测量误差和测量结果处理

关于测量误差和测量结果处理第1页，课件共62页，创作于2023年2月§

误差§

测量误差的来源§

误差的分类§

随机误差分析§

系统误差分析§

系统误差的合成§

测量数据的处理主要内容：第2页，课件共62页，创作于2023年2月3（1）测量误差是不可避免的。（2）寻找误差的来源，尽可能防止误差和减小误差。（3）测量结果进行正确的处理，使测量结果接近被测量对象的实际情况。§2.1误差第3页，课件共62页，创作于2023年2月4一、误差

1、真值Ao：

一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。要得到真值必须利用理想的量具或测量仪器进行无误差的测量。因此，物理量的真值在实际上是无法测得的。

2、指定值As：

由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。国际间通过互相比对保持一定程度的一致。指定值也叫约定真值，一般就用来代替真值。第4页，课件共62页，创作于2023年2月53、实际值：在每一级比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫相对真值。4、标称值：测量器具上标定的数值称为标称值。

标称值不一定等于它的真值或实际值，因此，在标出测量器具的标称值的同时，通常还标出它的误差范围或正确度等级。5、示值：由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称为测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。示值和测量仪表的读数有区别，读数为仪器刻度盘上直接读到的数字。第5页，课件共62页，创作于2023年2月66、测量误差：测量仪器仪表的测得值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。在实际测量中，由于测量器具不准确，测量手段不完善，环境影响，测量操作不熟练及工作疏忽等因素，都会导致测量结果与被测量真值不同。7、单次测量和多次测量：单次测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程；多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重复测试的过程。在测量精度要求不高的情况下，可只进行单次测量。依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密性。8、等精度测量和非等精度测量：在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量；如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维持不变，或更换了测量器具或环境变化等，这样的测量称为非等精度测量或不等精度测量。第6页，课件共62页，创作于2023年2月7二、误差的表示方法实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值。绝对误差：

有大小，又有符号和量纲1.绝对误差（1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为绝对误差。第7页，课件共62页，创作于2023年2月8（2）修正值与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。被测量的实际值第8页，课件共62页，创作于2023年2月92.相对误差一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量本身的大小有关。例：测量足球场的长度和北京市到上海市的距离，若绝对误差都为1米，测量的准确程度是否相同？（1）相对误差、实际相对误差、示值相对误差相对误差：绝对误差与被测量的真值之比相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。第9页，课件共62页，创作于2023年2月10示值相对误差：用测量值X代替实际值A实际相对误差：用实际值A代替真值A0第10页，课件共62页，创作于2023年2月11（2）满度相对误差（引用相对误差）用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）仪表各量程内绝对误差的最大值第11页，课件共62页，创作于2023年2月12我国电工仪表的准确度等级s就是按引用误差进行分级的。共分为七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。

如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不超过S%。测量点的最大相对误差在使用正向刻度的仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值2/3以上的区域。对欧姆表这样非线性反向刻度的仪表时，示值与中值接近时，测量的准确度最高。分析P22例1,2,3第12页，课件共62页，创作于2023年2月13（3）分贝误差——相对误差的对数表示分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种误差，单位为分贝（dB）。电压增益的测得值为误差为用对数表示为增益测得值的分贝值分贝误差

若测量的是功率增益，分贝误差定义为10lg（…）测量时用分贝作单位，则分贝误差为x-A即可。分析P24例4

第13页，课件共62页，创作于2023年2月14三、容许误差

容许误差是指测量仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围。容许误差有时就称为仪器误差。它是衡量电子测量仪器质量的最重要的指标。

1、工作误差

工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限值，即来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的影响特性为任意可能的组合时，仪器误差的最大极限值。

2、固有误差固有误差是当仪器的各种影响量和影响特性处在基准条件下时，仪器所具有的误差。

第14页，课件共62页，创作于2023年2月153、影响误差影响误差是当一个影响量在其额定使用范围内取任一值，而其它影响量和影响特性均处于基准条件时所测得的误差。4、稳定误差稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产生的误差极限。分析P26例5第15页，课件共62页，创作于2023年2月16§2.2测量误差的来源（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。（2）使用误差：又称为操作误差，是由于对测量设备操作使用不当而造成的误差。（3）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。第16页，课件共62页，创作于2023年2月17（4）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。（5）理论误差或方法误差：由于测量原理不严谨、公式简化不当、测量方法不合理而造成的误差。P28例1第17页，课件共62页，创作于2023年2月18§2.3误差的分类

