《离散数学》第6章 几个典型的代数系统

第6章几个典型的代数系统√6.1半群与群√

6.2子群

6.3循环群和置换群6.4陪集与拉格朗日定理6.5正规子群、商群和同态基本定理6.6环和域6.7例题选解习题六6.1半群与群半群与群都是具有一个二元运算的代数系统，群是半群的特殊例子。事实上，群是历史上最早研究的代数系统，它比半群复杂一些，而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。逻辑关系见图6.1.1。图6.1.1群半群定义6.1.1设〈S，*〉是代数系统，*是二元运算，如果*运算满足结合律，则称它为半群（semigroups）。换言之，x,y,z∈S，若*是S上的封闭运算且满足(x*y）*z=x*（y*z），则〈S，*〉是半群。许多代数系统都是半群。例如，〈N,+〉，〈Z,×〉，〈P(S),〉，〈SS,〉（SS={f|f：S→S}，是复合运算）均是半群。但〈Z,-〉不是半群。再如，设Σ是有限字母表，Σ+是Σ中的字母串，Σ*={λ}∪Σ+，其中λ是不含字母的空串，运算τ是字母串的“连接”运算，则〈Σ*,τ〉是半群。如Com∈Σ*，puter∈Σ*，经τ运算后，得Computer仍是字母串。

【例6.1.1】，则〈S,·〉是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算。证明对任意的因为且a1a2≠0，所以，因此·运算封闭。又因为矩阵运算满足结合律，所以〈S,·〉是半群。·

【例6.1.2】，则〈S,+〉不是半群。这里+代表普通的矩阵加法运算。证明对任意的取a2=-a1，则且a1+a2=0，所以因此*运算不封闭。所以〈S,+〉不是半群。【例6.1.3】，则〈S,·〉不是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算。证明取则所以，因此*运算不封闭。所以〈S,·〉不是半群。对于半群中的元素，我们有一种简便的记法。设半群〈S,*〉中元素a（简记为a∈S）的n次幂记为an，递归定义如下：

a1=a

an+1=an*a1

n∈Z+

即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。因为半群满足结合律，所以可用数学归纳法证明

am*an=amn，(am)n=amn。普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等具体的代数系统都满足这个幂运算规则。如果有a2=a，则称a为半群中的幂等元。

定理6.1.1

若〈S,*〉是半群，S是有限集合，则S中必含有幂等元。证明因为〈S,*〉是半群，a∈S,有a2,a3,…,∈S。因为S是有限集合，所以必定存在j＞i，使得ai=aj。令p=j-i，便有ai=aj=ap*ai，所以aq=ap*aq(q≥i)。因为p≥1，所以可找到k≥1，使得kp≥i

akp=ap*akp=ap*(ap*akp)=a2p*akp=a2p*(ap*akp)=…=akp*akp

即在S中存在元素b=akp，使得b*b=b。下面介绍一些特殊半群。定义6.1.2如果半群〈S,*〉中二元运算*是可交换的，则称〈S,*〉是可交换半群(commutativesemigroups)。如〈Z,+〉，〈Z,×〉，〈P(S),〉均是可交换半群。但〈SS,〉，〈Σ*,τ〉不是可交换半群。定义6.1.3含有关于*运算的幺元的半群〈S，*〉，称它为独异点（monoid），或含幺半群，常记为〈S,*,e〉(e是幺元)。【例6.1.4】〈Z,+〉是独异点，幺元是0，〈Z,+,0〉；〈Z,×〉是独异点，幺元是1，〈Z,×,1〉；〈P(S),〉是独异点，幺元是，

〈P(S),,〉；〈Σ*,τ〉是独异点，幺元是λ(空串)，〈Σ*,τ,λ〉；〈SS,〉是独异点，幺元是IA，〈SS,,IA〉；但〈ZE,×〉不是独异点，因为无幺元，（1ZE，ZE：偶数集）。定义6.1.4

