中国数学奥林匹克竞赛CMO模拟题13套

2012-2013年中国数学奥林匹克(CM0)模拟试题十三套(2O12-2O13Ci/62-模拟测忒1-1)巾边•仏的ft,II及位十./、万之间。户和p分別义的内心.证明：四边^ABQP^岡内接四边形UfXAOBC^ACB=-^°.(2012-2013^1/0-模拟测试1一2)设a,Are及且tfc+?^=3,求/*(a，A()=(a4+力4+r4)4+1000(a2力2+力2r2+a2r2)的最小值。（2013CJ/O一模拟测试1一3）设a，A是粮数，々是自然数。如果方程有整数解以满足条件|^/|=1,则或是一个整数的々次幂。（201361^一模拟测试1-4）梯形.仏中AB//CD.0延长线上点2；线段上点，满足ADAE^ZLCBF.令/表示0和的交点，<7表示-仏和的交点，f是线段的中点，且假设火小在直线-仏七。证明：/、乂B、四点共圆当11仅当AT、C、D.</四点共_。（2013CIA?一模拟测试1-5）令是一个实数集。称两个5到5的函数众为5上的一个“好”对，如果它们满足，（iy•和度都是严格递増的：⑵对任意的a-6^,都有x^（.o））＜^））o在上是否存在“好”对？（a）J为正整数集：M。b(2013CIA2一模拟测试1一6)令沦和/是两个正整数。…是一个由区间［0，1］上科/个不同的数组成的集合.记集介J中元素和为5(A).-个々元子集AcAf称为“好的”，.证明：乂f中“好子集的个数至少为（2013一模拟測试2-1）边的旁切圆与以万广为直径的阏相切。如果万r、ca. 的长构成等差数列，求乙/a.（2013CMO-模拟测试2-2）如果a.Ar是整数使得价巾是一个完全平方数，证明:（2013CJ/O一模拟测试2—3）证明：两条距离为#的平行直线之间（包括边界）的带形区域可以覆盖任意时积为#的三角形。（2013CJA?一模拟测试2_4）线段•和6^是锐W\^4BC的卨，两个过和，的阀分別切直线万于戶和p，且万位于67和f之间,证明，直线戶Z•和的交点位于MEF的外接_上。（2013CfA?一模拟测试2_5）令乳必，…，么是个+同的正粮数。证明：存在小同的衍标Z/，使得必+巧不粮除3/ti，3奶，…，3仏中任何数。（2013CJA2一模拟测试2—6）令函满足条件：对任意的R.都有证明：存在正粮数不属子函数/的值域。（2013C1/O一模拟测试3—1）四^ABCD内接于06＞，DA^CB交于水切＜36»于Z对角线./C和M的交点戶是AATO的蜇心。求NT.AP.（2013CJA2一模拟测试3—2）求听冇的正数a和6使得对任意A然数//有M加]]11。（2013CI/O一模拟测试3—3）一个有限数集中的所有数的和称为它的元素和。任意给定不同自然数⑺，办…，^证明:然数bxh，…、b„j氏in，满足下Ifti两个条件：（1）｛么人，…A｝的毎个+集有不同的元素和:屮毎一个数郁是沐及,…，某个子集的元素和。（2013CI/O一模拟测试3—4）凸四边^ABCD内点户，p满兔PQDA和 是圆内接四边形。假设线段戶ptj?在点f使得：以也AODE.APBE^AOCE.证明：ABCD是圆内接四边形。（2013CI/Z2一模拟测试3—5）正粮数列仍，奶，奶，…满足（必爪1）〉必.1，/=1，2,3,…，证明：办彡2\//彡0。（2013CIA?一模拟测试3-6）令J表示平向上的整点«。对于正孩数々，两个+同的点A，B色S称为和友好，如果存在使得△的而积等于A—个集合Zd称为么团体，如果7中任意两点是友好的。求最小正整数々使得存在一个由大T200个点组成的^团体。（2013611/0一模拟测试4一1）在△丄?C的边上取点J/、N、J/在d和yV之间.过J/平行于./C的直线交的外接_于点戶过J/平行于的直线交的外接圆子点O.过/V平行于AC的直线交ZUZ狄?的外接_于点A；过W平行于的直线交△及VT的外接圆T点z。证明：AQ、K、Z共圆当IL仅当iiAAV；（2013CIA?一模拟测试4一2）求听存的正粮数对（W），///>//,使得［/^十湖，脯脯］=22005。（其中［a，6］表示a，6的最小公倍数。）（2013CIA?一模拟测试4一3）若///是一个fl然数，、/={-///,-/針1，…，zv~l，///}，函数/：A-^A满足人氏⑹》n，，m（1）证明：w为偶数：（2）求出满足上述条件的函数的个数。（2013CJA?