完整版lambert问题一般解法

Lambert问题基本解法引言Lambert问题是航天动力学中经典的两点边界值问题,在空间交会、星际航行等领域中有广泛的应用。Lambert问题可以表述为给定空间中的两个位置P1和P2(对应的矢量分别为1和2)以及飞行时间(tf)和飞行方向(顺时针或逆时针)，要求飞行器由位置P1经过时间tf飞行到位置P2的开普勒轨道。目前，解决lambert问题已经有相当成熟的理论和方法。本文将阐述lambert问题的一般解法，并用Battin方法分析多圈lambert轨道问题。Lambert问题的一般解法解决lambert问题有很多方法，比较常用的有lambert-euler方法、Gauss方法、以及匕@e壮方法。以上方法都是以lambert定理为基础的解法，lambert定理可以表述为：在kepler轨道上运行一段弧线所需要的时间”只取决于三个量：轨道半长轴a,弧起点和终点到引力中心的距离之和行1+=2),以及连接弧起点和终点的弦长c。即：tf=(a,r1+r2，c)下面将给出匕@廿m方法求解lambert问题的计算步骤和公式：1)求起点和终点的矢径夹角eacos（h2；%2。2）2r1r2其中：4=r1；r=r2;c=r1 r2112 2 12

区江义月，当R⑶<0；=2n-e0；当区江义月，当R⑶<0；其中:S=rir2c23)求lagrange参数和lagrange转移时间方程lagrange参数其中:S=rir2c23)求lagrange参数和lagrange转移时间方程lagrange参数a,P可以表示为s-ca—arccos(x),B0=2acrsin/——s-ca—arccosh(x),B=2acrsinh0 -2a椭圆双曲线对于B,当e>兀，B=-B0；当e<兀，B=8。。其中：a为半长轴；x定义为x2=l-am，可以分析得到a>ama=8“a<0椭圆抛物线双曲线lagrange转移时间方程表示为a3 ..tf—J_2nN(a—sin(a))—(B—sin(B))椭圆/(一a)3,t=J (sinh(a)-a)-(sinh(B)-B)双曲线1fYu由于r r和二可以用匕，J表示，这样，lagrange转移时间方程-1- 乙 -1- 乙就转化为tf=/(x,不丹)。下图为给定T，F后，“tf=/(x)与~tf=£ 乙 乙 £ £/(a)的对比图:图1飞行圈数N=0,tf=/(x)(左)与tf=/(a)(右)的对比图x-1 -0.8-0.6 -0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20a图2飞行数N=1,tf=/(x)(左)与tf=/(a)(右)的对比图说明:.半长轴a单位是1AU,时间t单位是1TU/2"。(AU,TU为天文单位).从图1tf=/a)与tf=/(a)的对比中，我们可以看出：对于N=0时，以x为变量能够应有无奇点全局收敛性；而以a为变量则存在a=0的奇异点。.从图2tf=/(x)与tf=/(a)的对比中我们可以看出：对于N>0时,对于给定的tf会存在两个x或a与之对应。并且对于x<0，随着x的减小，tf会增加；而对于x>0，tf会先减小后增加。.比较图1和图2,对于指定飞行圈数的lambert问题，当N=0时，存在唯一的x与tf对应；当N>0时，存在两个的x与tf对应。.下面分析N>0时，x与tf对应关系：tf>tm时，存在两个x与之对应，一个大于零，一个小于零。tmin<tf<tm时，存在两个x与之对应，两个都大于零。tf=tmin时，存在一个x与之对应。tf<tmin时，不存在x与之对应。

tf<tmin时，不存在x与之对应。4）求起点和终点的速度「2入a—m—（九+X「2入a—m—（九+X"）r12Xa erm+（＞+x"）+cos（2）r1i+vrr2工sin（2）i_riivr［e）

r;sin（2）ivtj其中:"二、"二计算实例'"二、"二计算实例'fam__a_sinh2（上学am入=F：s（2）入二广:。s（2）椭圆双曲线1.由轨道［100000］到［1.500002兀/3］和［1.500004兀/3］经过时间tf=1：6的飞行轨道。-3x1083210-1-2-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -3x1083210-1-2-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5Xx108-2.5图3N=0飞行轨道图表1起点和终点的速度（V1和V2）N=0tf=1tf=2tf=3tf=4tf=5tf=6[1.5V1[-39.2864[-7.5725[4.0733[10.2746[14.1788[16.88660(km/s)51.367336.700032.294730.173828.917728.081800]0]0]0]0]0]0V2[-54.2429[-28.5064[-19.7163[-15.1870[-12.3889[-10.47190(km/s)25.46180.4413-8.9100-13.9271-17.0988-19.30452兀/3]0]0]0]0]0]0][1.5V1[-66.1614[-29.0626[-16.4928[-10.0342[-6.0486[-3.31960(km/s)17.200324.666728.201630.253131.602232.563100]0]0]0]0]0]0V2[-21.4950[2.0836[10.7495[15.3606[18.2622[20.27390km/s)-60.1642-29.2801-18.9835-13.7321-10.5053-8.30204兀/3]0]0]0]0]0]0]x10图4N=1飞行轨道图表2目标轨道为［1.500002兀/3］时起点和终点的速度N=1tf=12tf=13tf=14tf=15tf=16tf=17[1.5V1[2.5296[-0.0559[-1.6034[-2.7265[-3.6052[-4.32230(km/s)32.846833.793434.373034.799835.137235.415000]0]0]0]0]0]002兀/3]V2km/s)[-20.8600-7.66520][-22.7904-5.58380][-23.9545-4.34020][-24.8035-3.43870][-25.4702-2.73400][-26.0158-2.15930]问题总结:对于飞行圈数N>0的情况会得到两组计算结果，究竟哪一个所需要的转移能量最小只能把两个结果求出来比较得到。不过，当起点和终点矢径夹角小于汽时，x>0情况下会得到较小偏心率的解；夹角大于汽，情况正好相反。一般情况下，对于初始轨道偏心率不大的情况下偏心率较小结果所对应的x所需要的转移能量较小。参考文献：RichardH.Battin,Ph.D.AnIntroductiontoThemathematicsandmethodsofastrodynamics.AIAAEdu