河海大学渗流力学与控制课件

渗流力学及控制

第一章渗流理论基础

第一节渗流基本定律

一、达西定律实验

1856年法国工程师H.Darcy在装满砂的圆筒中（图1—15）进行渗透实验。从实验中

得到通过横截面A的渗流量Q（单位时间的水体积）与横截面A及水头差（从一儿）成正比，与渗

Q=也（1-37）

透路径L成反比，可由下式表示：L

u=£=K•47/=K•J（1-38）

式中Q——渗流量；

v一一断面A上平均渗透速度；

图l-【5Darcy实验装置

J——水力坡度，即流经路径长度L的水头损失率；

K——比例系数，也称渗透系数。

上述二式称为Darcy定律。它指出渗透速度v与水力坡度J或渗透阻力成线性关系，又称

线性渗透定律。

容易看出，H1、H2是相对于某个任意水平基准面的水柱高度，称为测压水头，从前述可

知，它应是压力水头和位置水头之和，即

H二号+n(1-39)

公式(1—39)表明，渗流流动是由高水头向低水头，而不是从高压向低压，记住这一点

很重要。

Q=K♦A(pi—p2)/L*y

当z1=z2时，则有(1-40)

而水力坡度J=(H1—H2)/L是使渗流向水头较低的地方运动的驱动力。

图1-16通过倾斜砂柱的渗流

在Darcy的实验中，地下水作一维的均匀运动，即渗透速度和水力坡度的大小、方向沿

流程不变。我们可以把它推广到一般的三维流情况，写出达西定律的微分形式

v=K*J=-K•丁=-KgradH(1-41)

称为渗透速度向量，在笛卡尔坐标系中它沿x,y,z方向的分量分别为Vx,vy,vz；J在x,

y,z方向的分量分别为

3H72H「OH

A二

当流动发生在均质各向同性介质中，尺是一个不变的标量，因此有

%=_-K右；％=-K*；％=-K石

对于非均质各向同性介质K=K（x,y,z）中的三维流方程（1—42）仍然成立；对于向异性

介质，在本章第四节中介绍。

二、达西定律的推导

达西定律代表线性阻力的渗透定律，它可从多孔介质中渗流运动所遭遇的阻力关系推导出

来。如图1—10所示为沿流线方向s取的土柱单元微分体，长为ds,断面积为DA；作用在

单元土柱中流体上的力有三:

即两端的孔隙水压力，孔隙水流的自重及水流受到颗粒孔隙道的摩阻力Fo

沿土柱方向写渗流的三力平衡式（略去水流的惯性力）为

pndA一(2+dp)冗dA-y〃dsdAsin^-F=0

因为

^=sin8；H=§+N;Ap—V(dH-dz)

as/

代入L式则得

_型_F_0

ds/ndscLA

引用司托克斯对于一个颗粒上的层流阻力公式

D=入pdd(2)