根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。一、系统误差定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即第18页，课件共62页，创作于2023年2月19二、随机误差定义:

在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。随机误差的特点：有界性：多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限；对称性：测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同。抵偿性：随机误差的算术平均值趋于零。绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的出现的概率小。第19页，课件共62页，创作于2023年2月20例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律。可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值随机误差的表示：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差

第20页，课件共62页，创作于2023年2月21三、粗大误差：

粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因有：①测量操作疏忽和失误如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。②测量方法不当或错误如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压③测量环境条件的突然变化如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。

第21页，课件共62页，创作于2023年2月22四、系差和随差的表达式

在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。系差和随差之间在一定条件下可以相互转化

第22页，课件共62页，创作于2023年2月23§2.4随机误差分析一、测量值的数学期望和标准差设对被测量进行n次等精密度测量，得到n个测量值：也称为随机变量。N个测量值的算术平均值为数学期望为当测量次数无穷大时样本平均值的极限1、数学期望第23页，课件共62页，创作于2023年2月242、剩余误差（残差）当进行有限次测量时，各次测量值与算术平均值之差称为剩余误差或残差。当n足够大时，残差的代数和等于零；此时，残差等于随机误差。第24页，课件共62页，创作于2023年2月253、方差和标准偏差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。

方差定义为当测量次数n无穷大时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值：标准偏差定义为：

标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。第25页，课件共62页，创作于2023年2月26测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？二、测量误差的正态分布1、正态分布第26页，课件共62页，创作于2023年2月27随机误差的概率密度函数为：测量数据X的概率密度函数为：

随机误差的数学期望和方差为：同样测量数据的数学期望，方差为第27页，课件共62页，创作于2023年2月28

随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差第28页，课件共62页，创作于2023年2月29标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。第29页，课件共62页，创作于2023年2月302、测量误差的非正态分布常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。

概率密度:均值:当时,标准偏差:

当

时，第30页，课件共62页，创作于2023年2月313、极限误差

定义：=3

随机误差绝对值大于3的概率仅为0.003或0.3%。通常将|vi||i|>3的测得值判为坏值。莱特准则：按照|vi|>3来判断坏值是在进行大量等精度测量，测量数据属于正态分布的前提下得出的，即为莱特准则。4、贝塞尔公式：最佳估计值：第31页，课件共62页，创作于2023年2月32算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小倍。原因是随机误差的抵偿性。

*5、算术平均值的标准差

故：第32页，课件共62页，创作于2023年2月33三、有限次测量下测量结果的表达由上面公式可知，算术平均值的标准差随测量次数n的增大而减小，但减小的速度比n增长的速度慢得多，所以实际测量中n的取值无需太大，一般在10-20之间。对于在多次等精密度测量，在基本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值后，测量结果的处理可按以下步骤进行。第33页，课件共62页，创作于2023年2月34算术平均值标准偏差的估计值：（1）列出测量数据表；（2）计算算术平均值，残差及残差平方；残差：（3）计算标准差及算术平均值标准差算术平均值（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：（4）测量结果表达式第34页，课件共62页，创作于2023年2月35§2.5系统误差分析2.5.1系统误差的特征：

在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差。

第35页，课件共62页，创作于2023年2月362.5.2系统误差的判断方法

（1）理论分析法对由于测量方法或测量原理引入的系差，可以通过理论分析发现并加以修正。（2）校准和比对法用准确度更高的测量仪器进行重复测量或用同类仪器进行比对来发现是否存在系差。（3）改变测量条件法对与测量条件有关的系差，可以通过改变测量条件，比较分组数据来发现。第36页，课件共62页，创作于2023年2月37（4）剩余误差观察法根据测量数据列各个剩余误差的大小、符号的变化规律，来判断有无系差，以及系差类型。主要用于发现变值系统误差：将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。

