安徽中考数学真题分类汇编

第一部分命题点精准练第一章数与式命题点1实数的相关概念（必考）考向1实数的分类（2022.1）（2022安徽1题4分）1．（4分）下列为负数的是（）A．|﹣2| B．3 C．0 D．﹣5【解答】解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；B．3是正数，故本选项不合题意；C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D．﹣5是负数，故本选项符合题意．故选：D．考向2数轴、相反数、绝对值、倒数（2021.1，2019.12，2018.1，2017.1、15，2016.1，2014.15，2013.1，2012.1）（2021安徽1题4分）1．（4分）﹣9的绝对值是（）A．9 B．﹣9 C．19 D．【解析】解：﹣9的绝对值是9，故选：A．（2018安徽1题4分）1．（4分）﹣8的绝对值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．−【解析】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝8．故选：B．（2017安徽1题4分）1．（4分）12A．12 B．−12 【解析】解：12的相反数是−故选：B．命题点2科学记数法（必考）（2022.2，2021.2，2020.4，2019.4，2018.2，2017.4，2016.3，2015.3，2014.11，2013.2，2012.11）（2022安徽2题4分）2．（4分）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（）A．3.4×108 B．0.34×108 C．3.4×107 D．34×106【解答】解：3400万＝34000000＝3.4×107．故选：C．（2021安徽2题4分）2．（4分）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为（）A．89.9×106 B．8.99×107 C．8.99×108 D．0.899×109【解析】解：8990万＝89900000＝8.99×107．故选：B．（2020安徽4题4分）4．（4分）安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（）A．5.47×108 B．0.547×108 C．547×105 D．5.47×107【解析】解：54700000用科学记数法表示为：5.47×107．故选：D．（2019安徽4题4分）4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（）A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012【解析】解：根据题意161亿用科学记数法表示为1.61×1010．故选：B．（2018安徽2题4分）2．（4分）2017年我省粮食总产量为695.2亿斤．其中695.2亿用科学记数法表示为（）A．6.952×106 B．6.952×108 C．6.952×1010 D．695.2×108【解析】解：695.2亿＝69520000000＝6.952×1010，故选：C．（2017安徽4题4分）4．（4分）截至2016年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（）A．16×1010 B．1.6×1010 C．1.6×1011 D．0.16×1012【解析】解：1600亿用科学记数法表示为1.6×1011，故选：C．命题点3平方根、算术平方根、立方根（2017.11，2016.15，2015.11，2014.15）（10年4考）（2017安徽11题5分）11．（5分）27的立方根为3．【解析】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．命题点4实数的大小比较与无理数的估值（10年6考）考向1实数的大小比较（2020.1，2019.1，2015.1）（2020安徽1题4分）1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2【解析】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．故选：A．（2019安徽1题4分）1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜﹣1＜0＜1，∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．故选：A．考向2无理数的估值（2021.12，2015.5，2014.6）（2021安徽12题5分）12．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是5−1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是1【解析】解：∵4＜5＜9，∴2＜5∴1＜5又n＜5−1＜∴n＝1．故答案为：1．命题点5二次根式及其运算（10年4考）考向1二次根式的概念与性质（2013.11）考向2二次根式的运算（2019.11，2018.15，2015.2）（2019安徽11题5分）11．（5分）计算18÷2的结果是【解析】解：18÷故答案为：3命题点6实数的运算（2021.11，2020.11，2018.15，2017.15，2016.15，2014.1、15，2013.15）（必考）考向1实数的简单运算（2021.11，2020.11，2014.1）（2021安徽11题5分）11．（5分）计算：4+（﹣1）0＝3【解析】解：原式＝2+1＝3．故答案为：3．（2021安徽11题5分）11．（5分）计算：4+（﹣1）0＝3【解析】解：原式＝2+1＝3．故答案为：3．考向2实数的混合运算（2018.15，2017.15，2016.15，2014.15，2013.15）（2018安徽15题8分）15．（8分）计算：50﹣（﹣2）+8【解析】解：原式＝1+2+4＝7．（2017安徽15题8分）15．（8分）计算：|﹣2|×cos60°﹣（13）﹣1【解析】解：原式＝2×1＝﹣2．命题点7列代数式及求值（10年4考）考向1列代数式（2018.6，2013.20（1），2012.5）（2018安徽6题4分）6．（4分）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）A．b＝（1+22.1%×2）a B．b＝（1+22.1%）2a C．b＝（1+22.1%）×2a D．b＝22.1%×2a【解析】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b＝（1+22.1%）2a．故选：B．考向2代数式求值（2014.7）命题点8规律探索（必考）考向1“等式”之规律探索（2022.18，2020.17，2019.18，2018.18，2014.16）（2020安徽17题8分）17．