2020-2021学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分56分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为．2．（4分）α为第三象限角，且，则在第象限．3．（4分）已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为．4．（4分）函数f（x）＝log2（tanx﹣）的定义域为．5．（5分）若sinx＝，，则x＝．（结果用反三角函数表示）6．（5分）已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝．7．（5分）已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为．8．（5分）函数的单调递增区间为．9．（5分）函数f（x）＝cos2x+sinx+1在上的值域是．10．（5分）已知f（x）＝4sinx+3cosx，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝．11．（5分）我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，由此可求函数的值域为．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．（5分）在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形15．（5分）设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（）A．在区间[，]上是增函数 B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数 C．在区间[﹣，]上是增函数 D．在区间[，]上是减函数16．（5分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，） B．[4，） C．[4，） D．[，）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．（1）若点P的横坐标为，求的值．（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．18．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．19．（15分）如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．（1）若θ＝，求△DEF的边长；（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．20．（15分）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．21．（15分）在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；（2）若a+c＝mb（m＞1），（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．

2020-2021学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分56分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为π．【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：由函数f（x）＝3sin（2x﹣），则函数的最小正周期为π，故答案为：π．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2．（4分）α为第三象限角，且，则在第二象限．【分析】利用角所在象限，列出不等式，然后转化求解即可．【解答】解：因α为第三象限角，即，得，则所在象限为第二象限或第四象限，又因，故所在象限为第二象限．综上所述，在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查三角函数角所在象限的判断，三角函数值的符号的判断，是基础题．3．（4分）已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为．【分析】设扇形圆心角为α，半径为r，列方程组求出α的值．【解答】解：由扇形的周长为20cm，面积为16cm2，可设扇形圆心角为α，且α∈（0，2π），半径为r，则，解得或（不合题意，舍去），所以α＝．故答案为：．【点评】本题考查了扇形的周长与面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．4．（4分）函数f（x）＝log2（tanx﹣）的定义域为．【分析】根据对数函数以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由已知得，，即由正切函数的性质可知定义域为，故答案为：．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及三角函数的性质，是基础题．5．（5分）若sinx＝，，则x＝．（结果用反三角函数表示）【分析】直接利用三角方程求解即可．【解答】解：sinx＝，，则x＝．故答案为：．【点评】本题考查三角方程的求法，考查计算能力，注意角的范围．6．（5分）已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝．【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），结合函数的解析式可得答案．【解答】解：根据题意，奇函数f（x）的一个周期为2，则f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），又由当x∈（0，1）时，，则f（0.5）＝cos＝，故f（7.5）＝﹣；故答案为：﹣．【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．7．（5分）已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为．【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求结合已知即可计算得解．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，∴sin（2α+）＝cos[﹣（2α+）]＝cos（2α）＝cos[2（α﹣）]＝1﹣2sin2（α﹣）＝1﹣2×（）2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于基础题．8．（5分）函数的单调递增区间为．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，结合余弦函数的单调性求解即可．【解答】解：函数，即，解得，所以单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查余弦函数的单调性的求解，诱导公式的应用，是基础题．9．（5分）函数f（x）＝cos2x+sinx+1在上的值域是．【分析】利用换元法，结合二次函数的值域，求解即可．【解答】解：令，则，∴f（x）＝（cosx）2+sinx+2＝﹣（sinx）2+sinx+2，∴，∴，函数f（x）＝cos2x+sinx+1在上的值域是：．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值的求法，换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10．（5分）已知f（x）＝4sinx+3cosx，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝．【分析】利用两角和与差的三角函数以及三角函数的图象变换化简函数的解析式，结合函数的奇偶性，求解即可．【解答】解：由题意，函数f（x）＝4sinx+3cosx＝5sin（x+φ），其中因为f（x）向右平移α个单位后，可得g（x）＝5sin[（x﹣α）+φ]＝5sin（x﹣α+φ），又由g（x）＝5sin（x﹣α+φ）为奇函数，所以φ﹣α＝kπ，k∈Z，即α＝φ﹣kπ，k∈Z，又因为0＜α＜π，所以α＝φ，所以．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的图象变换，函数的极限的应用，是中档题．11．（5分）我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，由此可求函数的值域为[1，2]．【分析】根据偶函数和函数周期定义可证得函数g（x）是以π为周期的偶函数，从而可写出函数g（x）在一个周期的分段函数求得函数g（x）的值域．【解答】解：依题意，定义域为R，关于原点对称，又，∴g（x）为偶函数；又＝g（x），∴g（x）以π为周期；当x∈[0，π]时，g（x）＝，∴g（x）的值域为[1，2]，故答案为：[1，2]．【点评】本题考查三角函数的图象和性质、分段函数值域、数形结合思想、分类讨论思想，考查学生的推理和计算能力，属于较容易题．