式中D---拖曳力；

d——颗粒直径；

V，一一颗粒周围孔隙水沿流向的局部平均流速

u一一水的动力粘滞性：

入——系数，决定于邻近颗粒的影响，对于无限水体中的圆球人=3几。

若设土柱中的颗粒数为N,并用一个球体系数B时（圆球8=冗/6）,则总阻力应为

「Km（1~n）dAds,j，

F-ND----------------入pdp

将上式代入⑴式，并考虑到断面上平均流速v=nv'及水力坡度厂-也J时，则得

as

1

v二百铲--yd2工】

A（1-n）*

若采用达西渗透系数K=Cd22,即得一般的达西定律形式

v=KJ

这里可知渗透系数K具有流速的量纲，它决定于多孔介质的结构（ccf）和流体的性质（Y/

U）两种因素。

将达西定律普遍化到各向异性渗透时，可写（1—42）式微分形式。

达西定律描述了能量损失的线性阻力关系，渗流坡降J的相对大小反映了阻力的大小，代

表单位重流体能量沿程的损失率，从伯诺里能量方程出发也可说明达西定律是描述流动过程

中能量守恒的一个表达式。此外还可用水力学中层流运动的公式作比较，寻求达西公式及渗

透系数所包含的内容，例如圆管中层流运动的普瓦索伊公式

-H

流量Q=2

Q"端

流速◎=才=戏

上式中的R。为圆管半径。如果更普遍一些，写成意形状断面的层流运动公式，并采用水

力半径R代替R。时（R°=R）,上式可写为

p=CR?4=K7

三、达西定律的适用范围与非达西流

（一）适用范围

许多研究者都曾指出，随着渗透速度（比流量）的增大，Darcv定律即渗透速度与水力坡度

J之间的线性关系便不再成方，导致这一结论的典型实验结果如图1—17所示。由此看来确

实有必要规定一下Darcy定律的适用范围。

图1-17渗透速度和水力

坡度的实验关系

（据J.Bear）

我们先讨论Darcy定律适用的上限。作渗流速度v和水力坡度J的关系曲线，如图I—17

所示。若符合Darcy定律则为直线、直线的斜率为渗透系数的倒数。但图上的曲线表明，只

有当按（1—35）式计算的Rc不超过1〜10时，地下水的运动才符合Darcy定律。

由于地下水沿着弯弯曲曲的途径运动，并且在不断地改变它的运动速度、加速度和流动方

向，这种变动有时是很剧烈的.因而产生惯性力的影响，使水流的运动不服从Darcy定律。

地下水流动方向和流速变化取决于孔隙或裂隙通道在空间的弯曲率以及通道横断面积的变

化情况。当地下水运动速度较小时.这些惯性力的影响是不大的，有时是微不足道的。这时

由液体粘滞性产生的摩擦阻力对水流运动的影响远远超过惯性力对它的影响，粘滞力占优

势，液体运动服从Darcy定律。随着运动速度的加快，惯性力也相应地增大了。当惯性力占

优势的时候，由于惯性力与速度的平方成正比，Darcy定律就不再适用了。这时地下水的运

动仍然属于层流起动。所以不要把这种偏离Darcy定律的情况和层流向紊流的转变等同起来。

因此，当渗透速度由低到高时，可把多孔介质中的地下水运动状态分为三种情况（图1一

18）：

Darcy定律适用Darcy定律不适用

6------------------♦———♦

层就迪.家流

粘滞性占优势惯性力占

优势.层

流向素流

过披

10-：10111010!10,

Re

®1-18多孔介质中的水流状态

(1)当地下水低速度运动时，即Re小于1〜10之间的某个值，为粘滞力占优势的层流运动，

适用Darcy定律。

⑵随着Re的增大，一般Re在10〜100之间时，为一个过渡区。在该区的下部，从粘滞力

起主要作用的层流状态逐渐变为惯性力起支配作用的另一种层流状态。而该区的上部流动则

变为紊流状态。

(3)紊流区。当Re很大时为紊流运动。Darcy定律的下限，终止于粘土中的微小流速的渗流.它

是由土颗粒周围结合水薄膜的流变学特性所决定的。一般粘土中的渗透，只有在较大的水力

坡降作用下突破结合水的堵塞才开始发生渗流，所以存在一个起始坡降问题。在开始渗透时,

由于有效过水断面的变动，而不符合达西线性阻力定律；直到最后的渗透断面构成为止，才

按照达西定律形成直线变化；起始坡阵随着粘土的密实度增加（或含水量的减少）而增加（表1

—4）o密实粘土的起始坡降可达20—30以上。

各种含水,粘土的起始坡降和形成达西定律的临界坡降表1-4

渗透系数K

粘土含水量W（%）起始坡降临界坡降

（cm/s）

29.10.72x10-*22.842

32.21.03X10712.831

34.55.32x10-87.322.2

39.311.20X10-83.114.8

42.115,20x10-808.5

需要指出，关于粘土渗透的起始坡降问题，认识并不一致，某些学者有不同看法。

（二）非达西流动

超出达西定律范围的流动称为非达西流。对于Re数大于广10的流动，还没有普遍接受

的非线性方程。在文献中出现过很多有关的关系式，其中，最常见的一种形式（Forchheimer,

1901）为

J=av+bv2

J=av+bvm(1.6&m42)

其中，a、b为由实验确定的常数，它们取决于岩土颗粒孔隙率，颗粒形状、大小等因素;

指数m决定于岩土的密实程度与有效粒径，对于最密实的粉细砂试验，白那尔求得最大由=

2.3,而疏松的粉细砂最大m=1.6等等。

关于低于达西定律下限的流动，由于起始坡降J。的存在，表达式可近似写成：

v=K(J-J。)(1-45)

式中，J。在粘土中甚至会超过30,这是流变学中的非牛顿流体现象。

考虑到渗透液体性质的不同，Darcy定律有如下形式：

k阳dH*

V=-------3-

必ds

P-------液体的密度；

G——重力加速度；

u——动力粘滞系数；

H'一对于水就是水头；

K一一表征岩层渗透性能的常数，称为渗透率或内在渗透率。K仅仅取决于岩石的性质而

与液体的性质无关。某些学者提出了计算渗透率A的公式

如Kozeny—Carman公式：

k-C°（1-n）2Ml

式中Ms——颗粒的比表面积；

n——孔隙度；

Co----系数，Carman建议取1/5。

比较（1—41）式和（1—46）式，可求出渗透系数和渗透率之间的关系为

K==~k(1-48)