一模拟测试4一4）令//是一个正幣数，戶足一个素数，证明：如果存在幣数々，紅满足W'Ja=^=cQ（2013CJA?一模拟测试4一5）对于每个正整数//,求｛1,2,…片满足似（奶+边一"+仍），扣1，2,…，的排列｛乳必,…，么｝的个数。（2013CIA?一模拟测试4一6）设a，b，dk正数，且a7+^+?=3,求证:（2013CMO一模拟測试5—1）东ABCD是平行四边形，是锐角，点Z•和/•分別是点d?向、/汐和的垂直投影.岡过2?和，切对角线.ic?于点p,另一过万和'的圆切pr于它的中点戶。如果dp=l,求./r的长。（2013CI/O一模拟测试5—2）设^231和力是方程^1+1=0的根，5>umy\（//=l，2,…），找出参数a的所有位，使得对任意自然数"・有互+去+…+^->tl。52 53 ^1（2013CIA2一模拟测试5—3）给定自然数//,行先甲给出《个+同的自然数，然G乙去掉若干个数（可以为0个，但小能是全部）后，给剩下的毎个数前齟添上“+”或如果所得的代数和楚2006的倍数，则乙获胜.否则甲获胜。问谁有必胜策略？（2013CJ/Z2一模拟测试5_4）若半径为/•的内切阀与zkar的三边、仏、bc、c/分別切子点和及，如果汐＜7与及io交于点a-£/i=Z/u¥=2/a/3,求AANC.（2013CJA?一模拟测试5_5）确定下闹方程组实解的组数：xi+^+?=3）?o（2013CJA?一模拟测试5_6）对于1，2,…,2006的任意一个排列m次，…，心《，是否一定存在l<w<#<2006,J1//戶//（航>（72），设满足：a^atplak^（2013CJA2一模拟测试6—1）点是四边形的内切_的_心，点戶足6?向对炻线的垂岜投影，证明：AAPB^^APD.（2013CJA?一模拟测试6—2）设这里a是参数，确定a的范围.使得方权人r）=0没有实报。（2013CJA2一模拟测试6—3）自然数a称为好的，如果存在自然数//使得32_|/?+a。问：有多少个好数小干2006.（2013CIA2一模拟测试6—4）ZL/况?是一个曲积为1的锐角三角形，在边和SCt.分別依次有点0和戶,，A0，l上…，儿a=A,满足P.OJ/AB.在戶必上収点J^i^lZ=0J,2,…，1.使得是矩形，求矩形乃而积和的最大值。（2013CIA?一模拟测试6—5）是否存在由4010个小同的H然数组成的集介丄使中任意2006个数的和+是2006的倍数？（2013CJ/O一模拟测试6—6）找出所有自然数仏使得平时上存在//个点满足：其中毎个点恰属于由这些点确定的所有直线中的三分之一条直线。（2013611/0一模拟测试7—1）岡内接四边^ABCD3^角线交于Z；外接I翊圆心为/证明：如果.松、汐r和汉的中点共线，则-/去⑦,(2013CJA2一模拟测试7-2)设咐=是在z=0附近解析的函数，令e5*⑺=免凡尸，"=1，2…//■I /y»L证明：X\pt证明：X\pt［伞+l)exp*-0("m>#1akI2（2013CIA2一模拟测试7—3）可将1，2,3,…，2006至少分成几组.使得不存在同一组的三个数满足：（2013CIA2一模拟测试7_4）给定_内接五边形ABCDE.满足AC"DE、Af^BD中点.证明：如果AAAfB^BMC、则BE^分（2013CIA2一模拟测试7-5）考虑方程：M3+xW+[.r]2：MWW+M。证明：第一个方程的解为整数.第二个方程冇非整数解。(2009CIA?一模拟测试7—6)求最大的自然数仏使得存在A然数集恸，仍，…，必｝满足下列条件：(1>7,是介数：(2)(/7^=Ll^A/^//：(3)1<^(3針iy卢1，2，，开（2013CI^一模拟测试8_1）设槊合；｛1，2,3,…，36｝可分拆为々个互不相交的非空+槊…力的并，并且对于毎一个3,…力，其中任意两个不同元素的和都小是完全平方数，求々的最小值。（2013CI/O一模拟测试8-2）是否可以将51至150这100个粮数放在10X10的数表里，使得对任意两个相邻小方格（即它们有公共边）中的数汉么方程仍+卜0和0中至少有一个有两个幣数报。（2013CIA?一模拟测试8—3）令P={Px.Pi^…7^006}是以戶!为圆心的单位阀内的2008个点构成的点槊，对毎个扣1，2,3,…，2008,设於是Pk^P中+同于乃且与乃最近的点的距离，证明：+…+办XB2彡9，（2013CIA?一模拟测试8—4）令、厶={1又3,…，//},证明或否定下列命题：对所有"彡2,存在函数fAn^An和尸丄-＞乂满足条件:（IV（/⑺）咏00）=々扣U,V・・，//:（2妨（々）＞扣1＞1，2,3，.