤角阵.所以夏实对兔称矩隶阵A可相丧似于取对角侵阵.(2慨)r(A)2当n>2时，则Q1AQ=di母ag蜜(p,q,厦0,顺…,源0)令Q=(,,3,…电,n),(0论9-狡10弊)一(1据0)额(3分)设A=(1,2,…勿,n)是n阶正丸交阵,则伪的特末征多惩项式欠是B的特项征值吴是1漂(r重)，0梅(nr重).证明:A君=版1,T=1茄,B悬=叉A啄新1T=A宗豪1==齿0,对Ai=ii,免i≠迁,i=弱2,韵…,鹊nB的特株征值以为设n阶实对称阵A的特征值为是A的属于1的单位特征向量，证明：

的特征值为Bi=睛Ai1TiBi=知Ai=ii.Ti=沿0可去继掉15门.设n阶实幻玉对称塑阵A的特极征值罚为是A的属巩于1的单位特征肺向量木，证明扰：的特赛征值威为证明:B的特葬征值梯为实对近称阵A可正搁交相雅似对乡丰角化,则令既正交文阵Q=(,文q2,壁,突qn),涛s愚.t兰.,Q1AQ呜=帖=di搁ag足(1,…,让n)Q1BQ项=锦Q1AQ1Q1TQ=嗽1QTTQTQ=(T,誉Tq2,屡,Tqn)=(1,默0待,抵,0)Q1BQ住=挖1(TQ)TTQ(TQ)TTQ=di惠ag东(1,迹0赵,寒…,声0)=忍di剑ag(11,2…,留n)=覆di界ag(0,