由上式可导出渗透率的量纲

&=--]][产力=[2]

g[LT-2]LJ

通常采用的单位是cm2或da(darcy)。da是这样定义的：当液体的动力粘滞系数为

O.OOIPa*s,压强差为101325Pa的情况下，通过面积为Icm2,长度为Icm岩样的流量为1ML

/s时，岩样的渗透率为1dao

在一般情况下，渗透系数K和渗透率k不随时间变化。但有些情况下，在外部荷载的作用

下，改变了骨架的结构和构造，如沉降和固结现象；也可由固体骨架的溶蚀作用形成大的溶

孔、溶洞；或者是粘土的膨胀作用，土壤的干燥脱水等等，都可以将渗透系数K和渗透率k

看成为时间的函数。

关于非饱和流中的渗透系数及渗透率在后面章节中介绍。

渗透系数K虽然能用来说明岩层的透水性，但它不能单独说明含水层的出水能力。一个渗

透系数较大的含水层，如果厚度非常小，它的出水能力也是有限的，开采价值不大。为此.就

引出了导水系数的概念。

y

图L19导水系数的概念

下面考虑通过厚度为M的承压含水层的地下水运动，如沿流向取z铀(图1—19),根据

Darcy定律

Q=KAJ=KMBJ

q=g=KMJ=TJ(1-49)

上式中的T=KM称为导水系数，是又一个水文地质参数，单位常用m2/d。它的物理含义

是表示水力坡度等于I时，通过整个含水层厚度上的单宽流量。导水系数的概念仅仅适用于

平面的二维地下水流动，对于三维流动是没有意义的。

第二节岩石介质按渗透性能分类及渗透系数张量

一、岩石介质渗透性能分类

自然界的岩石，由于成因不同和沉积环境差异，以及后期所遭受的破坏强度不同等原因，

它们的透水能力和透水性质是千变万化的。有的透水性很小，有的则透水性很大；有的透水

性比较均匀，而有的则变化很厉害；有的透水能力带有方向性，有的则各向几乎相同。这些

差异.使地下水的渗透规律复杂化，如不加以人为的简化，在今后研究中将遇到难于克服的

困难。因此，按渗透性质不同，常将天然岩石分类如下：

1.按岩石渗透系数的大小不同，可分为透水层和隔水层

一般认为，前者的渗透系数k>0.OOIm/d,例如常见的亚砂土、砂砾石层以及裂隙岩

石和喀斯特化岩层等；后者，认为kV0.001m/d,例如粘土层、泥炭层以及不透水基岩等。

上述的原则性划分法并不是绝对的。在生产中，对渗透系数比邻层小而又没有实际意义的

透水层，也往往当做隔水层处理；相反，在为某些目的的勘查中，原则上属于隔水层的岩石

也要考虑其透水性质。所以，透水层和隔水层，最好结合自然条件和工作目的来划分。

同一透水层的饱水部分(可能由不同岩性组成)叫含水层，含水层各部分的地下水都有密切

的水力联系。

2.按渗透系数随空间坐标变化的程度不同，含水层可分为均质的和非均质的

在均质含水层中，渗透系数与坐标无关，是个常数；而非均质含水层的渗透系数则随坐标

变化，是个变数。严格说，自然界的所有含水层都是非均质的。因为影响渗透系数的因素，

如颗粒的形状、大小、分选程度和岩石发育的片理、层理以及节理和裂隙等.在空间上分布

是绝对不均匀的，所以渗透系数也不可能是个理想的常数。但如渗透系数随位置变化不大时,

实际上可以按照均质计算，这样可能引起的误差很小，而对理论研究却简化了很多。

3.按渗透系数是否随渗透方向改变，含水层又可分为各向同性的和各向异性的

前者的渗透系数与渗透速度的方向无关，而后者则随渗透速度方向改变。均质含水层有

各向同性和各向异性。例如，厚层的比较均匀的砂砾石层就是各项同性的，因为它的渗透系

数在不同位置上和在同一位置的不同方向上都接近同一常数。又如，黄土层是均质各向异性

的，因为它发育有柱状节理，垂向的渗透系数大于其他方向的渗透系数.如图1—20(a)。

名向同性各向异性

，，，，,“»，/;力/〃7'"7，，"