（8分）观察以下等式：第1个等式：13×（1+2第2个等式：34×（1+2第3个等式：55×（1+2第4个等式：76×（1+2第5个等式：97×（1+2…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：118×（1+26（2）写出你猜想的第n个等式：2n−1n+2×（1+2n）＝2−【解析】解：（1）第6个等式：118×（1+2（2）猜想的第n个等式：2n−1n+2×（1+2证明：∵左边=2n−1n+2×∴等式成立．故答案为：118×（1+26）＝2−16；（2019安徽18题8分）18．（8分）观察以下等式：第1个等式：21第2个等式：23第3个等式：25第4个等式：27第5个等式：29……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：211=（2）写出你猜想的第n个等式：22n−1=1n【解析】解：（1）第6个等式为：211故答案为：211（2）2证明：∵右边=1∴等式成立，故答案为：22n−1（2018安徽18题8分）18．（8分）观察以下等式：第1个等式：11第2个等式：12第3个等式：13第4个等式：14第5个等式：15……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：16+（2）写出你猜想的第n个等式：1n+n−1n+1【解析】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：1（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：1证明：1∴等式成立考向2“图形”之规律探索（2021.18，2017.19，2016.18，2013.18）（2021安徽18题8分）18．（8分）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为2n+4（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【解析】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；故答案为：2；（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2；归纳得：4+2n（即2n+4）；∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为2n+4块；故答案为：2n+4；（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，∴用2021﹣1＝2020块，再由题意得：2n+4＝2020，解得：n＝1008，∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1008块．（2017安徽19题10分）19．（10分）【阅读理解】我们知道，1+2+3+…+n=n(n+1)2，那么12+22+32+…+n在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+⋯+n︸n个n，即n2，这样，该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝n(n+1)(2n+1)2，因此，12+22+32+…+n2＝n(n+1)(2n+1)6【解决问题】根据以上发现，计算：12+2【解析】解：【规律探究】由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n＝2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+…+n）＝（2n+1）×n(n+1)因此，12+22+32+…+n2=n(2n+1)(n+1)故答案为：2n+1，n(n+1)(2n+1)2，n(n+1)(2n+1)【解决问题】原式=1故答案为：1345．命题点9整式及其运算（必考）考向1整式的运算（2022.4，2021.3，2020.2，2019.2，2018.3，2017.2，2016.2，2015.14，2014.2，2013.4，2012.3）（2022安徽4题4分）4．（4分）下列各式中，计算结果等于a9的是（）A．a3+a6 B．a3•a6 C．a10﹣a D．a18÷a2【解答】解：A．因为a3与a6不是同类项，所以不能合并，故A选项不符合题意；B．因为a3•a6＝a3+6＝a9，所以B选项结果等于a9，故B选项符合题意；C．因为a10与a不是同类项，所以不能合并，故C选项不符合题意；D．因为a18÷a2＝a18﹣2＝a16，所以D选项结果不等于a9，故D选项不符合题意．故选：B．（2021安徽3题4分）3．（4分）计算x2•（﹣x）3的结果是（）A．x6 B．﹣x6 C．x5 D．﹣x5【解析】解：x2•（﹣x）3＝﹣x2•x3＝﹣x5．故选：D．（2020安徽2题4分）2．（4分）计算（﹣a）6÷a3的结果是（）A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2【解析】解：原式＝a6÷a3＝a3．故选：C．（2019安徽2题4分）2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4【解析】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．（2018安徽3题4分）3．（4分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3【解析】解：∵（a2）3＝a6，∴选项A不符合题意；∵a4•a2＝a6，∴选项B不符合题意；∵a6÷a3＝a3，∴选项C不符合题意；∵（ab）3＝a3b3，∴选项D符合题意．故选：D．（2017安徽2题4分）2．（4分）计算（﹣a3）2的结果是（）A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5【解析】解：原式＝a6，故选：A．考向2整式的化简与求值（2012.15）命题点10因式分解（必考）考向1因式分解的判断（2020.12，2018.5，2017.12，2016.12，2015.15，2014.4，2013.12，2012.4、6）（2020安徽12题5分）12．（5分）分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【解析】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），故答案为：a（b+1）（b﹣1）（2018安徽5题4分）5．（4分）下列分解因式正确的是（）A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y） C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）【解析】解：A、﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故此选项错误；B、x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项错误；C、x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故此选项正确；D、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项错误；故选：C．