・・，/尸1。（2013CIA?一模拟测试8—5）求满足下列条件的最小正整数//，在阀6＞的圆周上任意取//个点…必，则在a2个角中至少有2007个4、超过120°。（2013CJA2一模拟测试8—6）设整数//>2,证明：/广1个连续粮数"，十2,咖3州十4,…於^中毎一个都有一个质数，这个质数不牿除其它，产2个螯数中的任何一个。911)穿kOTS:i)，KM1V?"=^-^KMIx、p>idx°lloi、4〒一ji(2013C1/O一模拟测试9_2)设.V/是正数，且满足(.r-2)(R2)(^2)>11^2,求证：'.X+/.J’ + =<-=Jy]A5+J^Zy/y+Z^XyjzS+^+V（2013C1A?-模拟测试9-3）（2013C1A?-模拟测试9-3）设功次,…，A是实数，ill叫：对实数a彡0，Tf +…+a”2彡zw（|功|+|仍+—+^>使^精供丨=0。当乃是偶数当//是窃数（2013CJA?一模拟测试9一4）这98个编码为是不为0的实数，满足:汐…+r\a、设这98个编码为是不为0的实数，满足:汐…+r\a、（«+"o/(#>«+¥+……+¥)对毎一个A任取#求不重若出现的编码为么b2，…為，则定义:★十……+爿测=33/(#>«+¥+……+¥)9S19S试证：士！；/（々）恒为定值（与取球的结果无关），并求此定值（20090A2一模拟测试9_5）两个互质的正整数足条件：| .（1）求/1的最大值：（2）问：的最小值是否存9 10 q q在？证明你的结论，（2013CJ/Z2一模拟测试9_6）设求证：+1校（e+af+1r3（/7+^）2+14a力r（a々+A?+ar）+3l+a+2厶1+3+2c 1+c+2c7 a+3+r+1(2)对任意实数(2)对任意实数AT（2013CJA2一模拟测试10-1）设fR-R满足to下条件：(1)对任意实数+y))^MLr-冇求X200S^/2008^/2008)的值。(2013CIA?一模拟测试10-2)设是实数，求爲有下列性质的最小正牿数//»若具有形式a>+^+.i>(1 5)^J某//个小MJ的和为0，则Ti=l2=X3^4=l5=0。（2013CIA2一模拟测试10-3）求所有的质数夕，使得方程组奋整数解0乃。（2013CIA2一模拟测试10-4）己恬在^ABCD的腰./万和CD上行.在点尤和Z使得直线ZZ小甲行于梯形的底且被梯形的两糸对角线三等分。求梯形两底的长度的比。(2013CI/Z?一模拟测试10-5)己知有20个互小相同的正整数aino,在这20个数中任意取出10个数分別设为仰，仰，卯,…，a,io其中/1,/2,…，/10e{l，2,...,20}，且满足/l</2<—</10t设力1,，2,…,/10)=丄+—+—+…+—,证明:tJi\anan 访io一定存在9个不同的数组(/1j2,…，/10)，使得对应着的9个力1,/2,"\/10)两两之差的绝对值都小于0.0013（2013CJA?一模拟测试10-6）一个//X;/的数阵，如果第/行与第/列的数合在一起恰好是1，2,3，一，2^1（/=1，2，一，幻这样的数阵称为//阶“银矩阵”。证明：对任意的正偶数/aa阶“银矩阵”存在。的而积.证明：的而积.证明：（2013CJA2一模拟测试11-1）设《足给定的正整数，令，是复fihlh的区域D={z\^'2(少'2(少+1)(M)叫2(^+1) (r+iy^2(^+l)*2（2013CMO-模拟测试11-2）设正实数a，紅满足abc=\y求证:（2013CIA?一模拟测试11-3）求证：小存在正整数//，使得Y+7是一个完全平方数、（2013CJA2一模拟测试11-4）设和为正数数列，己知对任何子集ic水有z夂\ne/)Z« 、2 /« s2013求证:（2013CIA?一模拟测试11-5）是否存在一个无穷正整数集丄使得它的任一非空有限子集的元素和均为合数，且、/中任意两个元素互素？（2013CJA2一模拟测试11-6）己知对任何氏in或是寧时.$cos/0不趋于一个极限.证明：lim^cos不存在（2013CJ/O一模拟测试12-1）正实数满足：ji^+?=3•求戶=3j.y+V?+3zru：?的最大值。（2013CIA2-模拟测试12-2）正实数W满足:牌h輒:蟲+稳+儀（2013CJA2一模拟测试12-3）求所有的正整数”，使得存