（1）设〈S，*〉为一半群，若T

S，*在T中封闭，则〈T，*〉称为子半群。（2）设〈S，*〉为一独异点，若T

S，*在T中封闭，且幺元e∈T，则〈T,*,e〉称为子独异点。我们前面提过，对于有穷集合的二元运算，可用运算表来给出。

定理6.1.2一个有限独异点，〈S,*,e〉的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。证明设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意的a，b∈S且a≠b时，总有

e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e。所以，在*的运算表中不可能有两行或两列是相同的。

该定理容易理解，因为幺元所在的行、列均与表头相同，所以不会出现两行（列）元素完全相同的情况。注意：对于有限半群，则不一定成立。

【例6.1.5】S={a,b,c}，*运算的定义如表6.1.1所示，判断〈S,*〉的代数结构？解（1）*是S上的二元运算，因为*运算关于S集合封闭。（2）从运算表中可看出a,b,c均为左幺元（3）x,y,z∈S，有

x*(y*z)=x*z=z(x*y)*z=x*z=z

满足结合律。所以〈S,*〉是半群。表6.1.1

【例6.1.6】〈Z4,+4〉，Z4={［0］,［1］,［2］,［3］}=Z/R(R是Z上的模4同余关系)，Z4上运算+4，定义为［m］，［n］∈Z4，［m］+4［n］=［(m+n)(mod4)］，它由表6.1.2给出。判断〈Z4,+4〉的代数结构。表6.1.2解（1）+4运算显然封闭。（2）由+4的定义可知+4可结合。（3）从运算表中可知［0］是幺元，所以〈Z4,+4〉是独异点。但在该表中没有任意两行（列）元素完全相同。半群及独异点的下列性质是明显的。

独异点中含有幺元。前面曾提到，对于含有幺元的运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，这一点引出了一个特殊的独异点——群。定义6.1.5如果代数系统〈G，*〉满足（1）〈G，*〉为一半群；（2）〈G，*〉中有幺元e；（3）〈G，*〉中每一元素x∈G都有逆元x-1，则称代数系统〈G，*〉为群（groups）。或者说，群是每个元素都可逆的独异点。群的基集常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群。

【例6.1.7】

（1）

〈Z,+〉（整数集与数加运算）为一群（加群），数0为其幺元。〈Z,×〉不是群。因为除幺元1外所有整数都没有逆元。（2）〈N4,＋4〉为一4阶群，数0为其么元。（3）A≠，〈P(A),∪〉是半群，幺元为，非空集合无逆元，所以不是群。（4）A≠，〈P(A),∩〉是半群，幺元为A，非空集合无逆元，所以不是群。（5）A≠，〈P(A),〉的幺元为，

S∈P(A)，S的逆元是S，所以是群。（6）〈Q+,·〉（正有理数与数乘）为一群，1为其么元。〈Q,·〉不是群，因为数0无逆元。**因为零元无逆元，所以含有零元的代数系统就不会是群。

【例6.1.8】设g={a,b,c,d}，*为G上的二元运算，它由表6.1.3给出，不难证明G是一个群。且e是G中的幺元；G中任何元素的逆元就是它自己，在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，这个群称为klein四元群。

【例6.1.9】设〈G,*〉是一个独异点，并且每个元素都有右逆元，证明〈G,*〉为群。

证明设e是〈G,*〉中的幺元。每个元素都有右逆元，即x∈G，y∈G使得x*y=e，而对于此y，又z∈G使得y*z=e。由于x∈G均有x*e=e*x=x，因此

z=e*z=x*y*z=x*e=x

即

x*y=e=y*z=y*x=e

y既是x的右逆元，又是x的左逆元，故x∈G均有逆元，〈G,*〉为群。对群〈G，*〉的任意元素a，我们可以同半群一样来定义它的幂：a0=e，对任何正整数n，an+1=an*a，群的幂运算有下列性质：

