2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题5 立体几何（理科）解答题30题含答案

2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资专题5立体几何（理科）解答题30题1．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）如图，在三棱柱中，，．(1)证明：平面平面．(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面底面，且.(1)证明：.(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.3．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.(1)证明：B，E，D1，F四点共面；(2)若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.4．（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）理科数学试题）如图所示，四棱台的上､下底面均为正方形，且底面ABCD.(1)证明：；(2)若，求二面角的正弦值.5．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分别为CD，PD的中点，K为PA上一点，.(1)证明：B，M，N，K四点共面；(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.6．（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.7．（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，.(1)证明：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.8．（甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理科）试题）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M为线段BD的中点．(1)求证：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．9．（甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题）在直角梯形(如图1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B－ACD(如图2)．(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值．10．（陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.11．（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，四棱锥中，底面，，，且．(1)求证：；(2)若平面与平面所成的二面角的余弦值为，求与底面所成的角的正切值．12．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角的大小为，此时恰有.(1)求BD的长；(2)求二面角的余弦值.13．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，.(1)证明：平面；(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.14．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点.(1)证明：∥平面；(2)当的长为多少时，平面平面？请说明理由，并求出此时直线与平面所成角的大小.15．（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（理）试题）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，，，AD=2.(1)求证：平面PCD⊥平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.16．（内蒙古呼和浩特市2022届高三第二次质量数据监测理科数学试题）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，D、E分别是，的中点．(1)证明：平面平面；(2)已知，求直线与平面所成角的正弦值．17．（内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，D，E分别为AC和上的点，且，，F为棱上的点，.(1)证明：，且；(2)当为何值时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？18．（浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）如图，在三棱锥中，，为的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.19．（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考理科数学试题）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.(1)求证：为直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.20．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）如图，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，，E为CD的中点.(1)求证：；(2)若，，求平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值.21．（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）如图，在长方体中，，点为的中点.(1)证明；(2)求平面与平面夹角的余弦值.22．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.23．（江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图，已知直角梯形与，，，，，，G是线段上一点.(1)求证：平面；(2)若平面上平面，设平面与平面所成角为，求的取值范围.24．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．(1)求证：；(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．25．（山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍”