各向异性

各向同性

图1-20

(a)均质含水层；(b)非均质含水层

非均质含水层也有各向同性和各向异性之分。例如，洪积砂砾石层或多级阶地组成的含水

层，其渗透系数往往沿水流方向显著变小，但在某一位置上与方向无关，所以这种岩石可以

看做是非均质各向同性。又如，薄层的层状岩层，是非均质各向异性的典型例子，如图20(b)o

由上述可见，岩石的节理、片理、层理和颗粒排列以及裂隙发育的方向性，显然是构成岩石

各向异性的主要因素，而颗粒的形状、大小、分选程度等在空间上分布的不均匀性则是构成

非均质的主要因素。

必须注意，不要把均质与非均质的概念和各向同性与各向异性的概念混淆起来。前者是

岩层透水性和空间坐标的关系，后者是指岩层透水性和水流方向的关系。均质岩层也可以是

各向异性的。如某些黄土，垂直方向的渗透系数大于水平方向的渗透系数，因而是各向异性

的，而不同点相同方向的渗透系数又是相等的因而是均质的。图1—20表示该情况下的渗透

系数图.分别用椭圆表示渗流场中A点和B点的渗透系数，两椭圆形状完全相同表示同一方

向有相同的渗透系数。类似地，也有非均质各向同性介质。例如某些巨厚砂层中夹有粘土透

镜体，砂和粘土分别都是各向同性的，两者的透水性差异很大，因而是非均质的。

二、渗透系数张量

在各向同性介质中，渗透系数和渗流方向无关，是一个标量。因而.水力坡度和渗流速

度的方向是一致的。渗透速度矢量可以用（1—42）式来表达。即使对于非均质各向同性介质

中的三维流动来说，（1—42）式依然成立。各向异性介质的情况就大不相同了。如前述，渗

透系数的值和渗透方向有关，渗透系数就不再是一个标量了，水力坡度和渗透速度的方向一

般是不一致的。因此，渗透速度和水力坡度之间的关系也就不能简单地用（1—42）式来表达

了。由于渗流方向对空间三个任意选取的、相互垂直的坐标平面来说，可以是任意的，因此,

无法简单地用坐标轴上的三个分量定义空间一个点上的渗透系数，必须像表示空间一个点上

的应力那样，采用双下标格式，用它的九个分量来表示。

下面我们选用笛卡尔坐标系（z,g,：）来讨论。

对于各向异性介质中，由于水力坡度和渗透速度一般是不一致的，渗透速度相应地应写

成达西定律的形式:

3HdH_dH]

%=_Kxrdx-KxydyK3z

也-K组-K型

%-KJQ；(1-50)

dx.dy人要dz

组.-K型-K学

v=-K=zy

za1r3y2*dz

组

KxzKgK*

dH

>=-K>KyyK广<",>(1-51)

%dy

-K"KQKJ?.

%，dH

、dz

分别为渗透速度v在x,z方向上的分量;

Jx,JY,JZ——分别为X,Y,Z方向上的水力坡度分量；

KXY,……一一分别为九个常数，在各向异性的含水介质中是随空间变化的渗透系数张量。

由此可以看出九个分量KXY,……决定了三维空间中的渗透系数，在二维空间中则是由它

的四个分量所决定，通常把它们写成下列形式

「K皿勺、勺一

K—KyxKyyKyg(1~52)

KqKix_

K=(1-53)

因此，(1一50)式可写成下列更紧凑的形式

v=K-J(1-54)

渗透系数张量也是对称张量，即

Kg—长页；K4=K口；K货=K到

所以只有六个独立的分量，在二维情况下只有三个不同的分量。

研究各向异性介质发现，虽然总的说来，在各向异性介质中水力坡度和渗透速度的方向

是不一致的，但在三个方向上两者是平行的，而且这三个方向是相互正交的。这三个方向称

为主方向。沿主方向测得的渗透系数称为主渗透系数或主值，分别以K1、K2和K3表示之。

如果所采用的Descartes坐标系其三个轴分别和渗透系数张量的主方向平行，则有

=Kyy=K2；K==K3

此时渗透系数张量度是个对角阵，即

Ki0O-

K=0K20(1-55)

.00

第三节渗流在非均质介质中的折射定律及等效渗透系数

一、渗流在非均质介质中的折射定律

自然界分布最广的是各种类型的非均质含水层，所以了解其中的渗流规律比均质含水层

有更大的实际意义。由于不同的沉积成因，构造运动及一些外动力的地质作用，形成多种类

型的非均质含水层，常见的可以归纳为：

⑴层状含水层：由不同透水性厚度不等的多层含水层组成。

⑵相变含水层：其透水性能沿流向方向发生渐变或突变，如河流的阶地、断裂带坡地区等

⑶透水性复杂含水层：如夹有弱透水的透镜休或局部夹层的砂砾石层等等。

为了查明非均质含水层的渗流特征.卡明斯基曾在渗流槽中做过实验.结果发现染色体

流束通过不同透水性界面时，有折射现象，如同光和电力线折射现象一样。从实验中得到，

流线的入射角和折射角与界面两边的渗透系数成正比。

tg仇

藤=瓦（1一对

式（1—56）称为渗流通过突变界面的折射定律。下面从理论上也可以加以证明：

在透水性突变的界面上，水流发生折射，这一现象是由界面上水流的连续性条件引起的。

设介质I的渗透系数为介质II的渗透系数为K2,界面上某一点附近的渗透速度和水头

在两介质中分别为%,V2,H1、H2,如图1一21。由于界面上任一点都应满足条件：

Hl=H2；Vin=V2n

式中v1n,v2n——分别为v1和v2的法向分速度。

由图1一21的几何关系可明显地看出

%

tg%=五打k了+3a=

P2n

-样

tg£l=4__”

302—V2T

一&3工

dHt3H2

-31r

幽_Ki

tgg一K?

