数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第64课轨迹方程

第64课轨迹方程【自主学习】第64课轨迹方程(本课时对应同学用书第167~168页)自主学习回归教材1.(选修21P60例1改编)假设长为2a(a为常数)的线段AB的两端点A，B分别在相互垂直的两条定直线上滑动，那么线段AB的中点M的轨迹是.【答案】圆弧2.(选修21P59例2改编)(1)平面内到两个定点A(m，0)，B(m，0)的距离之比等于1的动点M的轨迹方程是；(2)平面内到两个定点A(1，0)，B(1，0)的距离之比等于2的动点M的轨迹方程是.【答案】(1)x=0(2)3x2+3y210x+3=03.(选修21P60习题3改编)假设动点P到点F(2，0)的距离与它到定直线x+2=0的距离相等，那么点P的轨迹方程为.【答案】y2=8x【解析】由题意知点P的轨迹是以F(2，0)为焦点，以直线x+2=0为准线的抛物线，可设方程为y2=2px，那么p=4，即抛物线方程为y2=8x.4.(选修21P33习题7改编)点M与椭圆+=1的左焦点和右焦点的距离之比为2∶3，那么点M的轨迹方程为.【答案】x2+y2+26x+25=0【解析】设点M(x，y)，由=，得=，化简得点M的轨迹方程为x2+y2+26x+25=0.1.一般地，在平面直角坐标系中，假如某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线.2.求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合：{M|P(M)}；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明化简前前方程的解集是相同的.步骤(5)可以忽视不写，如有特别状况，可以适当地说明.3.几种常见求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满意的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫作作直接法.(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫作定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何学问分析得出这些条件.(3)相关点法假设动点P(x，y)随曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0，y0可用x，y表示，那么将点Q的坐标表达式代入曲线方程，即得点P的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法).【要点导学】要点导学各个击破曲线与方程例1推断以下结论的正误，并说明理由.(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3；(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=2；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1；(4)△ABC的顶点A(0，3)，B(1，0)，C(1，0)，D为BC的中点，那么中线AD的方程为x=0.【思维引导】此题需要从纯粹性和完备性两个方面去检验.【解答】(1)满意曲线方程的定义，所以结论正确.(2)由于到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y=2，即不具备完备性，所以结论错误.(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|=1，即xy=±1，即所给问题不具备完备性，所以结论错误.(4)中线AD是一条线段，而不是直线，所以x=0(3≤y≤0)，即所给问题不具备纯粹性，所以结论错误.【精要点评】推断曲线与方程的关系时，假如检验完备性：即查找有没有其他方程也是该曲线的方程——解不比点多；假如检验纯粹性，即查找满意方程的解所对应的点是不是还在其他曲线上——点不比解多.假如两个方面都满意，那么曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.直接法求轨迹方程例2椭圆C：+=1，P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，且=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【思维引导】设出点M的坐标(x，y)，依据条件=λ直接将坐标代入即可.【解答】设点M(x，y)，其中x∈[4，4].由=λ2及点P在椭圆C上可得=λ2，整理得(16λ29)x2+16λ2y2=112，其中x∈[4，4].①当λ=时，化简得9y2=112，所以点M的轨迹方程为y=±(4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段.②当λ≠时，方程变形为+=1，其中x∈[4，4].当0<λ<时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满意4≤x≤4的局部；当<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满意4≤x≤4的局部；当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.