(如图2)。(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.26．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点．(1)证明：平面平面．(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．27．（湘豫名校联考2023届高三下学期2月入学摸底考试数学（理科）试题）如图，四边形是菱形，，平面，，，设，连接，交于点，连接，.(1)试问是否存在实数，使得平面?若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.(2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.28．（河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试理科数学试题）在如图所示的六面体中，平面平面，，，.(1)求证：平面；(2)若两两互相垂直，，，求二面角的余弦值．29．（吉林省长春市长春外国语学校2021-2022学年高三下学期期末数学试题）如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.(1)证明：平面平面；(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.30．（广东省广州市天河区2021-2022学年高三下学期期末数学试题）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．(1)若的中点是M，求证：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．专题5立体几何（理科）解答题30题1．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）如图，在三棱柱中，，．(1)证明：平面平面．(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，由余弦定理求出，从而由勾股定理得到，，进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.（1）设．在四边形中，∵，，连接，∴由余弦定理得，即，∵，∴．又∵，∴，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）取AB中点D，连接CD，∵，∴，由（1）易知平面，且．如图，以B为原点，分别以射线BA，为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，则，，，，，．，，设平面的法向量为，则，得，令，则取，，，AC与平面所成角的正弦值为．2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面底面，且.(1)证明：.(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，然后利用线面垂直证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值【详解】（1）证明：取的中点，连接.因为，所以.又，所以.又，所以为正三角形，所以.因为在平面内相交，所以平面.又平面，所以.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则令，得.由题可知，平面的一个法向量为.设平面和平面所成的锐二面角为，则.3．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.(1)证明：B，E，D1，F四点共面；(2)若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明来证明B，E，D1，F四点共面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点为G，连接AG，GE，由E，G分别为，的中点，∴EG∥DC∥AB，且，∴四边形ABEG为平行四边形，故.又F是的中点，即，∴，故B，F，，E四点共面.（2）连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，以O为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A（，0，0），B（0，1，0），，F（，0，1），∴设面的一个法向量为，则，即，取，设直线AE与平面BED1F所成角为θ，故，∴直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为.4．（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）理科数学试题）如图所示，四棱台的上､下底面均为正方形，且底面ABCD.(1)证明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明线线垂直；(2)利用空间向量的坐标运算求面面角.【详解】（1）平面平面，如图，连接四边形为正方形，，又平面，平面，平面.（2）由题意知直线两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，.设平面与平面的法向量分别为.则令，则，令，则，，故二面角的正弦值为.5．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分别为CD，PD的中点，K为PA上一点，.(1)证明：B，M，N，K四点共面；(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明线线平行，再利用基本事实判定四点共面；（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，求解两个平面的法向量，然后利用向量法求解二面角平面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AC交BM于E，连接KE，∵四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，且，，，，，，∵M，N分别是CD，PD的中点，，，K，E，M，N四点共面，，B，M，N，K四点共面.（2），，∴，平面ABCD，∴PC与平面ABCD所成的角为，在中，，∴，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，，设平面BMNK的一个法向量为，则，令，得平面BMNK的一个法向量为，又平面PAD的一个法向量为，设平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的大小为，，平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为.6．（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，从而得到，利用等腰三角形三线合一性质可分别得到，结合平行关系和线面垂直的判定可证得结论；（2）根据长度关系可证得两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）取中点，连接，为中点，，，又，四边形为平行四边形，，，分别为中点，，，又为中点，，，，，四边形为平行四边形，；，为中点，，；，，，四边形为正方形，，，又，平面，平面.（2）由（1）知：，，又，；，为中点，，，，，，又，平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，；平面，平面的一个法向量为，，由图形知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.7．（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，.(1)证明：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，则由平面平面，可得平面，再由平面，可得，，再由已知条件可证得，由线面垂直的判定定理可得平面，然后由线面垂直的性质可得结论，（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】（1）取中点，连接，.由平面平面，且交线为，平面.又平面，有，四点共面.平面平面，.又在矩形中，，∴∽，∴,∵,∴，.又∵，平面.平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：.设平面的法向量.，令，则.设平面ECF的法向量.，令，则.所平面与平面所成锐二面角的余弦值为.8．（甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理科）试题）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M为线段BD的中点．(1)求证：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)证明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求证BD⊥AM；(2)在点A处建立空间坐标系，分别计算平面AFM与平面ACE的法向量，结合空间角与向量角的联系计算即可.【详解】（1）因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因为AB＝AD，M线段BD的中点，所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AF两两垂直．分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz（如图）．设AB＝1，则A，B，C，D，E，所以，，，设平面ACE的一个法向量为，则

