北京丰台实验学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

北京丰台实验学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是

A．

B．

C．

D．参考答案：A过做底面于O,连结,

则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.2.曲线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.已知点是直线上的动点,点为圆上的动点,则的最小值是A.

B.

C.

D.参考答案：C4.满足下列条件的函数中，为偶函数的是（）A．

B．

C.

D．参考答案：D5.已知a，b∈R且a≠b，若aea=beb（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】构造函数f（x）=xex，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．【解答】设f（x）=xex，则f'（x）=（x+1）ex，由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，（﹣1，+∞）增函数，即当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=﹣＜0，∵f（0）=0，且当x＜0时，f（x）＜0．∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0．由（﹣a）ea=（﹣b）eb得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a．故选：C．6.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的序号是（

）A．①③

B．①④

C．②③

D．②④参考答案：C7.设函数的定义域为,若函数满足条件：存在,使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA?x﹣ay﹣c=0与bx+sinB?y+sinC=0的位置关系是（）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直参考答案：C【考点】HP：正弦定理；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出两条直线的斜率，然后判断两条直线的位置关系．【解答】解：a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA?x﹣ay﹣c=0的斜率为：，bx+sinB?y+sinC=0的斜率为：，∵==﹣1，∴两条直线垂直．故选：C．9.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校1000名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为，视力在4.6到5.0之间的学生数b，则的值分别为A．2.7，780

B．2.7，830

C．0.27，780

D．0.27，830参考答案：答案：C10.已知数列{}的前n项和其中a、b是非零常数，则存在数列{}、{}使得

（

）

A．为等差数列，{}为等比数列

B．和{}都为等差数列

C．为等差数列，{}都为等比数列

D．和{}都为等比数列参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为

参考答案：略12.若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_____________.参考答案：2

本题主要考查了三角形的解法以及正弦定理，属容易题因为，又a=2,有一个角是的等腰三角形是正三角形，所以AB=213.若变量，满足，则的最大值为

．参考答案：55

14.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：315.定义在，其中M是内一点，、、分别是、、的面积，已知中，，则的最小值是A.8

B.9

C.16

D.18参考答案：D由定义可知,由，得，即，所以，所以，即。所以，当且仅当，即取等号，解得，所以的最小值为18，选D.16.已知在上是单调递减的，则函数在上的最大值是

.参考答案：117.若时，均有，则=

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，，，.(1)求二面角的余弦值；(2)若点E在棱PA上，且平面PCD，求线段BE的长.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）推导出，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（2）由点在上，得，，求出，再由平面，可得，求出，得到的坐标，则答案可求．【详解】（1）∵在四棱锥中，由，，得，则，又，，

∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，由图可知，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，则，∴二面角的余弦值为；（2）∵点在棱上，∴，，∵，∴，，

又∵平面，为平面的法向量，∴，即，解得，∴，则．【点睛】本题主要考查利用空间向量求解二面角的大小，训练了利用空间向量证明线面平行，是中档题．19.已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=处取得极值，求a，b的值；（Ⅱ）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）依题意可得，可解得a，b的值；（Ⅱ）由f′（1）=2，可求得b=2a﹣1，于是f′（x）=，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立即可，对a分a=0，a＜0及a＞0三类讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2a﹣+，…由，…可得．…（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），…因为f′（1）=2，所以b=2a﹣1．…所以f′（x）==，…要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…当a=0时，f′（x）=＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数；

…当a＜0时，令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2==1﹣＞1，此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数；

…当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1﹣2a≥0，即0＜a≤．…综上所述，a的取值范围是a∈[0，]．…【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件，考查函数的单调性与导数的关系，考查函数恒成立问题，突出考查分类讨论思想与化归思想的综合运用，属于难题．20.已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…由|PQ|=3，可得=3，…又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…故椭圆方程为=1…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…得，，则=，…令t=，则t≥1，则，…令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴Rmax=，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…21.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C．（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）依题意|OA|=4sinφ，，利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为，命题得证．（2）当时，B，C两点的极坐标分别为，再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．【解答】（1）证明：依题意|OA|=4sinφ，，则=；（2）解：当时，B，C两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，曲线C2是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，又因为经过点B，C的直线方程为，所以．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．22.已知函数，其导函数的最大值为0．（1）求实数a的值；（2）若，证明：．参考答案：（1）；（2）见解析．