【精要点评】解决这个问题的关键是点P，M坐标之间的关系和几何条件=λ的应用.在分析这个关系时需留意依据OP，OM分别是点P，M到坐标原点的距离，对几何条件=λ的两端进行平方，这样也便于应用点P在椭圆上的条件，由于平方后，就可以把点P的纵坐标y用点M也是点P的横坐标x表达出来，这样就建立了关于点M坐标之间的一个方程，化简整理就可得到点M的轨迹方程.在解答数学试题时对题目中的条件进行有目的的变换，到达便于利用的目的，是解决问题的重要技巧之一.变式在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程.【解答】由于点B与点A(1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1).设点P的坐标为(x，y)，由于直线AP与BP的斜率之积等于，所以·=(x≠±1)，化简得x2+3y2=4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).定义法求轨迹方程例3点B是定圆A内的一个定点，C是圆A上的动点，求线段BC的垂直平分线与半径AC的交点E的轨迹方程.【思维引导】在将题目所给条件进行转化时，可以考虑该条件是否符合某种曲线的定义.(例3)【解答】如图，连接BE，由于DE是BC的垂直平分线，所以CE=BE，所以AE+BE=AC=R(R是圆的半径)，是定值.又由于点B在圆内，所以AC=R>AB，所以点E的轨迹是以A，B为焦点，R为长轴长的椭圆.以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设AB=2c，2a=R，所以a=R，所以点E的轨迹方程为+=1.【精要点评】当动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义(如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线)时，可以直接依据定义写出动点的轨迹方程.解题的关键要抓准动点动的“缘由〞，这种方法叫作定义法.相关点法求轨迹方程例4如图，设λ>0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y=x2上运动且满意=λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满意=λ，求点P的轨迹方程.(例4)【思维引导】点B在抛物线上，依据向量关系式=λ可得点B的坐标与点Q的坐标之间的关系式，设P(x，y)，那么依据向量关系式=λ又可得点Q的坐标和点P的坐标之间的关系式，通过这两组关系式即可建立点B的坐标与点P的坐标之间的关系，然后把点B的坐标代入抛物线方程即得所求的轨迹方程.【解答】由=λ知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，那么x2y0=λ(yx2)，所以y0=(1+λ)x2λy.①设点B(x1，y1)，由=λ，即(xx1，y0y1)=λ(1x，1y0)，解得②将①式代入②式，消去y0，得③又点B在抛物线y=x2上，所以y1=，再将③式代入y1=，得(1+λ)2x2λ(1+λ)yλ=[(1+λ)xλ]2，(1+λ)2x2λ(1+λ)yλ=(1+λ)2x22λ(1+λ)x+λ2，2λ(1+λ)xλ(1+λ)yλ(1+λ)=0.又λ>0，两边同除以λ(1+λ)，得2xy1=0，故所求点P的轨迹方程为y=2x1.【精要点评】此题中的相关点较多，但根本思想是点P的运动受到点B的运动的制约，这种状况下就是把点B，P之间的坐标关系求出，以点P的坐标表示点B的坐标，然后代入抛物线方程，其中点Q的坐标起到了一个桥梁的作用.变式在△ABC中，A(2，0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y=3x21上移动，求△ABC的重心的轨迹方程.【解答】设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得x=，y=，所以代入y1=31，得3y+2=3(3x+2)21，所以y=9x2+12x+3，即为所求的轨迹方程.1.曲线C是平面内与两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出以下三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③假设点P在曲线C上，那么△F1PF2的面积不大于a2.其中正确的结论是.(填序号)【答案】②③【解析】设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为·=a2.由于a>1，故原点坐标不满意曲线C的方程，故①错误.以x，y分别代替曲线C的方程中的x，y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确.=|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2=a2×sin∠F1PF2≤a2，故③正确.2.在△ABC中，点A(4，0)，B(4，0)，假设∠ACB=45°，那么顶点C的轨迹是.【答案】两段圆弧3.