第12讲运动路径长度问题2020年中考数学二轮冲刺核心重点难点热点15全国通用解析版

《隐圆模型《共顶点模型》-也可称“手拉手模《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一平行线分线比例——动点到某条线的距离与某平行线比两平行线的性质——平行线间的距离，处处相Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到 一、路径为圆二、路径为直三、路径为往【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、MPBRt△BPQPMNMNQ运动的路径长为 A．B． 设⊙OABCOC ∵△ABO和△QBP又∵PMNM2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4CD⊥ABOB的中点，PBC上一动点，DFAP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度 “【解析】DQ⊥ACQPC点时，FQPB点时，FE∴FAD∴点F运动的路径为∵CD⊥ABOB ∴△ACD∴MQME∴F运动的路径长度＝＝．3】如图，⊙O1AB＝1PAB上一动点，AC⊥APPBC△ABC的最大面积 “∴△OAB∵AB＝1，要使△ABCCAB∵∠ACB＝60C在⊙D2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为，∴△ABC的最大面积为．4Rt△ABCAB2，OAB的中点，PACOQ⊥OPBCQ，MPQPACM所经过的路线长为（A.B.C. D.“OCPE⊥AB于E，MH⊥ABH，QF⊥ABF∴AC=BC= ∵O为AB∴OC⊥AB，OC，222