即，令y＝1，则，则．由（1）知，为平面AFM的一个法向量．设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为，则．所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为．9．（甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题）在直角梯形(如图1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B－ACD(如图2)．(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据勾股定理得到，再根据面面垂直的性质定理可证CD⊥平面ABC；（2）取AC的中点O，连接OB，先证明两两垂直，再以为原点，OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果.【详解】（1）由题设可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，∴CD⊥平面ABC．（2）取AC的中点O，连接OB，由题设可知△ABC为等腰直角三角形，所以，又因为平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，所以平面,连接OM，因为平面,所以，因为M、O分别为AD和AC的中点，所以，所以OM⊥AC，故以为原点，OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，∴，，，设平面BCM的一个法向量为，则，得，令，得，∴．所以AB与平面BCM所成角的正弦值为.10．（陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，根据题意求得相关点坐标，求出点F的坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：因为平面，平面ABCD,所以,又因为，平面，所以平面.（2）过A作的垂线交于点M,因为平面，平面,所以,以A为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系如图，则,因为E为的中点，所以,因为F在上，设,则,故,因为，所以，即，即，即，所以，设平面的一个法向量为，则,即，令，则，故；，设平面的一个法向量为，则,即，令，则，故，故，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.11．（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，四棱锥中，底面，，，且．(1)求证：；(2)若平面与平面所成的二面角的余弦值为，求与底面所成的角的正切值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由已知结合勾股定理可推得，.进而证得平面，然后根据线面垂直的性质即可得出；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.设写出各点的坐标，根据向量法得出平面与平面的法向量，结合已知可得，求出点坐标.在中，求出即可.【详解】（1）取中点E，连接，则由已知得且，所以．由已知可得，，.又，所以，所以.又底面，平面，所以.又，平面，平面.所以平面.因为平面，所以．（2）如图，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设，由题知，，，，.则，，.设是平面的一个法向量.所以有，令，则，，则是平面的一个法向量.由已知得，是平面的一个法向量.又平面与平面所成的二面角的余弦值为，则，整理可得，.因为，所以，即．由直线与平面所成角定义知与底面所成的角为，在中，有，所以．所以，与底面所成的角的正切值为.12．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角的大小为，此时恰有.(1)求BD的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中点，连接，，即可得到，再由，从而得到平面，即可得解，从而求出；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】（1）解：取中点，连接，，∵是正三角形，∴，又∴，，平面∴平面，平面，∴，∴在菱形中，，则，∴（2）解：取为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设平面PCD的法向量为，∵∴，令，则，，∴，设平面PCB的法向量为∵∴，令，则，，所以所以，又二面角为钝二面角，二面角的余弦值为；13．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，.(1)证明：平面；(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即得.(1)因为矩形中，为的中点，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以平面.因为平面，所以，又，所以平面.(2)由（1）知两两相互垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为，令，连接，则，所以.设平面的一个法向量为，则，得，所以，令，得，所以，由（1）知是平面的一个法向量，所以，故二面角的余弦值为.14．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点.(1)证明：∥平面；(2)当的长为多少时，平面平面？请说明理由，并求出此时直线与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）取线段的中点，连接，利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，则∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，（2）当时，由已知条件可证得平面，从而可得平面平面，分别取线段，的中点，，连接，，则可证得两两垂直，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解(1)证明：取线段的中点，连接，则为的中位线，∥，，∵∥，，∥，，∴四边形为平行四边形.∥，平面，平面，∥平面.(2)当时，平面平面.理由如下：在中，，，.又，，平面，又平面，∴平面平面.分别取线段，的中点，，连接，，因为为等边三角形，为的中点，所以，即平面，.因为，分别为，的中点，所以，又，所以.分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，..所以直线与平面所成角的正弦值为，所成的角为.15．（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（理）试题）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，，，AD=2.(1)求证：平面PCD⊥平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点，连接，证明，，由线面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.(1)取的中点，连接，如图，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以，所以，