由上式可得出下列几点结论:

(1)当KI=K2,则g=%。表示在均质岩层中不产生折射。

⑵当KI#K2,而且KI,K2均不等于。时，如g=0。，则%=0。表明水流垂直通过界面时

不发生折射。

(3)当KIHK2,而且KI,K2均为有限值，如2=90。。，则%=90。。表明水流平行于界面时不

发生折射。

(4)水流斜向通过界面时介质的渗透系数K值愈大，3角也愈大，流线愈靠近界面。二介质

的K值相差愈大，用和斗的差别也愈大，流线通过界面后的偏移程度也愈大。

图1-21渗透水流的折射

二、非均质含水层的等效渗透系数

所谓非均质含水层是指不同空间点的渗透系数K值不等。为了研究方便。有时将复杂的

含水层加以概化，如将一些层状含水层，概化为一个用平均渗透系数表示的等效均质含水层,

下面分别讨论平行层面运动和垂直层面运动的两种情况，如图1一22,图1—23所示。

1-22层状岩层中平行于层面的渗流

解决这种问题最简单的方法是分段法.其实质概括如下：一个复杂的渗流区，常常用流

线和等水头线分成若干单独部分，即分段，每一部分都有现成的解答，然后将各部分按一定

规则联结起来，最后求出等效均质含水层的渗透系数，即等效渗透系数。

1.平行层面运动渗流

对于图1―22的渗流区用流线把多层含水层分成若干平行流向的均质段，每一层的渗透

系数Ki,厚度M”单宽流量卬，通过层状含水层总的单宽流量q等于各分层单宽流量之和,

总厚度M等于各分层的厚度之和，即

q=qi+必+…+英=之%(1-57)

M=Mi++…+(1-58)

I=)

又有在同一过水断面上各层的水头相等，所以在两相断面上的各层的水头差相同

44二限二型=…二第(1-59)

式小/H——整个渗流总水头差；/Hi——各层的水头差。

以上二式是用流线分段时的联结规则。由达西定律有：

Qi=KM•

9==NKM',券=Kp.M.努

Kp=之%•M怕M,(1-60)

式中KP一一平行层面渗流等效渗透系数。

若渗透系数在垂直方向是逐渐变化的，此时有K=K(z)o该情况下水力坡度J仍为常数,

因面有

dq=K(z)••dz

q二普』;K(z).

1fM

Kp=MJoK(Gdz(1-61)

2垂直层面运动渗流

垂直层面运动时，如相变含水层等就是如此，如图1—23。因为此种情况，过水断面是

一系列的等水头面，所以用等水头面(线)分成若干个均质段。容易看出，这种情况下各段流

量相等且等于整个渗流的流量；

q工qi=q2H…6二q”

而各段的水头差的总和等于渗流总的水头，即

AH=AH,+AH2+―++•••+AHn=(1-62)

上式就为垂直层面运动的联结规则。对于每一段或层都有:

q=K「b・阳

AH=5'

硒；K,b

△H=之出工£段

1=i1Ml.Kf6

等效均质含水层的达西定律一般形式为

Q=Kv•b,得(1-63)

(1-64)

式中Kv一一垂直层面方向的等效渗透系数。

和前面类似，若K沿水流动方向是渐变时，即K=K(x)时，则有

fM呢

心二M(1-65)

由(1—64)式发现一个有趣的现象，垂直层面的等效渗透系数主要取决于渗透系数最小的,

即阻力最大的分层。如有一层Ki心0为不透水层时，则Kv心0.0。

最后说明一点，从理论和实践上都能证明：平行层面等效渗透系数Kp总是大于垂直层面

的等效渗透系数（，斜交层面的介于二者之间。这是由层状含水层表现的各向异性决定的。

第四节渗流基本方程

在第二节中我们根据能量守恒的原理建立了流速和水头损失之间的关系，即达西定律V

=—KgradHo从达西定律看出，一个方程中有两个未知数V和H,故仍需另一个方程来求

解，即连续性方程。有了这两个方程，我们就可以建立渗流基本方程.结合定解条件，求解

不同的渗流问题。

一、渗流连续性方程

渗流连续性方程，可从质量守恒原理出发来建立方程。在渗流场中取出一单元体，见图1

-32,设各边长分别淞x,/y,△z,并和坐标轴平行；设渗流沿坐标轴方向的分速度分

别为Vx,vy,vz,液体的密度为0,则单位时间内通过垂直于坐标轴方向的单位面积的水流质

量分别为°Vx,〃Vy,p”则单位时间内沿x轴方向流入和流出单元体的质量差为

Ar

图1-32渗流区中的单元体

pUjAy^kzAt-（pv,.+—fnjjAx）

同理，可以写出沿y轴方向和沿z轴方向流入和流出单元体总的质量差为

_（叫）+（叫）

,djcdy+强

根据质量守恒原理，它应等于单元体内液体质量随时间的变化量。所以在t时间内，单元

体内液体质量的变化量为

[pnAx^y^z]4

在连续条件下，上述两式应该相等，所以

++"（爰）]"如=（1-87）

(1—87)称为渗流的连续性方程，也称为可压密介质中的质量守恒方程。

(1—87)式中的右端项计算比较困难，具体应用时为了简化计算往往作一些假设：只有

垂直向压密的情形:

在一些工程中，垂直方向上的变化是很重要的。下面我们仅考虑垂直方向上的压缩来研

究(1一87)式右端项的实质。当含水层的侧向受到限制，可假设x-Ay为常量，于是只有

水的密度外孔隙度n和单元体高朦z三个量随压力而变化，(1—87)式右端可以改写成

=np+fAz需+n^z需上的

(1-88)式右端三项分别代表单元体骨架颗粒和孔隙体积以及流体的密度的改变速率，前

两项可表示为颗粒之间的有效应力，第三项可表示为流体压力；就是说有效应力作用于单元

体，孔隙水压力p压缩水体。现把单元体当成弹性体而考虑压缩性如下：

在多孔介质的压缩过程中，可以认为固体颗粒体积的压缩可以忽略不计，即(1一Qx=

常数。故有

d[(l-n)=dVb-ndVb-=0

(1—n)dVb=

软dVb=_d〃

若含水层侧向受限制，只有垂直方向上压缩,即只有单元体垂直方向上长度A2的变化，有

d_d(&)_d.

(1一〃)

d(Ar)d九

△N=-ada=ad/?

(1一n)

d(dz)-・adp(1-89)

dzt=(1-n)adp(1-90)

dp=p・f・dp(I91)

于是连续性方程（1—87）式又可以写成

娶2+咚次+铲卜4强一（a+雄）*4（1-92）

3打Av,

4十办+蒜=的（"/蜜（-94）

考虑多孔介质是不可压缩时，上式就变为

3竺Oy

荒+武+^=°（1-95）

该式表明在同一时间内流入均衡单元体的水体积等于流出去的水体积，即体积守恒。此时，

把渗流当成刚性液体，即为不可压缩的流体在刚性介质中流动的连续性方程。当地下水的流

动为稳定时，就可以得到上述结果。

二、渗流基本微分方程

（一）可压密介质中渗流基本微分方程

据达西定律在各向同性的介质中有

*AHdH

%=一长而；”一Ku万％

代入（1—94）式，得:

碧）+^K瑞〉+今（K工题=的3+珅）需

设〃=/?g（a+〃/?）,则上式有

d区碧）+四遛）遥（K第一黑

其中，人为贮水率或称单位贮存量，其值表示单位体积多孔介质，当水头降低一个单位时,

由多孔介质压缩或水的膨胀所释放出来的水量。

1dVv

在侧向受限的情况下，孔隙体积的压缩也只考虑垂直方向上的变形，则

dVd(Ag)

v=~adp—

XA8p(1-97)

用弹性模量Ec表示:

k_1__d/

。一与一d(Az)/Az

则垂直压缩的相对变形为

d(&)_pd/=*/

及一°

当此相对压缩完全体现在孔隙比的改变上，则有

d(上)_4

△之1+e

对于各向异性介质来说，如把坐标轴的方向取得和各向异性介质的主方向一致，则有

1%船死（K.船+吴（勺耍）=/祟

dx<72：»a1ydzoz仁ot

对于均质各向同性的含水层来说，可以进一步简化为

a2Ha2Ha2H_4AH

3JC^3yi^3%2K

如果化为柱坐标.则（1—102）式变为

13/1a2H2H

222

rarVdr}r06dz~K法

上述方程就是可压缩介质中渗流基本微分方程，也可以称为承压含水层的非稳定运动方

程。在推导过程中从实用观点出发除了已经谈到的假设外，还假设：（1）水流服从Darcy定

律；⑵K不因o=0（p）的变化而改变；⑶4和K也不受n变化（由于骨架变形）的影响。

上述诸方程均是在质量守恒原理基础上建立起来的，它反映了地下水在多孔介质中运动

的质量守恒关系。它表明单位时间内流人流出单位体积含水层的水量差值等于同一时间内单

位体积含水层弹性释放（或弹性贮存）的水量，这些方程还通过应用Darcy定律反映了地下水

运动中的能量守恒与转化关系。由此可见.基本微分方程用数学的形式表达了渗流区中任何

一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒这两条基本定律。这一结论也适用于下面将要

提到的一些基本微分方程。

有了这些基本概念就可以灵活地把基本微分方程应用于解决实际渗流问题。虽然方程中

没有考虑抽水、注水、越流补给、沿断裂带流入水量等对含水层的影响，但要解决这些问题

是不困难的。既然方程的左端项代表单位时间内从各个方向流人单位体积含水层的水量的总

和，那我们只要在建立水均衡的连续性方程时在方程中加一项来表示这些交换水量就行了。

其结果是在方程（1一101）、（1一102）、（1一104）、（1—105）.（1一106）等的左端加一项w,

通常称为源汇项。它一般是位置和时间的函数。

当从含水层抽水或从垂直方向有水流出含水层时，w为负值，表示汇；当向含水层注水

或从垂直方向有水流入含水层时，W为正，表示源。但要注意，对于三维问题，W表示单位

时间从单位体积含水层流入或流出（包括抽，注水）的水量；对于二维问题，W表示单位时间

在垂直方向从单位面积含水层中流入或流出的水量。如由（1—101）式得

方K及+/K鄂+/K第+W-用（1-108）

（二）不可压密介质中渗流基本方程

假设液体和固体骨架都不可压缩，即不可压缩的液体在刚性介质中运动，上述方程的右

端项为0,就可得到不可压密介质中的渗流基本方程，也称稳定渗流方程。

对于一般的非均质承压含水层来说，由（1-101）式得

方K为+京K郢+名K裴）=。，

对于均质各向同性的含水层来说，由（1—102）式得

d2Hd2H32H

=0

分3y223之2

上式通常称为拉普拉斯方程。

稳定运动方程的右端都是零，意味着在单位时间内净流人均衡单元体的水量等于零，即同

一时间内流人单元体的水量等于流出的水量.或者说多孔介质不可压缩。这个结论不仅适用

于承压含水层，对潜水含水层和越流含水层中的稳定运动也是适用的。

（三）有越流补给的渗流方程

在自然界中有不少这样的情况，在上下含水层之间夹有弱透水层，由于隔开的上下含水层

中水头不等，而发生穿过弱透水层的垂直渗透。我们把这种现象称为越流。在含水层中抽水,

人为造成主含水层水头下降后，这种现象就更容易发生，如图1—34。

下含水层鸿压水面

主含水层的测压水面H

y/^y/Zy/A^^/

r+&时刻

t时刻一一

漕水面一

槽水含水层

［，,才）富尊水层1?就［

PS，3•

K

.,M

主含水层.

水层7

Ar-*

图1-34越流系统

此时的渗流微分方程，只要对比分析前面巳得出的方程就可求得。图1—34表示一个非均

质各向同性越流含水层中的地下水流。主含水层厚度为M,上下各有一个厚度为ml和m2、

渗透系数为K1和K2的弱透水层。弱透水层的外围又分别为潜水含水层和下伏的承压含水层。

当弱透水层的渗透系数KI和K2远远小于主含水层的渗透系数K时，根据渗流的折射定律,

可以近似的认为水基本上是垂直通过弱透水层.折射90度后在主含水层中基本上是水平运

动的。在这种情况下，主含水层的水流可近似地作二维流问题处理，而上下含水层的水通过

弱透水层的运动，可以作为汇源项来处理。可对比（1—109）有

言（T器）+郛+*/攀

此时，W称为越流补给强度，可由下式求得

W二Ki.一”+K2--

m2

将（1—113）式代人上式得

永嘿）+点嚼+%勺4七三"得（I-）

上述各式均是在不考虑弱透水的弹性释放和不可压缩的条件下导出的。在对工程来说，

往住这些层位压缩量很大，对这些情况就不能用（1—114）、（1—115）这样的基本方程求解，

应根据前述的方法，依照具体情况再建立其他方程。

（四）有自由水面变动的渗流微分方程

1.Dupuit假设

潜水面是自由水面，上面有一个大气压作用在该面上。潜水面通常不是水平的，因此，

潜水含水层中存在着流速的垂直分量。潜水面本身又是渗流区的边界，随时间变化。这就给

求解该渗流问题带来很大困难。

1863年Dupuit研究分析了潜水的实际运动形式，发现它的特点如同水力学中的缓变流动,

又由于自由水面坡度很小，提出了如下的假设：对潜水面（在垂直的二维平面xy平面上）任

意点P有

dHdN.

J一匹=一六sin®n(1-116)

试点渗透速度方向与潜水面相切，其大小等于

%二-K=-Ksintf

as

图1-35LXipuit假设

%"一K岸％=一*药；H=

Q"-KAB•聆Qy=-KhB•端(1-120)

2.潜水流的基本微分方程

因为潜水面是个自由面，相对压强P=0,因此对整个含水层来说可以不考虑水的压缩性。

先考虑一维问题。我们取平行于xoz平面的单位宽度进行研究。

zW

在渗流场内取出一块土体（图1—37）。它的上界面是潜水面，下界面为隔水底板，左右

为两个相距kx的铅直断面。引起小土体内水量变化的因素除了从上游断面流入的流量和下

游断面流出的流量外，还有由大气降水的人渗补给或潜水的蒸发构成的垂直方向的水量交

换。设单位时间、单位面积上垂直方向补给含水层的水量为W（人渗补给或其它人工补给取正

值，蒸发等取负值）。

在At时间内，从上游流人和下游流出的水量差根据Dupuit假设为

（Q~患号）&-（q+票等）&=-第=-驾劲\&

dJC，dxZaJTdx

At时间内，垂直方向的补给量为wAtAX。因此，At时间内小土体中水量总的变化为

小土体内水量的变化必然会引起潜水面的升降。设潜水面变化的速率为等，则At时间内,

dt

由于潜水面的变化面引起的小土体内水体积的增量为

3HAA

其中的〃当潜水面上升时为饱和差，下降时为给水度。此时忽略了水和固体骨架的弹性贮

存的变化。

K玄h哭HW一得（1一⑵）

/（，羿+¥二/得（1722）

上式为有人渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的基本方程，或有自由水面变动渗流

基本方程，通常称为Boussinesq方程。

在二维运动情况下，可以用类似的方法导出相应的Boussinesq方程为

杀得竭（喏+髀猾….