定理6.1.4对群〈G，*〉的任意元素a,b，有（1）(a-1)-1＝a（2）(a*b)-1＝b-1*a-1（3）(an)-1=(a-1)n（记为a-n）（n为整数）证明（1）因为a-1的逆元是a，即a*a-1=a-1*a=e，所以

(a-1)-1＝a。（2）因为

(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e

所以a*b的逆元为b-1*a-1，即(a*b)-1＝b-1*a-1。（3）对n进行归纳。群首先是独异点，所以

an+1=an*a。n=1时命题显然真。设n=k时(a-1)k是ak的逆元为真,即(ak)-1=(a-1)k，那么

ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k

＝ak*(a-1)k=e(a-1)k+1*ak+1=(a-1)k*(a-1*a)*ak

＝(a-1)k*ak=e

故ak+1的逆元为(a-1)k+1，即(ak+1)-1=(a-1)k+1。归纳完成，得证。

定理6.1.5对群〈G，*〉的任意元素a，b，及任何整数m，n，有

（1）am*an=am+n

（2）(am）n=amn

证明留给读者。群的下列性质是明显的。定理6.1.6设〈G，*〉为群，则（1）G有唯一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元。（2）方程a*x＝b，y*a＝b都有解且有唯一解。（3）当G≠{e}时，G无零元。（1）结论是十分明显的。

(2)先证a-1*b是方程a*x＝b的解。将a-1*b代入方程左边的x，得

a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b

所以a-1*b是该方程的解。下面证明唯一性。假设c是方程a*x＝b的解，必有a*c=b,从而有

c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*b

唯一性得证。同理可证b-1*a是方程y*a＝b的唯一解。（3）若G有零元,那么由定理5.1.5知它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G={e}时，e既是幺元，又是零元。）定理6.1.7设〈G，*〉为群，则G的所有元素都是可约的。因此，群中适合消去律，即对任意a，x，y∈S，有

a*x=a*y蕴涵x=y

x*a=y*a蕴涵x=y定义6.1.6设G为有限集合时，称G为有限群（finitegroup），此时G的元素个数也称G的阶数（order）；否则，称G为无限群（infinitegroup）。由定理6.1.7可知，特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列。对于有限群，运算可用表给出，称为群表。从而有限群〈G，*〉的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的。因此，当G分别为1，2，3阶群时，*运算都只有一个定义方式(即不计元素记号的不同，只有一张定义*运算的运算表，分别如表6.1.4、6.1.5和6.1.6所示)，于是可以说，1，2，3阶的群在同构的意义下都只有一个。表6.1.4*eee表6.1.5*eaeaeaae表6.1.6

【例6.1.10】设〈G,*〉为有限独异点，适合消去律，证明〈G,*〉为群。证明设e是〈G,*〉中的幺元。由〈G,*〉适合消去律，即a，b，c∈G均有

a*b=a*c

b=c

b*a=c*a

b=c

又由于〈G,*〉为有限独异点，所以a∈G，n∈I+使得

an=e

a*an-1=e=an-1*a

故a∈G，an-1∈G是a的逆元，故〈G,*〉为群。

定理6.1.8设〈G，*〉为群，则幺元是G的唯一的幂等元素。证明设G中有幂等元x，那么x*x=x，又x=x*e，所以x*x=x*e。由定理6.1.7得x=e。故得证。

设〈G，*〉为群，如果我们用aG和Ga分别表示下列集合

aG={a*g|g∈G}Ga={g*a|g∈G}

那么我们有以下定理。

定理6.1.9设〈G，*〉为一群，a为G中任意元素，那么aG=G=Ga。特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列。证明aG

G是显然的。设g∈G，那么a-1*g∈G，从而a*(a-1*g)∈aG，

即g∈aG。因此G∈Ga。aG=G得证。Ga=G同理可证。

【例6.1.11】设g={a,b,c,d}，*为G上的二元运算，它由表6.1.7给出，不难证明G是一个群，且e是G中的幺元；G中元素b的逆元就是它自己，a与c互逆。在a，b，c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，这是除了klein四元群外的另一个四阶群。对群还可以引入元素的阶的概念。

