湖南省湘潭市湘乡育段学区桦坪中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省湘潭市湘乡育段学区桦坪中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(

) A．n≤7 B．n＞7 C．n≤6 D．n＞6参考答案：D考点：循环结构．专题：阅读型．分析：框图中首先给累加变量S、替换变量a、和循环变量n赋值，由S=S+a和a=a+2看出，该算法是求以3为首项，以2为公差的等差数列前n项和问题，写出求和公式，根据输出的和S的值判断的情况．解答： 解：当n=1时，S=0+3=3，a=3+2=5；当n=2时，S=3+5=8，a=5+2=7；当n=3时，S=8+7=15，a=7+2=9；当n=4时，S=15+9=24，a=9+2=11；当n=5时，S=24+11=35，a=11+2=13；当n=6时，S=35+13=48，a=13+2=15，当n=7时，S=48+15=63．此时有n=7＞6，算法结束，所以判断框中的条件应填n＞6，这样才能保证进行7次求和．故选D．点评：本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．2.下列命题中的真命题是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B

，所以A、C、D都是假命题。令对于恒成立，故在上单调递增，，B是真命题。3.的展开式的常数项是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略4.定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，则（）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.已知椭圆的右焦点为,过点F的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则E的方程为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.若，，

则的大小关系是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.“”是“复数（）为纯虚数”的

（

）A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A：为纯虚数，则＝0，，所以，反之也成立.8.一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（）

A．6+π B．4＋C．6+4π D．4＋4参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱柱与球的组合体，判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，根据侧视图是矩形上边加一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R==1，几何体的侧视图是矩形上边加一个圆，矩形的长、宽分别为2，3，圆的半径为1，侧视图的面积S=2×3+π×12=6+π．故选：A．【点评】本题考查了由正视图与俯视图求侧视图的面积，判断数据所对应的几何量及求得相关几何量的数据是解题的关键．9.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：B【知识点】双曲线的简单性质．H6

解析：不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab，∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0，∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．【思路点拨】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．10.已知为自然对数的底数，设函数，则A．是的极小值点 B．是的极小值点C．是的极大值点 D．是的极大值点参考答案：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）的值域[0，4]（x∈[﹣2，2]），函数g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，?x1∈[﹣2，2]，总?x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣]∪[，+∞}【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；分类讨论．【分析】由题意知，g（x）的值域包含f（x）的值域，g（x）的值域与a的正负有关，分a＞0，a＜0两类求解，两类中分别得出端点值的大小关系，求两个不等式组，得到关于a的两个范围，求并集可得a的取值范围．解：根据题意，分情况讨论可得：①a＞0时，，得a≥；②a＜0时，，得a≤﹣，③a=0时，g（x）=ax﹣1=﹣1，∴a∈?则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查函数的值域，集合间的关系，解不等式组等知识点；把集合间的关系转化为不等式组求参数范围，可借助数轴；求值域时用分类讨论的思想．12.（5分）设棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CD，CC1中点，则直线A1M和DN所成的角为

．参考答案：考点： 异面直线及其所成的角．专题： 空间角．分析： 建立空间直角坐标系，利用向量数量积垂直即可得出异面直线所成的夹角．解答： 解：建立空间直角坐标系，如图所示，A1（1，0，1），，．∴=，=．∴==0，∴．∴直线A1M和DN所成的角为．故答案为：．点评： 本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量数量积垂直得出异面直线所成的夹角的方法，考查了空间想象能力，属于基础题．13.若直线l：y=kx经过点，则直线l的倾斜角为α=

．参考答案：

因为直线过点，所以，即，所以，由，得。14.已知向量，若，则

．参考答案：30

15.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是

．参考答案：16.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下表：根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在范围内的矩形的高应为

．参考答案：17.若，求

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本题满分12分）已知函数在区间

上的

最大值为2.（1）求常数的值；（2）在中，角,,所对的边是,,，若，，

面积为.

求边长.参考答案：解：（1）

∵

∴

∵函数在区间

上是增函数，在区间

上是减函数

∴当即时，函数在区间上取到最大值.

此时，得

（2）∵

∴

∴，解得(舍去)或

∵

，

∴

…………①

∵面积为∴

即

…………②

由①和②解得

∵略19.在中，角的对边分别为，且，，边上的中线的长为.(1)求角和角的大小；

(2)求的面积.参考答案：解：（1）由所以，又，由，，，则为钝角。，则

解得。（2）由（1）知，，由余弦定理得，所以略20.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设，过点作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．参考答案：(1);(2)为定值.试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于的方程组，过得，从而得到椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程消去，得到关于的方程，再利用韦达定理得到之间的关系，从而得到的关系．试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．（2）设，，直线的方程为，由得．∴，，由，，三点共线可知，，所以；同理可得所以．因为，所以．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式＝或＝解决，往往会更简单．21.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b=acosC+csinA，（1）求角A的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理得：，即，化简得：，解得A=．（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA?4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，故．【解答】解：（1）在三角形ABC中，因为，由正弦定理得：，即化简得：因为sinC≠0，所以因为A∈（0，π），所以A=…（2）因为a=2，，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA?4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，当且仅当b=c时取等号．故，所以，当三角形为等边三角形时，三角形的面积有最大值为…22.（本小题满分14分）

已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为．设该动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线方程；

（2）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、

，面积的最小值及此时点的坐标.参考答案：【知识点】椭圆方程

直线与椭圆位置关系H5H8（1）；（2）其最小值为，此时点的坐标为.（1）设动圆圆心坐标为，根据题意得

，

（2分）

化简得.

（2分）

（2）解法一：设直线的方程为，

由消去得

设，则，且

（2分）

以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为

即

同理过点的切线的方程为

设两条切线的交点为在直线上，

，解得，即则：，即

（2分）代入

到直线的距离为

（2分）

当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为.

（4分）

解法二：设在直线上，点在抛物线

上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为

即

同理以点为切点的方程为

（2分）

设两条切线