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是[1008，）．【分析】利函数的性质可得函数f（x）的周期，函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，转换成f（x）与y＝sinπx函数的图像交点，由数形结合法可得m的范围．【解答】解：由题意，函数f（x）为R上奇函数，所以f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，可得f（2﹣x）＝﹣f（x），可得函数f（x）的图像关于点（1，0）对称，联立可得f（2﹣x）＝f（﹣x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，又由函数y＝sinπx的周期为2，且关于点（k，0）（k∈Z）对称，因为当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，由图像可知，函数f（x）＝﹣log2x和y＝sinπx的图像在[﹣1，1）上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，其中都是函数的零点，即函数F（x）＝f（x）﹣sinπx在[0，m]上有2017个零点，如果m是第2017个零点，则，如果m是第2018个零点，则，即m∈[1008，）．故答案为：[1008，）．【点评】本题考查函数的性质和函数的零点判断，考查数形结合法，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【分析】当φ＝时，f（x）＝2cos2x，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当f（x）为偶函数时，φ＝+kπ，k∈Z，可知φ有无数多个，从而可得解．【解答】解：①当φ＝时，f（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x，∵f（﹣x）＝2cos（﹣2x）＝2cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，②当f（x）为偶函数时，φ＝+kπ，k∈Z，综上所述，φ＝是f（x）为偶函数的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题属于基础题．14．（5分）在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【分析】直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sin2＝＝，即，由余弦定理可得，可得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力．15．（5分）设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（）A．在区间[，]上是增函数 B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数 C．在区间[﹣，]上是增函数 D．在区间[，]上是减函数【分析】根据正弦函数的性质，将图象关于x轴对称翻折，可得f（x）＝|sin（x+）|，即可得答案．【解答】解：由函数y＝sin（x+）（x∈R），可知，当x+＝时，取得最小值为﹣1，此时x＝，当x+＝0时，图象与x的交点，此时x＝，当x+＝时，取得最大值为1，此时x＝，y＝sin（x+）（x∈R）的图象关于x轴对称翻折，可得f（x）＝|sin（x+）|，∴函数f（x）的周期为π，∴函数f（x）的单调减区间为[，+kπ]：单调增区间为[+kπ，]，k∈Z．当k＝1时，可得单调增区间为[，]，故选：A．【点评】本题考查了正弦函数的性质以及图象的对称翻折问题．属于基础题．16．（5分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，） B．[4，） C．[4，） D．[，）【分析】令函数f（x）＝0得sin（ωx+φ）＝，根据正弦函数y＝sinx的图象与性质，得出函数y＝sinx相邻零点满足的条件，求出相邻2个零点的最大距离和相邻3个零点占区间长度的最小值，由此求得ω的取值范围．【解答】解：令函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1＝0，解得sin（ωx+φ）＝，因为y＝sin（ωx+φ）是由y＝sinx图象变换得到的，且最小正周期为T＝，在[0，2π]内，sin＝sin＝，所以函数y＝sinx相邻4个零点x1、x2、x3、x4满足：x2﹣x1＝x4﹣x3＝﹣＝，x3﹣x1＝x4﹣x2＝2π，所以x3﹣x2＝（x3﹣x1）﹣（x2﹣x1）＝2π﹣＝，即相邻两零点最大距离d1＝2π，相邻四个零点占区间长度最短为d2＝x4﹣x1＝（x4﹣x3）+（x3﹣x1）＝+2π＝，x∈[，]时，ωx∈[ω，ω]，区间宽度为[﹣]ω＝ω，所以2π≤ω＜（ω＝d1至少有2个零点，ω＝d2至多有3个零点），解得4≤ω＜，所以ω的取值范围是[4，）．故选：B．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合解题思想，是难题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．（1）若点P的横坐标为，求的值．（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用两角和的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵P在单位圆上，且点P在第二象限，P的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，．（2）由题知，则，则．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式，属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．【分析】（1）由函数f（x）的部分图象求出A、T和ω、φ的值，即可写出函数解析式．（2）根据函数g（x）为偶函数，结合正弦函数的图象与性质，根据t的取值范围，从而求出t的值．（3）化简函数h（x）的解析式，根据x的取值范围，结合三角函数的图象与性质，即可求出h（x）的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝，＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，由“五点法”画图知，（﹣，0）是第一个点，所以2×（﹣）+φ＝0，解得φ＝，所以f（x）＝sin（2x+）．（2）函数g（x）＝f（x+t）＝sin[2（x+t）+]＝sin（2x+2t+），g（x）为偶函数，2t+＝+kπ，k∈Z，t＝+，k∈Z，又t∈（0，π），所以t＝，或t＝．（3）函数h（x）＝f（x）•f（x﹣）＝sin（2x+）•sin[2（x﹣）+]＝3（sin2xcos+cos2xsin）•sin2x＝3（sin22x+sin2xcos2x），＝3（•+•sin4x）＝+（sin4x﹣cos4x）＝+sin（4x﹣），当x∈[0，]时，4x﹣∈[﹣，]，即sin（4x﹣）∈[﹣，1]，所以+sin（4x﹣）∈[0，]，所以函数h（x）的取值范围是[0，]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．19．（15分）如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．（1）若θ＝，求△DEF的边长；（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．【分析】（1）由题意易得△AEF为等边三角形，从而可求；（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．【解答】解：（1）设△DEF的边长为x千米，由得CE＝，AE＝a﹣，△AEF中，∠FEA＝＝，，∴△AEF为等边三角形，AE＝x＝a﹣，故x＝，即△DEF的边长为；（2）设△DEF的边长为x千米，所以CE＝xcosθ，AE＝a﹣xcosθ，△AEF中，∠FEA＝，∠A＝，∠EFA＝θ，由正弦定理得，，故x＝＝，当时x取得最小值，即△DEF的边长最小值．【点评】本题主要考查了正弦定理，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．20．（15分）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的周期，即可得到结果．（2）利用函数的图象变换，化简函数的解析式，然后求解函数的最值即可．（3）利用函数的图象，转化求解实数根的和即可．【解答】解：（1）由题意，函数＝＝2sinωx，因为函数f（x）图像的相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，可得ω＝2．f（x）＝2sin2x．（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来