2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第6章第4讲 数列求和

1nnn1n122n－a1n1nnn1n122n－a1n第4讲数求和．等差数列的前n项和式(a＋)(－S＝＝na＋d．n2．等比数列的前n项和式1q＝，S＝－aa－q)＝，q≠1.－1．一些常见数列的n项和公式(n1)＋2＋34＋…＋＝＋3＋57＋…＋－1)＝．＋4＋68＋…＋2n＝＋．．数列求和的常用法(1)倒序相加法如果一个数{}前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，n那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和即是用此法推导的．(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前n项就是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法一个数列的前n项，两两结合求解，则称之为并项求和．形如＝－1)fn类型，n可采用两项合并求解．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×)(1)如果数列{a}等数列，且公比不等于，则其前项＝)n－q

－＋22nn1111n1nn2nnπ200920102－＋22nn1111n1nn2nnπ2009201022012aa)annn11(2)当≥2时＝－1

.()(3)求an

＋a

3

＋…＋na

n

时只要把上式等号两边同时乘以a即根据错位相减法求得．()答案：(1)√

(3)×若＝－2＋3＋5－＋…＋(－1)n

·，则＝．50解析：

50

(12)(3(56)…50)25.答案：25111数列，，，，，(2n＋，的前和S的等于________816n解析：

1…n28

nn[15…(12n1)2211答案：n＋－

π数列{}通公式为a＝ncos，其前n项为，则＝________nn22解析：

na0，a2a12

304.4aaa2.41017

Sa222()…(a121008.×2a1

)(a

20132014222答案：1已知数列{}前和为且a＝n·2，S＝________.nn解析：

×22××23…×2n，2S×22×3×24…×n

1

，②23…2n×n

1

2)nn11

，S

n

(n

n2*nnn2n2n2n12n2*nnn2n2n2n1212.答案：(－

分组转化法求和[典例引领]＋n已知数列{}前n项＝，n∈.n2(1)求数列{}通项公式；n(2)设＝＋(1)n

，数{}前2项．n【解】(1)1，

11n≥2，Snn

1

(1)2(n1)n

1

a，{}a

n

n(2)(1)a

nnb2(1)n.n{

n

}nT，122…n)(4…2)A212…

，B13…，2(1)A22n，B(12)(4)…[n1)2n]{

n

}nT

2n

B22n

12.在本例(2)中，如何求数列{b}前和.n解：(1)bn，

2n(nn.nT

n

(22…)[24(n1)n]

n2nnnnnnnnnnnnnnn2nn2nnnnnnnnnnnnnnn2n2(ln2ln3)

＋

1nT(212…2nn

[14…(n2)(n]52n12n12T

nn

1，，1，(1)

分组转化法求和的常见类型bc{}{c}{}n(2)

n

{

n

}{}，[注意

，，，[通关练习]已知数列{}通项公式是＝((ln－＋(－1)nln3前n项nnn解：

n

3…3n[11…(

]·(lnln[12…，n，S

n

ln33nln3n，S

n

n

ln33n3ln1.

n**nn21341nn2nnnn**nn21341nn2nnnnn2nnnnln31，n，，lnln21，错位相减法求和[典例引领](2017·高天津)已知{}等差数列，前项为(nN)，{b}首为nn的等比数列，且公比大于0＋＝12＝－a，＝11244(1)求{}{}通公式；n(2)求数列{b}前和n∈)．2nn【解(1){}{}q

b122(q)，b

1

26>0，b2nn

baa，3

1

8①b114

，

5d16②，1①，a，，2.1，{

n

}32{

}b

2nn

(2){b}T，a

n2，42×21623…2n(62)×

n

，T

×2×3×2…(6×2n(6n×1n

，，T462×…6n2)×2n1n

×(12)2)×1nn(3216.n，{

}n(n＋16.错位相减法求和时的3个注意点(1)，(2)“S“”“qSnn

”

*nn1＋1n11n2a*nn1＋1n11n2anS22②2222n(3)11[通关练习]n＋1在数列{}，a＝，a＝，n∈.n(1)求证：数列比列；(2)求数列{}前n项和Snn解：(1)明a

n

1

n2n2n，2(2)(1)，1nn22nn12nnSn3…＋，1nn2Sn3…n1，S2n2裂项相消法求和)裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数{}通公式，达到求解目的．主命题角度有：n(1)形如＝型n(nk(2)形如＝n

＋k＋n

型．[典例引领]角度一形如＝型n＋k

nnnnnn(1)1nn1335a*nnnnnnn(1)1nn1335a*n(2017·高全国Ⅲ设数列{}足＋a＋＋(2n－＝nn2(1)求{}通公式；na(2)求数列和．【解】a

3…(21)a2，12nn，aa…3)1(21)a，n(nn1a，1{}.nn(2){}Sn1

n

n1)21n1(21)(21)2121…21n2角度二形如＝n

＋k＋n

型已知函数f)＝x

的图象过点(4，令＝∈n(n＋f(n)

记数列{a}前n项为S，S＝．n【解析f4a21f)x

f1)()