222

222

2 2 2 22

∵MPQ∴MHPEFQ∴MH=2

（PE+QF）=2

MAB12P从点AC时，点M所经过的路线长2

故答案为：C[OM，CMMOC中垂线（0，6点D是线段OA上的一点，以BD为边向等边△BDE．3EyE1DyAOE也会在一条直线上滑E运动路径的长度．“∵△BDE在△DOE和△BOE中 ∴△DOE≌△BOE（SSS∴E（0，﹣2在△ABD和△CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS∴当D在OA上滑动时，点E与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，E6．6如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABCxA与原点重合，结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．“【解析】①AOA2C′A⊥y轴，CCC′的长，∴AC′＝OC＝8， ②ABO此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点BOA，AB．当△AOBt1≤t≤5M“（2）B（a，a2﹣4a∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、①OB2＝OA2+AB2a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，x＝2时，y＝﹣3P（2，﹣3②AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，则直线OB解析式为y＝x，P（2，1③OA2＝AB2+OB220＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，（a﹣3（a2﹣5a+6）＝0，a＝3a＝2（舍，∴B（3，﹣3∴OBx＝2时，y＝﹣2P（2，﹣2综上，当△AOB为直角三角形时，t12（3）∵⊙M为△AOB∴点M段OA的中垂线上∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是段OA中垂线上的一条线段，t＝11，由（2）知∴Rt△OABMOBt＝52，由（2）∴Rt△OABMABA（2，﹣4t＝23，由（2）∴Rt△OABMOA∵A（2，﹣4∴M（1，﹣2则点M经过的路径长度 B由点O向右移动时，点P移动的路径长为 C．“OB＝tOA＝5﹣t，∴B（t，0，A（0，5﹣t，K（∴点P的运动路径的长为＝，过9】1Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8PAACC1个单位长度的速度运动，动点QCCBB2P作PD∥BCAB于点DPQA、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止t秒（t≥0PQM所经过【分析】解 “【解析】2CAC所在的直线为x（3，0（1，4M1M2y=kx+b，∴，解得Q（，2，（6-∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（把x=代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．M2M2N⊥xNM2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度△BDEDACE2AB=2DRt△ABCACBDE为直角顶Rt△BDEDACE运动的路径长；3AB=2DRt△ABCACBDD为直角顶Rt△BDEDACE运动的路径长；4AB=2DRt△ABCACBDD为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120DACE运动的路径长；【分析】解 “26【解析】 ；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长 “易得点D的运动轨迹的长为 如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是． ∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4 ∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∴EFHP∵MEF∴MPHP的运动过程中，MPHMHCD的中QN． ﹣3，即M的移动路径长为4 AB＝10，PABABAPE为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为 ∴EFHP∵GEF∴GPHP的运动过程中，GPHG的运行轨迹为△HAB的中MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3 ∵AB为⊙O 而∴BQ为⊙OQ∵ACPC即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为 【答案】M ， 在△EGM和△FHMMBC的线段PA重合时,BF1=AE=2，PB重合时 ∴即∵M1M2是△EF1F2∴M1M2=等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相P．∠APBEACP在△ABE和△CAF，∴△ABE≌△CAF（SAS又∴PEACPAB△ABP为等腰三角形，且∴OA＝2，点P的路径是 ∴P∴EAC的中点时，CP长度的最小，P为△ABC的中心，BBE′⊥AC∴PC＝2．∴CP1可知，CPCOOA，OAPC如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过 C从点ADB从何时，ADBCP运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，ADBCP是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点EEAPB的圆心；据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,弧APB的长度== ，（﹣3，0，B（，3，C（1，4，C，M∠C＝90°，∠CPM＝30°PABMM点运PAMH⊥ABHCM1⊥MHM1BC，CH，BM1．取AMKKC、KH．[或者用相似解答]∴A、H、C、M 在Rt△ACB中，AC＝＝2，在Rt△ACM中 当点P与B重合时，点M与M1重合，HM1＝BC＝∴MM1＝HM﹣HM1＝∴当P点从A运动到B点时，点M运动的路径是线段MM1，M点运动路径长度为如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段ADQD2D﹣O﹣CP、Q同时PD点时，P、Qt秒．t＝1P、QP、Q4t若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为（1）1QK⊥AD∵ABCD 解得t＝2或（舍弃）②23＜t≤6QH⊥ADH，OK⊥ADK，OF⊥OH∴PHPQ＝4综上所述，t＝24s（3）3OK⊥ADK．QH⊥AD∵ABCD∴点 段OK上，当点Q从D到O时，点M的运动距离＝OK＝如图4中，当点Q段OC上时，取CD的中点M′，OK的中点M，连接MM′，则点M的运动轨迹MM′． ＝∴在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为 10（2019PQ＝ADMPQPM＝QM，∠M＝120°PAB时，M运动的路径长为3﹣．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)1ME⊥ABE，MF⊥BCF∵△ABC∵MPM，∴MEP△FQAAS∴M＝，∴BM平分∠ABC，∴MBM 当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝ 设BM交AC于G，点M的运动路径是G→M→M1∴点M的运动路径的长＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案为3﹣．∴△ACQ由（1）∴△CEFEABCD则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为 点E运动路径的长度是．1OOE⊥OBABEEEF⊥OAFFO的长是，∠FEO＝60 2PABPPM⊥OAM，PN⊥OBNM，N分别OA，OBMN，则Rt△EFO①PABMO重合时，∠PMB＝30°，NO重合时，∠PNA＝30°，②∵Rt△PMORt△PNOHPO∴P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上，HHK⊥MNK，∴H是△PMN的外接圆的圆心，HD重合，∴点D是以点O为圆心OP＝4为半径如图，AB为⊙OAB＝4C在半圆上，OC⊥ABO，P为半圆上任意一点，PPE⊥OCE，设△OPEMOM、PM．求∠OMPPBAM【解析 ∵△OPE∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和MBOC内时，C、M、O三点作⊙O′COD ∴弧OMC的长 π（cm同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，所以内心M所经过的路径长为2× 14（2019•于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（ ACACOBPxcm，CQABCD ，即 ∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4x＝2时，yM2OM＝1，15（2019•向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ∵△OPH（∠HOP+∠OPHPH⊥OA，即∠PHO＝90°，又∵OP＝OA，OI公共，IOA135°的一段劣弧上；A、I、O三点作⊙OO′A，O′O，AOP ∴弧OA的长 π（cm所以内心I所经过的路径长为πcm．16（2017•∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长 A．B．C．∵∠BAC＝90°，E∴点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是，在⊙P上取一点M′，连接BM′、∴△BCP∴点E运动的路径长是＝π，17（2020运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（ B．C．ADMDM＝ADCMQCM．QN⊥BCN，在△ABP和△PNQ，∴点Q 段CM上，点Q的运动轨迹是线段CM， 18（2012•则（2m﹣n+3）2的值等于16 P（﹣1，﹣3P（0，﹣1ykx+bk≠0，∴2m﹣1＝n2m﹣n＝1，∴原式＝（1+3）2＝16．19（2018C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为﹣OC、BC，PBCPH⊥ABHCABE在⊙PAP交⊙PEAEAE的最小值，Rt△APH中，AH＝3，PH＝1，∴AE′＝﹣，∴AE的最小值为﹣．故答案为﹣20（2016•桂林CFPOABCOAOFO90P 【解析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、AOCB∵EF是⊙O∵EFPG为圆心，GE 21（2017A（8，0P（0，mP逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为 BH⊥OH∴B（m，8+m P（m，mM（0，﹣8M′（﹣8，0故答案为8．如图，P2ABCDBCDPP90，MPBEDA的延长线上，AE＝AD＝2PCEB重合，BE的中点M的运动轨迹为线段 M1M2＝EC＝ ＝ EH⊥CBCBHM2K⊥CHK．∴M2K＝EH＝PC＝∵tan∠M2M1K＝，tan∠DE′C＝tan∠E′CH＝MM1M2．等边△ABC18AC，BCD，EAE，BDPAE＝BD，当D从点A运动到点C时，点P所经过的路径长为4π或9．①AD＝CEPDACPAB∴点P的路径长l