（2017安徽12题5分）12．（5分）因式分解：a2b﹣4ab+4b＝b（a﹣2）2．【解析】解：原式＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2，故答案为：b（a﹣2）2考向2因式分解的应用（2019.9）命题点11分式及其运算（10年2考）考向1分式的概念与性质考向2分式的化简及求值（2015.15，2012.6）第二章方程(组)与不等式(组)命题点1一次方程(组)及其解法（2021.7，2016.20（1），2015.21（1））（10年3考）考向1等式的性质（2021.7）（2021安徽7题4分）7．（4分）设a，b，c为互不相等的实数，且b=45a+A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）【解析】解：∵b=45a+∴5b＝4a+c，在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．故选：D．考向2一次方程的解法及解的应用考向3一次方程组的解法及解的应用命题点2一次方程(组)的实际应用（必考）考向1根据实际问题列一次方程（组）考向2一次方程的实际应用变化率问题（2020.19，2016.6）（2020安徽19题10分）19．（10分）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份axa﹣x2020年4月份1.1a1.43x1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【解析】解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．故答案为：1.04（a﹣x）．（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），解得：x=213∴1.43x1.1a答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．（2019安徽8题4分）8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年【解析】解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，故选：B．分配类问题（2018.16，2017.16）（2018安徽16题8分）16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？【解析】解：设城中有x户人家，依题意得：x+x解得x＝75．答：城中有75户人家．（2017安徽16题8分）16．（8分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．【解析】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3＝7x+4．解得x＝7，∴8x﹣3＝53（元），答：共有7人，这个物品的价格是53元．工程问题（2019.17）（2019安徽17题8分）17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【解析】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，146−267+5答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．行程问题其他问题（2014.20（1））（倍分问题、阶梯收费问题或其他收费问题、配套问题、打折销售问题等等）命题点3分式方程及其解法（10年2考）考向1解分式方程（2016.5，2014.13）考向2与分式方程解有关的计算命题点4分式方程的实际应用（2013.20）（10年1考）考向1根据实际问题列分式方程考向2分式方程的实际应用类型1购买问题（2013.20）类型2行程问题类型3工程问题类型4其他问题命题点5一元二次方程及其解法（10年3考）考向1解一元二次方程（4种解法）（2019.15，2016.16，2012.16）（2019安徽15题8分）15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．【解析】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．考向2与一元二次方程解有关的计算命题点6一元二次方程根的判别式（2020.5，2018.7）（2020安徽5题4分）5．（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0【解析】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；B、Δ＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．故选：A．（2018安徽7题4分）7．（4分）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1【解析】解：原方程可变形为x2+（a+1）x＝0．∵该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（a+1）2﹣4×1×0＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．命题点7一元二次方程的实际应用（10年3考）考向1根据实际问题列一元二次方程（2017.8，2015.6，2013.7）考向2一元二次方程的实际应用类型1变化率问题（2017安徽8题4分）8．（4分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝16【解析】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；∵两次降价后的价格为16元，∴25（1﹣x）2＝16．故选：D．类型2几何图形面积问题类型3利润问题类型4其他命题点8一元一次不等式（组）的解法及其解集表示（必考）考向1不等式的性质（2019.9）（2019安徽9题4分）9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0 C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0【解析】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b=a+c∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣ac=(a+c2)即b＜0，b2﹣ac≥0，故选：D．考向2一元一次不等式（组）的解法（2021.15，2020.15，2018.11，2017.5，2016.11，2015.16，2013.5）（2021安徽15题8分）15．（8分）解不等式：x−13【解析】解：x−13去分母，得x﹣1﹣3＞0，移项及合并同类项，得x＞4．（2020安徽15题8分）15．（8分）解不等式：2x−12【解析】解：去分母，得：2x﹣1＞2，移项，得：2x＞2+1，合并，得：2x＞3，系数化为1，得：x＞3（2018安徽11题5分）11．