因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，则，所以，，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，

设平面的法向量为，因为，所以，令，则，

所以.16．（内蒙古呼和浩特市2022届高三第二次质量数据监测理科数学试题）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，D、E分别是，的中点．(1)证明：平面平面；(2)已知，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，证得，再根据题意证得平面，得到，进而证得平面，即可证得平面平面.（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，在平面内，过D且平行与直线为z轴，建立空间直角坐标系，得到和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)证明：由题意知，，可得，，所以，所以，所以，因为，且为的中点，可得，又因为侧棱底面，且底面，所以，又由，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.(2)解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，在平面内，过D且平行与直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，设，可得，，，则，，由平面，所以平面的法向量为，设与平面ADE所成角为，则.17．（内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，D，E分别为AC和上的点，且，，F为棱上的点，.(1)证明：，且；(2)当为何值时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证以及即可证得平面，即可证得，建立空间直角坐标系，求出，由即可证得；（2）直接写出平面的一个法向量，求出平面DEF的法向量，由夹角公式表示出余弦值，由平方关系求出二面角的正弦值，结合二次函数求解即可.【详解】（1）因为，，所以，又，且，所以平面，又平面，所以.因为，所以在中，，又，所以，由，且，得，取点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图所示）.则，，，，设，则，于是，所以，即.（2）因为平面的一个法向量为，又由（1）知，，设平面DEF的法向量为，则，所以有取，得，，于是平面DEF的法向量为，所以，设平面与平面DEF所成的二面角为，则，故当时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值为.所以当时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值最小.18．（浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）如图，在三棱锥中，，为的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得；利用线面垂直判定可证得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得的值，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1），为中点，，又，，平面，平面，平面，平面平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，过作垂直于的直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，平面的一个法向量；二面角的大小为，，解得：；，.19．（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考理科数学试题）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.(1)求证：为直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）由平面平面证平面、，由几何关系证，即可证平面、；（2）以P为原点PC，PD分别为x，y轴建立如图空间直角坐标系，由向量法求得平面PAB及平面的法向量，即可求二面角的余弦值，最后求正弦值即可【详解】（1）证明：在等腰梯形中，，，作，且为垂足，∴，，∴，∴，∴.又∵，面面，面面，面，∴面，又平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，∴，即△为直角三角形.（2）由（1）知，平面，平面，∴，∵，∴，，过A作于，面面，面面，面，则平面.在中，.以P为原点PC，PD分别为x，y轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，.在平面PAB中，设其法向量为，，，则，令，解得，则，在平面中，设其法向量为，，.则，令，得，故，则，故求二面角的正弦值为.20．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）如图，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，，E为CD的中点.(1)求证：；(2)若，，求平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AD的中点F，连接PF，EF，根据面面垂直的性质定理证明平面ABCD，得，根据四边形ABCD为菱形以及是三角形的中位线，推出，再根据线面垂直的判定推出平面PEF，从而可得；（2）记，过点O作，以OA，OB，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量公式可求出结果.【详解】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF.∵，∴.∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵四边形ABCD为菱形，∴.∵点E，F分别为CD，AD的中点，∴，∴.∵，，，PF，平面PEF，∴平面PEF.又平面PEF，∴.（2）记，则.由（1）知，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，则，.过点O作，则OA，OB，OQ两两垂直.如图，以OA，OB，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，因为，，所以，所以，，所以，∴，，，.设平面PAE的法向量为，由，令，则，，所以.设平面PBC的法向量为，由，令，则，，所以.设平面PBC与平面PAE所成锐二面角为，则，所以平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值为.21．（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）如图，在长方体中，，点为的中点.(1)证明；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明平面，进而证得；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）因为在长方体中，，所以，因为点为的中点，所以，又均为锐角，所以，因为，所以，所以，又在长方体中，平面，平面，所以，又因为，平面，平面所以平面，因为平面，所以.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则有得，取，得，设平面的一个法向量为，则有，取，得，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.22．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）先证明出面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）因为是边长为4的正三角形，边的中点，所以.因为顶点在平面上的射影为，所以平面,.因为面，面，,所以面.所以面，所以平面平面.（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.因为是边长为4的正三角形，为边的中点，所以.在直角三角形中，.所以，，，，.所以,.在三棱柱中，由，可求得：.同理求得：.所以，,.设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量.因为，即，不妨设，则.同理可求：.设为二面角的平面角，由图可知：为锐角，所以.即二面角的余弦值为.23．（江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图，已知直角梯形与，，，，，，G是线段上一点.(1)求证：平面；(2)若平面上平面，设平面与平面所成角为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接，连接，根据比例关系可以找到平面内一条直线平行于平面外的一条直线.(2)根据已知条件可以建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，代入公式求出夹角的余弦值，通过换元转化为二次函数的值域问题即可求解.【详解】（1）连接，连接，可知，即，因为平面，平面，所以平面.（2）由题意可知，平面，平面，建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量为，又，设平面的法向量为，则，取，故，令，，当时，，当时，，所以.综上，24．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．(1)求证：；(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，且点为的中点【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）分析可知，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：连接，为等边三角形，为的中点，则，因为点在底面上的射影为点，则平面，平面，，，、平面，平面，平面，.（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为平面，所以，与底面所成的角为，则、、，设点，其中，，，设平面的法向量为，则，取，则，，设平面的法向量为，则，取，则，由已知可得，可得，，解得，即点.因此，当点为的中点时，二面角的余弦值为．25．（山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍”

(如图2)。(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取线段中点，连接、，可得四边形是平行四边形，然后线面平行的判定定理即得；（2）由题可得即为二面角的平面角，以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，求解平面ABE和平面OAB的一个法向量，利用空间向量夹角公式即得．【详解】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，∴O是线段BF与CE的中点，∴且，在图1中且，且．所以在图2中，且，∴且，∴四边形AOHG是平行四边形，则，

由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，，∴即为二面角的平面角．∴，以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，设，则、、，∴，，易知平面ABE的一个法向量，设平面OAB的一个法向量，由，得，取，则，，于是平面的一个法向量，∴，∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．26．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点．(1)证明：平面平面．(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据法向量垂直，即可求证，（2）根据平面法向量的夹角即可求解面面角.【详解】（1）设，分别是，的中点，连接，，，则，是等边三角形，，又根据题意可得：平面平面，且交线为，又平面，平面，又平面，．又根据正三棱柱的性质可知：平面，平面，，平面，，，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，设平面，平面的法向量分别为，所以取，则，取，则，所以，故，所以平面平面．（2）设平面的法向量分别为,则，取，则，设平面与平面所成的锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为27．（湘豫名校联考2023届高三下学期2月入学摸底考试数学（理科）试题）如图，四边形是菱形，，平面，，，设，连接，交于点，连接，.(1)试问是否存在实数，使得平面?若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.(2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）依题意，可得平面，过点作于点，则四边形为矩形，设，求出，，，欲使平面，只需，再列方程求解即可；（2）建立空间直角坐标系利用向量法求解.【详解】