表6.1.7定义6.1.7设〈G，*〉为群，a∈G，满足等式an=e的最小正整数n称为a的阶(order)，记作|a|=n。若不存在这样的正整数n，称a是无限阶。

【例6.1.12】(1)任何群G的幺元e的阶为1，且只有幺元e的阶为1。

(2)〈Z,+〉中幺元0的阶为1，而整数a=10时，a有无限阶。

(3)〈Z4,+4〉中［1］的阶是4，［2］的阶是2，［3］的阶是4。关于元素的阶有以下性质。定义6.1.8设〈G，*〉为一群。若*运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abelgroup）。阿贝尔群又称加群，常表示为〈G，+〉（这里的+不是数加，而泛指可交换二元运算，*常被称为乘）。加群的幺元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元。如

〈I,+〉（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）。

〈Q,+〉，〈R,+〉〈C,+〉均为交换群。〈Q+,·〉（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其幺元。〈N4,＋4〉为一4阶阿贝尔群。

定理6.1.13设〈G，*〉为一个群，〈G，*〉为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,y∈G，有（x*y）*(x*y)=(x*x)*(y*y)。证明先证必要性。设〈G，*〉为阿贝尔群，这对于任意的x,y∈G，有（x*y）=(y*x)，所以

(x*x)*(y*y)=x*（x*y)*y=x*（y*x)*y=（x*y）*(x*y)

再证充分性。设对于任意的x,y∈G，有

(x*y)*(x*y)=(x*x)*(y*y)。因为

x*(x*y)*y=(x*x)*(y*y)=(x*y)*(x*y)=x*(y*x)*y

由消去律可得

(x*y)=(y*x)

所以〈G，*〉为阿贝尔群。6.2子群定义6.2.1设〈G，*〉为群，H≠，如果〈H，*〉为G的子代数，且〈H，*〉为一群，则称〈H，*〉为G的子群(subgroups)，记作H≤G。

【例6.2.1】

〈Z,+〉是〈Q,+〉的子群；〈Q,+〉是〈R,+〉的子群；〈R,+〉是〈C,+〉的子群。

【例6.2.2】E

I，E为偶数集。那么〈E,+〉为〈I,+〉的子群；MI，M为奇数集，但〈M,+〉不是〈I,+〉的子群。显然，对任何群G，〈{e}，*〉及〈G，*〉均为其子群，它们被称为平凡子群，其它子群则称为非平凡子群或真子群。子群有下列特性定理6.2.1设〈G，*〉为群，那么〈H，*〉为〈G，*〉的子群的充分必要条件是（1）G的幺元e∈H。（2）若a，b∈H，则a*b∈H。（3）若a∈H，则a-1∈H。证明先证必要性。设H为子群。（1）设〈H，*〉的幺元为e′,对于任意x∈S

G,那么e′*x=x=e*x。由于在G中满足消去律,故e′=e,e∈H得证。（2）是显然的（因H为子代数）。（3）设〈H，*〉中任一元素a在H中逆元为b,那么a*b=b*a=e,因为H∈G,所以a,b∈G由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b=a-1∈H。充分性是明显的。事实上只要条件（2）、（3）便可使〈H，*〉为〈G，*〉的子群,因为H不空时条件（2）、（3）蕴涵条件（1），因此，可用（2）、（3）来判别非空子集H是否构成G的子群〈H，*〉。

对于有限群，子群的判别更为简单。定理6.2.2设〈G，*〉为群，H为G的非空有限子集，且H对*运算封闭，那么〈H，*〉为〈G，*〉的子群。

证明由于H为有限集，设|H|=k，a∈H。考虑

a1,a2,…,ak+1,…它们都在H中(H对*运算封闭)，由鸽巢原理，因此必定有ai=aj(0≤i＜j≤k+1)，从而aj-i=e，故e∈H。若H={e}，〈H，*〉为G的子群得证。若H≠{e}，设a为H中任意一个不同于e的元素。同上可证，有r≥2使ar=e，从而有ar=a*ar-1=ar-1*a=e