（5分）不等式x−82＞1的解集是x【解析】解：去分母，得：x﹣8＞2，移项，得：x＞2+8，合并同类项，得：x＞10，故答案为：x＞10．（2017安徽5题4分）5．（4分）不等式4﹣2x＞0的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解析】解：移项，得：﹣2x＞﹣4，系数化为1，得：x＜2，故选：D．考向3含参不等式（组）命题点9一元一次不等式的实际应用（2014.20（2）,2012.23(2)）（10年2考）考向1根据实际问题列一元一次不等式考向2一元一次不等式的实际应用第三章函数命题点1平面直角坐标系（必考：网格作图）考向1点的坐标特征考向2点的平移与对称考向3建系找点考向4图形与坐标命题点2函数及其函数图象的分析判断（必考）考向1函数基础知识（2022.5）5．（4分）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：∵30分钟甲比乙步行的路程多，50分钟丁比丙步行的路程多，∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，∵步行3千米时，甲比丁用的时间少，∴甲的平均速度＞丁的平均速度，∴走的最快的是甲，故选：A．考向2根据函数性质判断函数图象（2022.9双一次函数，2017.9，2015.10）考向3分析实际问题判断函数图象（2016.9）考向4分析几何动态问题判断函数图象(2020.10，2018.10,2014.9)（2020安徽10题4分）10．（4分）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A． B． C． D．【解析】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=32EJ=∴y=12EJ•GH=3当x＝2时，y=3如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y=12FJ•GH=34（4﹣故选：A．（2018安徽10题4分）10．（4分）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1．正方形ABCD的边长为2，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．【解析】解：当0≤x≤1时，y＝22x，当1＜x≤2时，y＝22，当2＜x≤3时，y＝﹣22x+62，∴函数图象是A，故选：A．考向5分析函数图象判断结论正误（2013.9）命题点3一次函数的图象与性质（2021.19，2020.7，2019.14、22，2018.13，2017.9，2016.20，2015.10、21）（必考）考向1一次函数图象上点的坐标特征（2020.7）考向2一次函数图象与象限问题考向3增减性与系数的关系（2020安徽7题4分）7．（4分）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）【解析】解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝2，解得：k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，解得：k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，解得：k＝0，选项C不符合题意；D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，解得：k=1∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．故选：B．考向4综合性问题（前3个考向综合考查）命题点4一次函数解析式的确定（2019.22，2018.13，2016.20，2015.21）(均在大题第一问用待定系数法考查)（10年4考）考向1待定系数法确定解析式考向2一次函数图象的平移命题点5一次函数图象与性质的应用（必考）考向1一次函数与方程、不等式的关系考向2直线的交点问题考向3综合性问题（2015.21（2））命题点6一次函数的实际应用（10年5考）考向1行程问题考向2销售问题（费用，利润）（2018.22，2017.22，2013.22，2014.20）考向3方案问题考向4其他问题（2021.6）（2021安徽6题4分）6．（4分）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（）A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm【解析】解：∵鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，∴设函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），由题意知，x＝22时，y＝16，x＝44时，y＝27，∴16=22k+b27=44k+b解得：k=1∴函数解析式为：y=12当x＝38时，y=12×故选：B．命题点7反比例函数的图象与性质（2019.5，2018.13，2017.9，2016.20，2015.10、21，2013.9）（必考）考向1图象上点的坐标特征（2019安徽5题4分）5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=kx的图象上，则实数A．3 B．13 C．﹣3 D．【解析】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y=kx得故选：A．考向2图象与象限关系考向3增减性与大小比较考向4综合性问题（前3个考向综合考查）命题点8反比例函数解析式的确定及k的几何意义（2016.20,2015.21)（10年2考）考向1待定系数法求解析式考向2利用k的几何意义求解析式考向3与k的几何意义有关的计算命题点9一次函数与反比例函数综合题(2021.19，2020.13，2018.13,2016.20,2015.21)（10年5考）类型1一系双图类型2交点坐标的特征及确定（2018安徽13题5分）13．（5分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=6x的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是y=3【解析】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y=6x的图象有一个交点A（2，∴2m＝6，解得：m＝3，故A（2，3），则3＝2k，解得：k=3故正比例函数解析式为：y=32∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B，∴B（2，0），∴设平移后的解析式为：y=32x+则0＝3+b，解得：b＝﹣3，故直线l对应的函数表达式是：y=32故答案为：y=32类型3不等式类计算问题（2021安徽19题10分）19．（10分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=6x的图象都经过点A（（1）求k，m的值；（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．