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文档简介

1题型单项选择判断计算分析算法2答疑1月13日,理8栋4129:00-11:0015:00-17:003

第2章离散时间信号及离散时间系统2.1概述2.2离散时间信号–序列2.3离散时间系统2.4频域描述2.5信号的取样2.6Z变换2.7系统函数4

2.2离散时间信号-数字序列

1、数学表达式1)集合2)公式:闭式、解析式

2、图示法

n为整数52.2序列的基本运算

1.加法和乘法2.移位62.2序列的基本运算3、翻转4、标乘72.2序列的基本运算5、尺度变换(1)抽取(2)插值82.2序列的基本运算6、累加注意上、下项92.2序列的基本运算8、序列的能量102.2常用序列1、单位取样序列2、单位阶跃序列112.2常用序列δ(n)=u(n)-u(n-1)3、单位矩形序列122.2常用序列4、实指数序列a为实数0<a<1132.2常用序列5、正弦序列6、复指数序列数字频率又叫归一化频率142.2常用序列7、周期序列正弦、余弦、复指数序列(=0)的周期性(1)为整数时(2)为有理数时(3)为无理数时15

2.3离散时间系统16

2.3离散时间系统线性非移变系统1、线性系统2、非移变系统17卷积和卷积和的定义1.交换律2.结合律3.分配率18卷积和图解法(1)x(n)和h(n)进行变量代换,x(k)和h(k)(2)h(k)翻转h(-k)(3)h(-k)移位形成h(n-k)(4)x(k)和h(n-k)相乘,逐位相加得该点的y(n)19

卷积和计算举例例一:20

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级数求和公式:

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2.3.2系统的因果稳定性

1.稳定性定义输入有界,输出也有界。线性非移变系统稳定的充要条件是满足绝对可和的条件:32

2、因果性定义:有输入才有输出,输出只决定于当前时刻和过去时刻的输入。因果系统的充要条件是:33

2.3.3线性常系数差分方程

线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述,一般形式为34差分方程可用来描述系统。例如下列二阶差分方程

描述了图示的递归系统。这种系统包括加法、乘法和延迟(存储)3种基本运算。用与例2.13类似的方法可证明这种系统的冲激响应是无限长的,因此,这类系统也称为无限冲激响应(InfiniteImpulseResponse)系统,简称为IIR系统,或IIR数字滤波器。352.4离散时间信号和系统的频域描述

362.4.1离散时间信号的傅立叶变换连续时间信号傅立叶变换:37

序列的傅立叶变换的定义(或称离散时间信号的傅立叶变换或称离散时间信号的频谱)38

39

序列的傅立叶变换的两个特点:(2)(1)是以为周期的的连续函数。这是因为,所以从式(2.34a)可得出40

序列的傅立叶变换性质:41

42

(8)序列傅立叶变换的对称性43

若为实序列,则这些对称性质将变得特别地简单和有用。具体地说,由于序列的傅里叶变换是共轭对称的,即

(2.52)

(2.52a)

(2.52b)

因此,实序列的傅里叶变换的实部是的偶函数,而虚部则是的奇函数。

若将用极坐标表示,即

则有

(2.53a)

(2.53b)

表2.1列出了序列的傅里叶变换的一些重要性质。44

频率响应的定义离散时间系统的频率响应分别称为系统的幅度响应和相位响应45

46

11-δ1δ2ωPωTπ1+δ1技术指标的描述数字理想低通滤波器的容限

472.5信号的取样

模拟信号数字处理框图

48

对模拟信号进行采样理想取样49

上式中δ(t)是单位冲激信号,在上式中只有当时,才可能有非零值,因此写成下式:1、理想取样在图2.23所示的取样器开关S的闭合时间的极限情况下,取样脉冲序列变成冲激函数序列(见图2.24b),即理想取样输出50

