广东省江门市广海华侨中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省江门市广海华侨中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数则函数的最大值为 （

） A．3

B．4

C．5 D．不存在参考答案：C略2.已知数列的前项的和（是不为0的实数），那么

（

）

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列

D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列参考答案：C3.定义在上的函数满足则的值为A．

B．2

C．

D．4参考答案：D略4.定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：

所以所以

所以对应点为（），位于第二象限。5.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．6.已知函数上的减函数，则a的取值范围是

A．

B．

C．（2，3）

D．参考答案：7.运行下列框图输出的结果为43，则判断框应填入的条件是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A依次运行程序可得：①，满足条件，继续运行，；②，满足条件，继续运行，；③，满足条件，继续运行，；④，满足条件，继续运行，；⑤，满足条件，继续运行，；⑥，不满足条件，输出43．结合选项可得选项A满足题意．故选A．

8.记不等式组表示的区域为，点的坐标为.有下面四个命题：，； ，；，； ，.其中的真命题是（

）A．，

B．，

C.，

D．，参考答案：A9..函数对于任意实数x，都与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（）A.2020 B.2019 C.1010 D.1009参考答案：A【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为．方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选：A10.为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取名学生，并编号；（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，，，，则______．参考答案：3【分析】通过余弦定理求出，然后利用向量的数量积求解即可．【详解】解：在中，，，，可得，则.故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．12.如果O是线段AB上一点，则，类比到平面的情形；若O是△ABC内一点，有，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD内一点，则有

.参考答案：答案：13.曲线在点（1，3）处的切线方程为

参考答案：14.在区间内随机取两个实数分别为，，则使函数存在极值点的概率为

.参考答案：

15.赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的倍作为其奖金(单位：元).若随机变量和分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则

(元).参考答案：本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，考查了分析问题与解决问题的能力.由题意，赌金的分布列为则;奖金情况是：两个小球上数字之差绝对值为1，共4种情况，奖金为2元；两个小球上数字之差绝对值为2，共3种情况，奖金为4元；两个小球上数字之差绝对值为3，共2种情况，奖金为6元；两个小球上数字之差绝对值为4，共1种情况，奖金为8元，则,,,,则奖金的分布列为所以，则16.已知函数在（0，1）上不是单调函数，则实数的取值范围为________.

参考答案：略17.如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.参考答案：(或写成)试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中有个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为.（1）求出,,,;（2）找出与的关系，并求出的表达式；（3）求证：().参考答案：（1）由题意有，

，

，，．（2）由题意及（1）知，，即，所以，，，，

将上面个式子相加，得：

又，所以．

（3）∴．

当时，，原不等式成立．当时，，原不等式成立当时，，原不等式成立．

综上所述，对于任意，原不等式成立．略19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点．（1）求证：平面；（2）当为何值时，二面角为．参考答案：（1）见解析（2）知识点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．解析：解：（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

∵，，是中点，

∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），＝(0，1，?1)，＝(，1，?1)，F（0，，），=（0，，），

∵，∴，∴平面．

（2）设BE=a，∴E（a，1，0），＝(a?，1，0)，＝(，0，?1)，

设平面PDE的法向量＝(x，y，z)，

则，

取x=1，得=（1，?a，），

平面PCE的法向量为＝(0，，)，

∵二面角C-PE-D为45°，

∴，

解得a=∴当BE=时，二面角C-PE-D为45°．

AF⊥平面PBC．思路点拨：（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面PBC．（2）设BE=a，求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出当BE=时，二面角为45°．20.（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．参考答案：【考点】：不等式的证明．【专题】：推理和证明．【分析】：（Ⅰ）通过绝对值三角不等式，已经基本不等式，即可证明f（x）≥2；（Ⅱ）利用已知条件构造柯西不等式，然后证明即可．证明：（Ⅰ）由a＞0，有当且仅当a=1时取等号．所以f（x）≥2…（5分）（Ⅱ）∵x2+4y2+z2=3，由柯西不等式得：[x2+（2y）2+z2]（12+12+12）≥（x+2y+z）2（当且仅当即时取“=”号）整理得：（x+2y+z）2≤9，即|x+2y+z|≤3…（10分）【点评】：本题考查不等式的证明，基本不等式以及柯西不等式的应用，考查推理与计算能力．21.已知函数（）.（1）求函数的单调区间;(2）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围参考答案：解：（I）

……2分当

即

f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,

………4分当

，

即

f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，）……6分（II）得

……7分+3

……8分

………9分

……10分……12分

即：

……12分22.设数列{an}满足：a1=a，an+1=（a＞0且a≠1，n∈N*）．（1）证明：当n≥2时，an＜an+1＜1；（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥+1时，ak+1＞b．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（1）先判断an＞0，再由基本不等式得到an+1≤1，再利用数学归纳法证明：（2）分若ak≥b，由（1）知ak+1＞ak≥b，若ak＜b，根据0＜x＜1以及二项式定理可（1+x）n≥nx，根据迭代法和放缩法可证明ak+1＞a2?[1+（k﹣1）]，再由条件可得1+（k﹣1）≥+1=，问题得以证明【解答】证明：（1）由an+1=知an与a1的符号相同，而a1=a＞0，∴an＞0，∴an+1=≤1，当且仅当an=1时，an+1=1下面用数学归纳法证明：①∵a＞0且a≠1，∴a2＜1，∴=＞1，即有a2＜a3＜1，②假设n=k时，有ak＜ak+1＜1，则ak+2==＜1且=＞1，即ak+1＜ak+2＜1即当n=k+1时不等式成立，由①②可得当n≥2时，an＜an+1＜1；（2）若ak≥b，由（1）知ak+1＞ak≥b，若ak＜b，∵0＜x＜1以及