【解析】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．∴m＝3．∴A（3，2）将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．∴k=2（2）如图：∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0．类型4线段类计算问题类型5面积类计算问题（2020安徽13题5分）13．（5分）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为【解析】解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），则△OAB的面积=12OA•OB=12k2，而矩形则12k2＝k，解得：k故答案为2．命题点10反比例函数与几何图形性质综合题（分而不标：填空）类型1与直角（含等腰直角）三角形结合类型2与矩形结合类型3与正方形结合类型4与菱形结合命题点11反比例函数的实际应用(2013.22,2012.21)（10年2考）命题点12二次函数的图象与性质(2017.9,2015.10)（必考）类型1顶点式y=a(x-h)2+k，y=a(x+h)2+k，y=a(x-h)2-k，y=a(x+h)2-k类型2一般式类型3交点式类型4无解析式型（图象、表格、点）命题点13二次函数图象与a、b、c的关系考向1一系多图（2017安徽9题4分）9．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx+A． B． C． D．【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y=b∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c＝b，∴a+c＝0，∴ac＜0，∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第一、三、四象限．故选：B．考向2图象与a、b、c的关系命题点14二次函数解析式的确定及图象的平移(2021.14，2019.22(1),2016.22(1),2014.22,2013.16)（10年5考）考向1图象的平移（2021.14）（2021安徽14题5分）14．（5分）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝0；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是2．【解析】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．故答案为：0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴y＝（x+a+12）2−14（∴抛物线顶点的纵坐标n=−14（a∵−1∴n的最大值为2．故答案为：2．考向2二次函数解析式的确定（2013.16)命题点15二次函数图象与性质的应用（必考）考向1二次函数与方程、不等式的关系考向2抛物线与图形的交点（公共点）问题（2019.14）（2019安徽14题5分）14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞1．【解析】解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，令y＝x﹣a+1＜0，∴x＜﹣1+a，令y＝x2﹣2ax＜0，当a＞0时，0＜x＜2a；当a＜0时，2a＜x＜0；①当a＞0时，x＜﹣1+a与0＜x＜2a有解，则a＞1，②当a＜0时，x＜﹣1+a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；∴a＜﹣1；故答案为a＜﹣1或a＞1；考向3综合性问题（2021.14、22，2020.22，2019.22，2016.22，2014.22）设问角度1线段类问题（2021.22，2019.22）（2021安徽22题12分）22．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【解析】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x=−∴a＝1．（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，∴y1＞y2．（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+m，m），B（1−m，∴AB＝2m，联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1+m3，m），D（1−m∴CD＝2×m∴ABCD设问角度2图象变换类问题（2020.22）设问角度3面积类问题（2016.22）设问角度4纯代数类问题（2014.22）综合应用集训命题点17二次函数的实际应用（10年6考）考向1增长率型问题(2014.12)考向2抛物线、类抛物线型问题(2012.23)考向3利润问题(2018.22,2017.22,2013.22)（2018安徽22题12分）22．（12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？【解析】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；（2）根据题意，得：w＝w1+w2＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950＝﹣2x2+41x+8950＝﹣2（x−414）2∵﹣2＜0，且x为整数，∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为9160，答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是9160元．（2017安徽22题12分）22．（12分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），50k+b=10060k+b=80得k=−2b=200即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+200；（2）由题意可得，W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+280x﹣8000；（3）∵W＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800，答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．考向4面积问题(2015.22)考向5其他类型第四章三角形命题点1线段与直线命题点2角及角平分线（2022.6）6．（4分）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣α D．270°﹣α【解答】解：由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，故选：C．