我们知道在傅里叶变换中,两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积,推导如下:设

频谱延拓51现在来研究取样信号与模拟信号的频谱之间的关系。将展成傅里叶级数,得式中,为级数的基波频率,系数为于是可表示为的傅里叶变换为

52

式中,Ωs=2π/T,称为采样角频率,单位是弧度/秒,根据傅里叶变换的卷积定理,可得出理想取样信号的频谱为

(2.63)53

上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴,每间隔采样角频率Ωs重复出现一次,或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期,进行周期性延拓而成,乘以系数1/T。设xa(t)是带限信号,最高截止频率为Ω0,其频谱Xa(jΩ)如图(a)所示。54

_55

56

设原信号是最高频率为的带限信号。从图2.25中可看出,当或时,平移后的频谱必互相重叠,重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同,如图2.25(d)所示。这种现象称为“混叠”现象。如果原信号不是带限信号,则“混叠”现象必然存在。在理想取样中,为了使平移后的频谱不产生“混叠”失真,应要求取样频率足够高。在信号的频带受限的情况下,取样频率应等于或大于信号最高频率的两倍,即取样频率的一半,即称为折叠频率。等于信号最高频率两倍的取样频率(即)称为奈奎斯特频率。57

结论:(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号,采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。(2)设连续信号xa(t)属带限信号,最高频率为Ω0,如果采样角频率Ωs≥2Ω0,那么让采样信号通过一个增益为T,截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器,可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则Ωs<2Ω0会造成采样信号中的频谱混叠现象,不可能无失真地恢复原连续信号。(采样定理)58

H(jΩ)H(jΩ)593.频率归一化现在讨论离散时间信号的频谱与取样信号的频谱之间的关系。假设离散时间信号是模拟信号通过周期性取样得到的,即取样信号的频谱除用式(2.63)表示外,还可表示为60另一方面,离散时间信号的傅里叶变换为利用式(2.64)的关系,比较式(2.65)和(2.66)得61将式(2.63)代入上式得(2.67)或(2.68)式(2.67)表明,在的条件下,离散时间信号的频谱与取样信号频谱相等。由于(为取样频率)是对归一化的结果,故可以认为离散时间信号的频谱是取样信号的频谱经频率归一化后的结果,如图2.25(c)所示。6263

2.6序列的Z变换

2.6.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(2.6.1)

式中z是一个复变量,它所在的复平面称为z平面。注意在定义中,对n求和是在±∞之间求和,可以称为双边Z变换。64图2.6.1Z变换的收敛域65常用的Z变换是一个有理函数,用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点,分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在,因此收敛域中没有极点,收敛域总是用极点限定其边界。

66

例2.12求如图2.42(a)所示序列

的Z变换及其收敛域。67682.6.3逆Z变换

已知序列的Z变换及其收敛域,求序列称为逆Z变换。69

1.幂级数法(长除法)按照Z变换定义(2.6.1)式,可以直接将X(z)写成幂级数形式,级数的系数就是序列x(n)。70

要说明的是,如果x(n)是右序列,级数应是负幂级数;如x(n)是左序列,级数则是正幂级数。例2.6.8已知用长除法求其逆Z变换x(n)。解:由收敛域判定这是一个右序列,用长除法将其展成负幂级数711-az-1

72

2.部分分式展开法

73

74

表2.6.1常见序列Z变换752.7系统函数2.7.1传输函数与系统函数设系统初始状态为零,输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应,称为系统的单位脉冲响应h(n),对h(n)进行傅里叶变换得到H(ejω)

一般称H(ejω)为系统的传输函数,它表征系统的频率响应特性。76设h(n)进行Z变换,得到H(z),一般称H(z)为系统的系统函数,它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程进行Z变换,得到系统函数的一般表示式如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1,H(ejω)与H(z)之间关系如下式:77

式(2.142)是的有理函数,分子和分母的系数分别是差分方程(2.141)等号右边和左边的系数。对式(2.142)进行因式分解得:式中,和分别表示在z平面上的极点和零点。这样系统函数可以用z平面上的极点,零点和常数A来确定。78

2.7.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果(可实现)系统其单位样值响应h(n)一定满足当n<0时,h(n)=0,那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞

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