△ABC的顶点A(0，2)，C(0，2)，三边a，b，c成公差大于零的等差数列，那么点B的轨迹方程是.【答案】+=1(0<y<4)4.AB是圆O的直径，且AB=2a，M为圆O上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使OP=MN，求点P的轨迹方程.【解答】以圆心O为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(如图)，那么圆O的方程为x2+y2=a2.设点P(x，y)，并设圆O与y轴交于C，D两点，作PQ⊥AB于点Q，那么有=.由于OP=MN，所以OP2=OM·PQ，所以x2+y2=a|y|，即x2+=，因此点P的轨迹是分别以CO，OD为直径的两个圆.(第4题)趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第127~128页.【检测与评估】第64课轨迹方程一、填空题1．定点F1(1，0)，F2(1，0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，那么动点P的轨迹方程是.2．动点P到定点F(，0)的距离与它到定直线l：x=2的距离之比为，那么点P的轨迹为.3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F.假设动点P满意PF2PB2=4，那么点P的轨迹方程为.4．假设高分别为8m和4m的两根旗杆笔直地直立在水平地面上，且相距10m，那么在地面上观看两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程为.5．定点A(1，0)，Q为椭圆+y2=1上一动点，那么AQ的中点M的轨迹方程为.6．点O(0，0)，A(2，1)，B(2，1)，曲线C上任意一点M(x，y)满意|+|=·(+)+2，那么曲线C的方程为.7．圆C1：(x+3)2+y2=1与圆C2：(x3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，那么动圆的圆心M的轨迹方程为.8．当α∈时，方程x2sinαy2cosα=1表示的曲线可能是.(填序号)①圆；②两条平行直线；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线.二、解答题9．P是圆x2+y2=4上任意一点，定点A(6，0)，点Q满意=2，求点Q的轨迹方程.10．曲线C：y2=2x4．(1)求曲线C在点A(3，)处的切线方程；(2)过原点O作直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程.11．在平面直角坐标系xOy中，定点F(1，0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满意·=0，+=0.(1)求动点N的轨迹C的方程；(2)假设Q是直线l：x=1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1+k2=2k0.三、选做题12．圆C：x2+2x+y263=0内有肯定点A(1，0)，P是圆C上一个动点，连接PA与CP，AP的垂直平分线交CP于点M，那么点M的轨迹方程为.【检测与评估答案】第64课轨迹方程1．+=1【解析】由F1F2是PF1与PF2的等差中项，知PF1+PF2=4，故动点P的轨迹是以定点F1(1，0)，F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为+=1．2．椭圆【解析】设点P(x，y).依题意有=<1，故该动点的轨迹为椭圆.3．x=【解析】设点P(x，y).由得F(2，0)，B(3，0).由PF2PB2=4，得(x2)2+y2[(x3)2+y2]=4，化简得x=，故所求点P的轨迹方程为x=.4．3x2+3y250x+75=0【解析】设两根旗杆在水平地面上的点分别为A(5，0)，B(5，0)，P(x，y)为轨迹上的点，仰角为θ，那么tanθ=，tanθ=，所以PA=2PB，所以=2，所以3x2+3y250x+75=0.5．+4y2=1【解析】设Q(x0，y0)，M(x，y).由于M是AQ的中点，所以由于Q为椭圆+y2=1上的点，所以+=1，所以+(2y)2=1，即+4y2=1，所以点M的轨迹方程为+4y2=1．6．x2=4y【解析】=(2x，1y)，=(2x，1y)，=(x，y)，+=(0，2).由于|+|=·(+)+2，所以=2y+2，所以x2=4y，所以曲线C的方程为x2=4y.7．x2=1(x≤1)【解析】由得点C1(3，0)，C2(3，0)，r1=1，r2=3．如图，设动圆M的半径是r.由于圆M与圆C1、圆C2外切，所以MC1=r+1，MC2=r+3，所以MC2MC1=2，即圆心M到两定点C1，C2的距离之差为常数，所以圆心M的轨迹是双曲线的左支，故2a=2，2c=C1C2=6，所以b=2，所以动圆圆心M的轨迹方程是x2=1(x≤1).(第7题)8．①②③【解析】由于α∈，所以当α=时，sinα=cosα=，此时x2sinαy2cosα=1，即x2+y2=，表示一个圆；当α=时，sinα=1，cosα=0，此时x2sinαy2cosα=1，即x2=1，表示两条平行直线；当<α<π且α≠时，cosα<0<sinα，且|sinα|≠|cosα|，此时x2sinαy2cosα=1表示椭圆.9．设点P的坐标为(a，b)，点Q的坐标为