命题点3相交线与平行线（2021.5，2017.6，2013.6）（必考）考向1相交线考向2平行线（2021.5，2017.6，2013.6）（2017安徽6题4分）6．（4分）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【解析】解：如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°，故选：C．命题点4三角形的基本性质（必考）考向1三角形的三边关系考向2三角形的内角和及内外角关系（2021安徽5题4分）5．（4分）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（）A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°【解析】解：如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，∠F＝90°﹣∠E＝45°，∵BC∥EF，∴∠MDB＝∠F＝45°，在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．故选：C．法二、∵BC∥EF，∴∠EAC＝∠C＝30°，则∠MAE＝120°，在四边形AMDE中，∠AMD＝360°﹣120°﹣90°﹣45°＝105，∴∠BMD＝180﹣∠AMD＝75°．故选：C．命题点5三角形中的重要线段（必考）命题点6等腰三角形的性质与判定（2019.23，2018.23，2015.23，2014.23，2013.9、10、23）考向1等腰三角形的性质考法一求角度考法二求线段长、面积考向2等边三角形的性质与判定（2017.13，2016.23）考向3等腰三角形的判定命题点7直角三角形的性质与判定（2021.10，2020.8，2019.7、23，2018.23，2017.14，2016.10、23，2015.23，2014.8，2013.9、10，2012.10）（必考）考向1直角三角形的性质（2021.10）类型1斜边上的中线性质类型2勾股定理及其应用考向2直角三角形的判定考向3分类讨论（2012.10）高频点专练一看到中点，咋思考角度1看到“中点＋中点”，想三角形中位线定理角度2看到“中点＋直角”，想直角三角形斜边中线等于斜边的一半角度3看到“中点＋等腰”，想三线合一角度4看到“中点＋垂直”，想垂直平分线综合集训高频点专练二看到角平分线，咋思考角度1看到角平分线，作垂线角度2看到角平分线，巧截取角度3看到角平分线，构等腰角度4看到角平分线，作平行综合集训命题点8全等三角形的性质与判定（2021.23（1），2020.20，2019.20（1），2018.23（3），2017.23（1），2016.23（1），2015.9、23(1),2014.14、23，2013.13、23（1），2012.18（2））（必考）考向1全等三角形的性质考向2全等三角形的判定模型一翻折轴对称模型（含对称模型、角平分线模型）模型二平移模型模型三旋转模型(含共点模型、不共点模型、半角模型)模型四一线三垂直模型考向3综合题（2014.23）高频点专练三证明全等常用的辅助线作法模型一利用中点巧构全等模型二利用对角互补巧构全等模型三角含半角模型模型四根据线段数量关系（，倍）构造直角三角形综合集训命题点9相似三角形的性质与判定（2021.23（2）（3），2020.8，2019.7、23，2018.14、23（3），2017.23，2016.8、14、23，2015.9、23，2014.9、17（2）、19，2013.13、23，2012.22）（必考）考向1相似三角形的判定考向2相似三角形的性质（2018安徽14题5分）14．（5分）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为65或3【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD=A当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴BPBD=PE解得，PE=6当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′=12故答案为：65考向3综合题（2020.8，2019.7、23，2016.8，2012.22）（2019安徽7题4分）7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【解析】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴AEAD∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴AEAD∴EGDH∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴DHAC即x6解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．（2019安徽23题14分）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴PA在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB∴PB=∴PA＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴PEDP=AP∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴ℎ1∴ℎ∴ℎ1即：h12＝h2•h3．高频点专练四与相似三角形有关的模型常考模型归纳模型一平行线型模型二共角型模型三直角三角形斜边高线型模型四一线三等角型模型五旋转相似型综合集训与全等、相似有关的综合集训命题点10解直角三角形及其应用（必考）（包含近似数、精确度）考向1解直角三角形 （2020安徽8题4分）8．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA=45，则A．94 B．125 C．15【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA=4∴AB=AC∴BC=A∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A=BC∴BD=3×5故选：C．考向2解直角三角形的应用考法一仰角俯角问题（2020.18，2018.19，2015.18）（2020安徽18题8分）18．（8分）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）【解析】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD=AD∴tan42.0°=AD∴AD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD=CD∴tan36.9°=CD∴CD≈0.75BD，∵AC＝AD﹣CD，∴15＝0.15BD，∴BD＝100（米），∴CD＝0.75BD＝75（米），答：山高CD为75米．（2018安徽19题10分）19．（10分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）【解析】解：由题意，可得∠FED＝45°．