存在线性变化的系统误差无明显系统误差第37页，课件共62页，创作于2023年2月38a)马利科夫判据：若有累进性系统误差，D值应明显异于零。 当n为偶数时，

当n为奇数时，b)阿贝－赫梅特判据：下式成立则存在周期性系差。

（5）公式判断法第38页，课件共62页，创作于2023年2月392.5.3消除系统误差产生的根源（1）要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格；（2）测量仪器选用正确，准确度满足要求；（3）测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器；（4）尽量选择数字显示仪器代替指针式仪器；（5）尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心。第39页，课件共62页，创作于2023年2月402.5.4消弱系统误差的典型测量技术零示法替代法补偿法对照法微差法交叉读数法下节课，同学们试着用自己的语言讲述清楚其中一种测量方法。第40页，课件共62页，创作于2023年2月412.5.5消除或消弱系统误差的其他方法

利用修正值或修正因素加以消除随机化处理智能仪器中系统误差的消除1）直流零位校准2）自动校准第41页，课件共62页，创作于2023年2月42粗大误差及其判断准则

粗大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。1.粗大误差产生原因以及防止与消除的方法

粗大误差的产生原因

①测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；②客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。防止和消除粗大误差的方法重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差。第42页，课件共62页，创作于2023年2月432.粗大误差的判别准则统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。莱特检验法格拉布斯检验法式中，G值按重复测量次数n及置信概率Pc确定第43页，课件共62页，创作于2023年2月44

应注意的问题①

所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。②

若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。③在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。第44页，课件共62页，创作于2023年2月45测量结果的处理步骤

①对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；②求出算术平均值③列出残差，并验证④按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值⑤按莱特准则，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；⑥判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；⑦计算算术平均值的标准偏差；⑧写出最后结果的表达式，即（单位）。第45页，课件共62页，创作于2023年2月46问题：用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？§2.6系统误差的合成这一类问题称为误差合成或误差综合。针对上面的问题，如果反过来，对功率的测量误差提出要求，那么又该如果决定R，V或I各自的分项误差呢？这是属于误差分配问题，不进行深入讨论。第46页，课件共62页，创作于2023年2月472.6.1误差的综合第47页，课件共62页，创作于2023年2月48

在实际应用中，当分项误差符号不定时，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度评定。第48页，课件共62页，创作于2023年2月49相对误差形式表示的合成误差当个分项符号不确定时，常取保守计算如下：第49页，课件共62页，创作于2023年2月50第50页，课件共62页，创作于2023年2月512.6.2常用函数的合成误差和函数的合成误差：（例2P47）差函数的合成误差：积、商函数的合成误差：幂函数的合成误差：积商幂函数的合成误差：（例6P49

）第51页，课件共62页，创作于2023年2月522.6.3系统不确定度

系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度，用ym表示，相对系统不确定度用ym表示。1、系统不确定度的绝对值合成法2、系统不确定度的均方根合成法P50

例9第52页，课件共62页，创作于2023年2月53§2.7测量数据的处理一、有效数字的处理

1.数字修约规则由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。数据修约规则：（1）小于5舍去——末位不变。（2）大于5进1——在末位增1。（3）等于5时，取偶数——当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。第53页，课件共62页，创作于2023年2月54例：将下列数据舍入到小数第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确结果为0.69，错误做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。第54页，课件共62页，创作于2023年2月552.有效数字若截取得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。例如：

3.142 四位有效数字，极限误差≤0.00058.700 四位有效数字，极限误差≤0.00058.7×103

二位有效数字，极限误差≤0.05×1030.807 三位有效数字，极限误差≤0.0005

第55页，课件共62页，创作于2023年2月56中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a×10n，a的位数由有效数字的位数所决定。测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定，即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。例如，某物理量的测量结果的值为63.44，且该量的测量不确定度u＝0.4，测量结果表示为63.4±0.4。第56页，课件共62页，创作于2023年2月573.近似运算法则保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。（1）加法运算 以小数点后位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其余各数可多取一位（