1n

n1，S

2018

aa…a13

2018

((3(…()(2019018)21.【答案

019－利用裂项相消法求和的注意事项

a1n2nn1n2n…a1n2nn1n2n…nnnnn1nnn(1)，(2){

n

}，a

，

a2dan2

[通关练习]n高考全国卷Ⅱ等数列{}前项为，＝3＝10则nn1．

＝解析{}d，n，＝1

S

11

n1

答案：

n＋．广东五校协作体第一次诊断考)数列{}前n项S满＝a－a，nnn1，a＋，a成差数列．12(1)求数列{}通项公式；n(2)设＝，求数列{}前n项.SSnn1解：(1)2a

，n，

n1

2，n2a，

an

a

，a，a，2(aa1233

，2(2aaa11

，a

2.1{n

}，2，2nn

nn1n11nnnnnn*n2n2nnnnnnn1n11nnnnnn*n2n2nnnnn(2)

n1

2n

1S

2(21)2n122n

22.21(SS(2n2)22n12n1nn1

){n

}nT

n

1111111[()(…()](1)12211212＋211非等差、等比数列求和的两种思(1)转化的思想，即将一般数列设转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成．(2)不能转化为等差或等比的特殊列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．解决非等差、等比数列求和应注的3个题(1)直接应用公式求和时，要注意式的应用范围，如当等比数列公比为参数字母)时，应对其公比是否为1进讨论．(2)在应用错位相减法时，要注意察未合并项的正负号．(3)在应用裂项相消法时，要注意项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．．数列{a}通公式是＝(－nA－C．200

－，则该数列的前100项和为()B－D．100

(1(57)…(197250100.解析：D.100．在数列{}，＝，a＝，－a＝1(－，nN，S的为)n160AC．

B000D．解析：An，02，a，a.24…60)n．＝＋＋＋＋等()n82

60

nnnnnnn22222nn2222＋C．－1n22n11…nnnnnnn22222nn2222＋C．－1n22n11…－nA

B

－n－－nC．n解析：BS

n

－nD．23n2…，

nnSn…n1②，2Sn…nn11

，n1n1Sn．数列{a}通公式是＝n

＋n

，若前和为，则项数为()AC．

B99D．121解析：Aa

n

1(

1n1n)

na…(2(3…(111n121，n120.

)

110.

1＋＋＋＋的值为)－1－1－(n－1＋An2)1n2

n1B－2(＋2)D．－＋＋1n＋11解析：C(n2)…121421(n111112435n

，

12n122n*nn211n1nnnn99a55n5a12n122n*nn211n1nnnn99a55n5a…aa1192，*n**111(2018·合第二次质量检)已知数{}a＝，且＝－a∈N)，则n1a1nn其前项和＝．9解析：，4

4a，a4a2(a)2，

n

1

2

n

{}

×(12)101022.12答案：1．(2018·武调研)设等差数列{}前n项为，已知＝为数，且≤，n51则数列和为________．19解析≤≤≤，

2

，d，

n

a(n1)×dn，1n1

a1

，

n

1111113nan1d1

，T×答案：1．已知数列{}足＝＋－a，a＝，则该数列的前018项的和等于n1212．解析：a

1

1n12

a2n1，，1，2，2k∈)，2(k∈)，

10092

0271答案：．设数列{}足＝，a＋＝∈)nn(1)是否存在实数t，使{＋}等比数列？n

*2nn1n**2nn1n*(2)设＝，{}前项的和S.nn2013解：(1)a

n

45a45.1n1a

n

1

4(t，ann1

a5，n5t，tn

1

4(1)na，a1≠0.1{1}4nt，{t}n(2)(1)a

1×(nn

1(4)nn

an

n

Sb…b22013(1)1)3(41)…4

)442014141443…42114．(2018·广三市第一次联考)已等比数列{}前n项为，且6＝n

n

＋n∈N)．(1)求值及数列{}通公式；n(2)若＝(1－an)log(·)，求数列{}前nn1n

项和T.n解：(1)

3n1(nN*)，n，6a9，11n≥2，a6(Sn

)23，a3nn

1

，{n

}a，a6a3{n

}a3n

1∈N)(2)(1)b

(1annn

1

)n2)(31)，

11n2)(3n1)1n…47nnn11n2)(3n1)1n…47nnnnnnnnT……nb1×71n).n231n知列{}前n项为＝n2时＋S＝的为n112017A2C．

B013D．解析：D.，≥2，aSn，n≥1a，n≥2.a1(aan20172

)…(

a2

)009，D.．瑞安市龙翔高中高三月)知数{}各均为正整数，其前n项为，nn，a是数若＝，＝，则S＝()n2018＋1，a是数nA4C．

B732D．解析：B

1

，，，ann

1

，

2

31，

3

，

4

4

5

2

6

1

7

314.{n

}，3×，S58(41)×424732.22石家庄质量检测(一)已知数列{}前n项为数{}，，，，，nn2

2…23344，1…，2…23344，1…，*222…2Sfff1.fffn*1－1，，，，，…，，…，