在直角△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠EFD＝45°，∴DE＝DF＝1.8米，EF=2DE=∵∠AEB＝∠FED＝45°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠FED＝90°．在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝39.3°+45°＝84.3°，∴AE＝EF•tan∠AFE≈925在直角△ABE中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°，∴AB＝AE•sin∠AEB≈18.0362×故旗杆AB的高度约为18米．考法二坡度坡角问题（2013.19）考法三方向角问题考法四实物模型问题（2021.17）（2021安徽17题8分）17．（8分）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．【解析】解：如图，∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，∴sin∠EBA=AEAB≈0.80，cos∠∴AE＝8cm，BE＝6cm，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，∴sin∠BCF=BFBC≈0.80，cos∠∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm，∴EF＝6+4.8＝10.8cm，∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2），S△ABE=12⋅AE⋅BE=1S△BCF=12•BF•CF=12∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）．考法五其他问题（2019.19，2017.17，2016.19，2014.18，2012.19）（2017安徽17题8分）17．（8分）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB＝600m，∠ABC＝75°，∴BC＝AB•cos75°≈600×0.26＝156（m），在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，∴DF＝BD•sin45°＝600×22≈∵四边形BCEF是矩形，∴EF＝BC＝156（m），∴DE＝DF+EF＝423+156＝579（m）．答：DE的长为579m．第五章四边形命题点1多边形、正多边形的性质与计算（2015.8，2014.23，2013.18，2012.7）（10年4考）考向1多边形的性质与计算考向2正多边形的性质与计算命题点2平行四边形的性质与判定（2020.14，2019.20，2018.9，2017.14、20，2014.14，2013.13，2012.13）（必考）考向1平行四边形的性质（2019安徽20题10分）20．（10分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵∠CBE=∠DAFBC=AD∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）解：∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED=12S▱由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED=12S▱∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴ST（2017安徽14题5分）14．（5分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为40或8033【解析】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，∴AB＝103，∠ABC＝60°，∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD=12∠ABC＝30°，BE＝AB∴DE＝10，BD＝20，如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF＝BF=20∴平行四边形的周长=80如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DE＝EG＝10，∴平行四边形的周长＝40，综上所述：平行四边形的周长为40或803故答案为：40或803考向2平行四边形的判定（2018安徽9题4分）9．（4分）▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF【解析】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．命题点3矩形的性质与判定（2018.14，2017.10，2016.14，2015.9，2014.9，2013.9、14，2012.14）（必考）考向1矩形的性质考向2矩形的判定命题点4菱形的性质与判定（2021.8，2019.16（2），2018.12，2015.9，2014.23(3),2012.13）（10年6考）考向1菱形的性质（2021安徽8题4分）8．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+3 B．2+23 C．2+3 【解析】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA=12AB＝1，OB=3∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，∠BEO=∠BFO∠EBO=∠FBO∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE=3同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH=32，EH＝FG∴四边形EFGH的周长＝3+3故选：A．考向2菱形的判定命题点5正方形的性质与判定（2019.10,2018.10,2014.10,2013.14,2012.7）（必考）考向1正方形的性质考向2正方形的判定命题点6特殊平行四边形之间的关系及中点四边形第六章圆命题点1圆的基本概念与性质（必考）命题点2垂径定理及其推论（2021.20，2019.19,2018.20,2017.20(2),2015.20(2),2014.19,2013.10）（必考）考向1垂径定理的推论（2021安徽20题10分）20．