因此，a-1=ar-1∈H。据定理6.2.1，〈H，*〉为G的子群得证。

定理6.2.3设〈G，*〉为群，H是G的非空子集，那么〈H，*〉为〈G，*〉的子群的充分必要条件是a，b∈H有a*b-1∈H。

证明先证必要性。任取a，b∈H，由于H是G的子群，必有b-1∈H，所以a*b-1∈H。再证充分性。因为H非空，必存在a∈H(取b=a)，由已知条件有a*a-1∈H，即e∈H。任取a∈H，由e，a∈H有e*a-1∈H，即a-1∈H。任取a，b∈H，则b-1∈H，由已知条件有

a*(b-1)-1∈H，即ab∈H。据定理6.2.1，〈H，*〉为G的子群得证。6.7例题选解

【例6.7.1】设〈A,*〉是一个独异点，B是A中所有有逆元的元素集合，证明：〈B,*〉构成群。证明设e是〈G,*〉中的幺元，因为e-1=e，所以e∈B且a∈B必有a∈A，因此a*e=e*a=a*B，B中有幺元e。

a∈B，因为a有逆元a-1，而a与a-1互逆，所以a-1∈B。a，b∈B，因为（a*b）*b-1*a-1=a*b*b-1*a-1=e，所以a*b有逆元b-1*a-1，故a*b∈B。

由*在A上满足结合律，可知*在B上也必满足结合律。

因此，〈B,*〉构成群。

【例6.7.2】设〈G1,。〉、〈G2,

〉均是群，*是定义在G1×G2上的二元运算，且a1，a2∈G1，b1，b2∈G2，有〈a1,b1〉*〈a2,b2〉=〈a1。a2，b1

b2〉，证明：〈G1×G2，*〉是群。证明因为a1，a2∈G1，b1，b2∈G2，〈a1,b1〉,〈a2,b2〉∈G1×G2，而

a1。a2∈G1，b1

b2∈G2，所以

〈a1。a2，b1

b2〉∈G1×G2，*在G1×G2上封闭。

因为（〈a1,b1〉*〈a2,b2〉）*〈a3,b3〉

=〈a1。a2，b1

b2〉*〈a3,b3〉

=〈(a1。a2)。a3，(b1

b2)

b3〉

=〈a1。(a2。a3)，b1

(b2

b3)〉

=〈a1,b1〉*(〈a2,b2〉*〈a3,b3〉)故*在G1×G2上可结合。设e1、e2分别是群〈G1,。〉、〈G2,

〉上的幺元，因为

〈a1,b1〉*〈e1,e2〉=〈a1。e1，b1

e2〉=〈a1,b1〉=e1,e2〉*〈a1,b1〉

因此*在G1×G2上有幺元〈e1,e2〉。又

〈a1,b1〉*〈a-11,b-11〉=〈a1。a-11

，b1

b-11〉=〈e1,e2〉=〈a-11,b-11〉*〈a1,b1〉

所以〈a,b〉∈G1×G2，有逆元〈a-1,b-1〉∈G1×G2，故〈G1×G2，*〉是群。

【例6.7.3】在整数集

Z上定义运算*：a,b∈Z，a*b=a+b-2。问：〈Z,*〉是什么代数系统？（半群、独异点、群、环、域）解因为a,b∈Z，a*b=a+b-2∈Z，所以运算*在整数集