当隔水层水平时，h=H,方程有如下形式

石（〃石）+西（"％）+及=/五（1-123b）

第五节描述渗流问题的数学模型及其解法

一、数学模型

在对渗流问题模拟研究中，采用过多种模型，常见的物理模型如砂槽型，窄缝槽模型等;

电模型及各种数学模型。数学模型和其他模型相比具有许多优点，它不仅能表现出含水层系

统复杂的物理结构和不规则的几何形态，适应范围广，通用性强，而且使用方便灵活，对模

型的校正也比较容易。数学模型不仅能描述多孔介质中的流动现象，还能描述多孔介质中物

质输运、能量输运及其他一些物理一化学现象。

所谓数学模型就是用一些方程式或方程组来描述现实多孔介质中的地下水运动的基本特

征，内在联系及外在条件对其运动的制约关系。常见数学模型分为随机型与确定型两种。

随机模型，出现在模型中的变量是随机的，仅知变量的取值概率，而不能肯定变量所取的

确定值。

确定模型，即为模型中各变量之间有严格确定的关系。在工程渗流力学中主要研究的确定

模型.如描述地下水流模型.描述多孔介质骨架变形模型及物质输运、能量输运模型等等。

用确定模型来描述渗流问题时必须具备下列条件：

⑴有一个（或一组）能描述渗流规律的微分方程。同时确定相应的渗流范围、形状及方程中

出现的参数值。

⑵给出相应的定解条件，表现研究区的初始状态和它与周围的联系。

⑶所建立数学模型必须是适定的。即解是存在的；解是唯一的；模型的解是稳定的。

关于模型中的微分方程，前一节已经介绍了一些。下而我们着重介绍定解条件。

二、定解条件

前面已叙述的伯微分方程，如稳定的拉普拉斯方程，对于许多渗流问题，只要是掐定运动

都可以用这一方程描述，即这些伯微分方程具有多解性。为了能从它们全部的解中选出一个

满足某个具体问题的确定解，就必须加上一些附加条件，这些附加条件就是通常所说的定解

条件。

定解条件包括边界条件和初始条件。

1、边界条件

边界条件指渗流区域几何边界上的水力性质。又可分为第一类边界条件与第二类边界条

件。

第一类边界条件，又称为给定水头边界。

如果边界上某一部分各点的每时刻的水头值是已知的。如与研究域有联系的地表水体

（河流、湖泊）；泉水不被疏干情况下的泉水出口；区域内的抽水井，注水井；或疏干巷道等

都可以做为给定水头的边界。表示为：

H（x6S］）

H（.r,yU）=中GFJ

*

应当注意，给定水头边界不是定水头边界，两者要分开。定水头边界是指在边界上的水头函

数H或势函数。是不随时间变化的，是个常数。这种情况下，除个别条件外，在自然界中是

很少见的。

第二类边界条件.又称给定流量边界。

若已知一部分边界单位面积（二维的为单位宽度）上流人（流出时为负值）的流量，或者已

知势函数（水头函数）的法向导数时，称为第二类边界。相应边界表示为

,=qi(x,y,z,t)£Si)(1-128)

T.用~92（7，，，£）(mC「2)(1-129)

r2

最常见的这类边界为隔水边界，此时,q=0o在介质各向同性条件下，上面二式可以简

化:

(1-130)

这种条件，如分水岭，流面，隔水面，有些浸润曲面等等都能用（1—130）表示。

下面以不考虑人渗补给的地下水向均质各向同性介质中水井的稳定运动（图I—38）作为

例子，来具体说明它的边界条件。

图1-38地下水向均质各向同性介质中水井的稳定运动

在图1一38所示的渗流区中，边界由下列部分组成：上游边界C1,浸润曲线(潜水面与垂

直到面的交线)C2,渗出面c3,下游边界即井壁C4,隔水边界C5。水头H在各边界上必须适

合的条件为：

(1)、在边界C1上，水头均假设等于H0,所以有边界条件

H—Ho(1-131)

(2)、浸润曲线C2上，压强等于大气压强，所以测压管高度等于零，C2上任何一点的水头

H'应等于该点的纵坐标Z。

H*z(1-132)

同时，浸润曲线又是一条流线，所以有边界条件

=0(1-133)

(3)、渗出面c3上，压强也等于大气压强，故有

H—z

(4)、井壁c4上，边界条件为