（10分）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【解析】解：（1）连接OD，如图：∵M是CD的中点，CD＝12，∴DM=12CD＝6，OM⊥CD，∠Rt△OMD中，OD=OM2∴OD=32+62=3（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：∵AB⊥CD，CE＝EF，∴AB是CF的垂直平分线，∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，∵CE＝EF，∴∠FAE＝∠CAE，∵BC=∴∠CAE＝∠CDB，∴∠FAE＝∠CDB，Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，∴∠FAE+∠B＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD．（2017安徽20题10分）20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE．【解析】证明：（1）由圆周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，∵CE∥AD，∴∠D+∠ECD＝180°，∴∠E+∠ECD＝180°，∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形；（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE．考向2垂径定理的应用（2019.19）（2019安徽19题10分）19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【解析】解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD=12在Rt△AOD中，∠OAD＝41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OAtan41.3°=ODAD，即OD＝则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．命题点3圆周角定理及其推论（必考）（2021.13，2019.13,2018.20,2017.20,2016.10,2015.12,2014.19,2013.10,2012.13）（2021安徽13题5分）13．（5分）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝2．【解析】解：如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2OA=故答案为：2．（2019安徽13题5分）13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为2．【解析】解：连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∵⊙O的半径为2，∴BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD=22BC故答案为：2．命题点4与圆有关的位置关系（10年6考）考向1点、直线与圆的位置关系考向2切线的性质与判定（2020.20，2018.12，2016.13，2012.9）（2020安徽20题10分）20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【解析】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，BC=ADBA=AB∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．（2018安徽12题5分）12．（5分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°．【解析】解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA＝BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=12∠同理，∠AOE＝30°，∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝60°，故答案为：60．考向3三角形的内切圆与内心考向4三角形的外接圆与外心（2016.10，2013.10）命题点5与圆有关的计算（10年5考）考向1与弧长有关的计算（2017.13，2016.13，2015.12）（2017安徽13题5分）13．（5分）如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧DE的长为π．【解析】解：连接OD、OE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵OA＝OD，OB＝OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD＝∠BOE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OA=12∴DE的长=60π×3180故答案为：π．考向2与扇形面积有关的计算（含阴影面积的计算2021.17：不规则四边形）考向3圆与正多边形的计算考向4综合计算题（含最值问题）（2015.20）高频点专练五辅助圆问题模型一作辅助圆问题模型二点圆最值模型三线圆最值综合集训命题点6定义、命题、定理、证明（2020.9，2019.12）（10年2考）（2020安徽9题4分）9．（4分）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC【解析】解：A、如图，若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；B、若四边形OABC是平行四边形，则AB＝OC，OA＝BC，∵OA＝OB＝OC，∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，∴∠ABO＝∠OBC＝60°，∴∠ABC＝120°，是真命题；C、如图，过O作OQ⊥AC于Q，交⊙O于P，连接PA，PC，∵∠ABC＝120°，∴∠APC＝120°，∠AOC＝360°﹣2×120°＝120°，∵OA＝OC，∴∠AOC＝∠OCA＝30°，在Rt△OQA中，OQ=12∴OQ=12∴AC平分OP，∴只有当OB⊥AC时，弦AC平分半径OB，∴弦AC不一定平分半径OB，故C项是假命题；若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；D、如图，若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；故选：B．（2019安徽12题5分）12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【解析】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．第七章图形的变化命题点1尺规作图（2018.20）（10年1考）（2018安徽20题10分）20．（10分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．【解析】解：（1）如图，AE为所作；（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴BE=∴OE⊥BC，∴EF