Z上封闭。由于a,b∈Z，有（a*b）*c=（a+b-2）*c

=（（a+b-2）+c-2）

=a+（b+c-2）-2

=a*（b*c）因此运算*在整数集

Z上可结合。

【例6.7.4】设〈H,*〉和〈G,*〉均是群〈S,*〉的子群，令HG={h(g|h∈H，g∈G}。证明：〈HG,*〉是S的子群的充分必要条件是HG=GH。证明先证必要性：假设〈HG,*〉是S的子群。任取g*h∈GH，则（g*h）-1=h-1*g-1∈HG，因为HG是群，所以HG上的元素（h-1*g-1）的逆（h-1*g-1）-1=g*h∈HG，证得GHHG。任取h*g∈HG，因为HG是群，所以（h*g）-1∈HG，且必存在着h1∈H，g1∈G，使得（h*g）-1=h1*g1∈HG，因为HG是群，所以，HG上的元素（h1*g1）的逆（h1*g1）-1=g-11*h-11∈GH，证得HGGH。综上可得HG=GH。再证充分性：假设HG=GH，

h1*g1，h2g2∈HG，有（h1*g1）*(h2*g2）-1

=（h1*g1）*（g-12*h-12）

=h1(（g1*g-12）*h-12

=（h1*g3）*h-12

（g3=g1*g-12∈G）由于GH=HG，所以必有h4∈H，g4∈G，使得h1*g3=g4*h4。继续上面等式的变换

=g4*（h4*h-12）

=g4*h5

（h5=h4*h-12∈H）

=h6*g6∈HG（因为HG=GH）因此，HG是S的子群。

【例6.7.7】设有集合G={1,5,7,11,13,17}，*是定义在G上的模18乘法。（即a,b∈G，a*b=(a×b)(mod18)，其中×是普通乘法。)(1)构造〈G，*〉的运算表。

(2)证明〈G，*〉是一个循环群。

(3)找出〈G，*〉的每一个非平凡子群，并给出其左陪集。表6.7.1证明

(1)〈G,*〉的运算表见表6.7.1。

(2)证明：由*的定义可知，*是可结合的。由运算表可知，*在G上是封闭的、可交换的。1是幺元。5与11、7与13互逆，1、17自逆。因为52=7，53=17，54=13，55=11，56=1，所以5是一个生成元，故，

〈G，*〉是一个循环群。

(3)非平凡子群：〈{1，17}，*〉，对应的左陪集为{1,17}，{5,13}，{7,11};〈{1,7,13},*〉，对应的左陪集为{1,7,13}，{5,11,17}。

【例6.7.8】设〈R，+，·〉是含幺环，对任意x∈R，都有x·x=x，证明：对任意x，y∈R，有（1）x+x=0。（2）x·y=y·x。证明（1）x∈R，由运算的封闭性知，x+x∈R，由题设（x+x）·（x+x）=x+x，所以（x·x+x·x）+（x·x+x·x）=x+x

即（x+x）+（x+x）=x+x

因为〈R，+〉是交换群，所以x+x的逆元是-（x+x），故（x+x）+（x+x）-（x+x）=（x+x）-（x+x）=0得x+x=0（2）任取x，y∈R，由于x+y∈R，所以（x+y）·（x+y）=x+y

即x·x+x·y+y·x+y·y=x+y

x+y+x·y+y·x=x+y

推得x·y+y·x=0

由（1）的结果推得x·y=y·x

【例6.7.9】设〈Z，+〉是整数加群，

〈R*，*〉是非零实数乘法群。f:Z→R*f(n)=n为偶数n为奇数证明：f是群的同态映射，并求出同态核Ker(f)和同态像f(Z)。证明n1，n2∈Z，当n1，n2均为偶数或均为奇数时，

f（n1+n2）=1=f（n1）*f（n2），当n1，n2为一奇一偶时，f（n1+n2）=-1=f（n1）*f（n2），因此f是群的同态映射。因为1是

〈R*，*〉的幺元，所以同态核Ker(f)={x|x=2n，n∈Z}，同态像f（Z）为〈{1，-1}，*〉。习题六

1．证明：含幺半群〈S,*〉的可逆元素集合inv（S）构成一子半群，即〈inv（S）,*〉为半群〈S，*〉的子半群。

2．设〈S，*〉为一半群，z∈S为左（右）零元。证明：对任一x∈S，x*z(z*x)亦为左（右）零元。

3．设〈S，*〉为一半群，a，b，c为S中给定元素。证明:若a，b，c满足

a*c=c*a,b*c=c*b

那么,(a*b)*c=c*(a*b)。

4．设〈{a,b},*〉为一半群，且a*a=b。证明:

（1）a*b=b*a

（2）b*b=b

5．代数系统〈{a,b,c,d},*〉中运算*如表6.1规定。

（1）已知*运算满足结合律，证明〈{a,b,c,d},*〉为一循环独异点。（2）把{a,b,c,d}中各元素写成生成元的幂。*abcdaabcdbbcdaccdabddabc

6．设〈S，*〉为一半群，且对任意x,y∈S，若x≠y则x*y≠y*x。（1）求证S中所有元素均为等幂元（a称为等幂元,如果a*a=a）。（2）对任意元素x，y∈S，

x*y*x=x,y*x*y=y

7．设Zn={0,1,2,…,n-1}，证明〈Zn,〉为群并称其为模n整数群。其中对任意a,b∈Zn，有a+b＜n

a+b≥n

8．设〈G，*〉为群，若在G上定义运算。,使得对任何元素x,y∈G，x。y=y*x。证明:〈G，。〉也是群。

9．设〈S，*〉是有限交换独异点，且*满足消去律，即对任意a,b,c∈S,a*b=a*c蕴涵b=c。证明〈S，*〉为一阿贝尔群。

10．设〈G，*〉为一群，e为幺元。证明：（1）若对任意x∈G有x2=e，则G为阿贝尔群。（2）若对任意x，y∈G，有(x*y)2=x2*y2，则G为阿贝尔群。

11．设〈G，*〉为一群a,b∈G且a*b=b*a,如果|a|=n,|b|=m，且n与m互质，证明：|a*b|=mn。

12．设p为素数。求证：在阿贝尔群中，若a，b的阶都是p的方幂，那么a*b的阶也必是p的方幂。

13．设〈G，*〉为群，定义集合s={x|x∈G∧y(y∈G→x*y=y*x)}。证明〈S，*〉为〈G，*〉的子群。

14．设〈H，*〉是群〈G，*〉的子群,〈K，*〉为〈H，*〉的子群。求证:

（1）〈K，*〉为〈G，*〉的子群。（2）KH=HK＝H（这里KH={k*N|k∈K∧N∈H}）。

15．设〈H1，*〉，〈H2，*〉都是群〈G，*〉的子群。求证：（1）〈H1∩H2，*〉为〈G，*〉的子群。（2）〈H1∪H2，*〉为〈G，*〉的子群当且仅当H1H2或H2H1。

16．设有集合G={1，3，4，5，9}，*是定义在G上的模11乘法（即a,b∈G,有a*b=(a×b)(mod11)，×是普通乘法），问〈G，*〉是循环群吗？若是，试找出它的生成元。

17．一个素数阶的群必定是循环群,并且它的不同于幺元的每个元素均可作生成元。

18．设G是6阶循环群，找出G的所有生成元和G的所有子群。

19．无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。

20．设G是n阶循环群，d整除n,证明:必存在唯一d阶子群。

21．设G是阿贝尔群,H．K为G的有限子群，|H|=p，|K|＝q。求证:当p,q互素时,G有pq阶循环子群。

22．设置换

求S2,S。T,T。S,S-1。T2。

23．求〈S3,。〉中各元素的阶，并求出其所有的子群。

24．证明：S上所有偶置换的集合An（n＝|S|）与置换的合成运算构成一个置换群。

25．把置换σ=（456）（567）（761）写成不相交轮换的积。

26．讨论置换

的奇偶性。

27．设有集合Z6={［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}，+6是定义在Z6上的模6加法。

(1)构造〈Z6，+6〉的运算表。

(2)证明〈Z6，+6〉是一个循环群