线性代数试题及答案共两套

设向量组ABdＡ．R(B)R( Ｂ．R(B)R(Ｃ．R(B)R( Ｄ．R(B)R(设n阶矩阵A的行列式等于D， 等 。

kn

kn1

设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的 ABAC

B

AB0,A0B

(

AT

(AB)(AB)A212222222212222222222232222222222nAA*AA1(3A)12A*2

1A 11 0 x

讨论为何值时，非齐次线性方程组x1x2x3xxx ①有唯一解 2、、2、、1已知向量组1

11

、3

134

1

1 求矩阵A

00210 210nrnr设AXbb01,2

nr为对应齐次线性方程组AX0的基础解系，证明 一、填空题（202分

1~15；2、3；3、CA；4RAR(A,bn；5、2；6、33

1 1二、选择题（1021、D；2、A；3、D；4、C；5、122222222200122222222200100000n00000n1 12222012222000100000n00000n

rir2(i3,4,,

6

31(2)12(n3)

8

（1）

11

11 1

1

2 2 0 526204022 26204022

0（2）A2B

1

8 1

11

设A为三阶矩阵，A*为AA1(3A)114214

A*A＝AE1E，故A2AA*

An1

3 A1

1A* 5

2*

A* 8231 23

1

r2r1

(A,E) 0

r

1 1 0---3 1 1 1 1 1 0r1(1)1 1 0 rr

0r2(1)

1 1 0---6 2

1

(1)

1 1 0

A A

0-------8 1

A求得结果也正确

1rr

5、解；(A,b)

321 r 21

1

322r32

2

r

1

1

13 1 11 11

1

3（1）RA)RAb)

5RA)RAb)RA)RA

7--------9分（ 6、解：(A,b) 1 1

55

1 0000

1 1

5 300 x12x32x4

1

1xxx

11，2

0 6

0

15 x12x32x4 xx

x3x40，得一特解：

---7 0005 1 1010k010

k

k

k

k

R---9分（1

2 0

1 0

2 11 7AE

(2)(

从而2

(4分

当2时由(A2E)X0得基础解系(0,0,1)T即对应于2的全部特征向量为k(k

1 1AEX0得基础解系(12,1)T1k 2(k2四、证明题（10分证：由

nrAX0的基础解系，则

nr线性无关。(3分nrnr

nr线性表示，即：11 因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故AX0的解。这与已知条件AXnr 。(9分 nr

线性无关。(10分一、填空题（202排 函数f(x)

中x3的系数 设三阶方阵A的行列式A3,则(A*)1 4．n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件 2设向量121)T

正交，则 三阶方阵A的特征值为1，1，2，则A 设

1，则A 3 A为86的矩阵，已知它的秩为4A 设A为n阶方阵，且A 则(1A)1A* 3 0 已知A 2相似于B ，则x

，y

y 二、选择题（102设n阶矩阵A的行列式等于D，则－5A等 (A)(5)n (C)5 n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件 A有nA有nAAA3．A为mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件 (A)R(A,b) (B)R(A)(C)R(A)R(A,b) (D)R(A)R(A,b)设向量组A能由向量组B线性表示，则 (A)．R(B)R( (B)．R(B)R((C)．R(B)R( (D)．R(B)R(向量组 ,s线性相关且秩为r， r

r

r

s三、计算题（6010122222222212222222222232222222222n 0 已知矩阵方程AXAX，求矩阵X,其中A 3 设nAA22A4E0A3E可逆，并求A3E)1x1x2x32x42xx3x8x 3x2xx

x2x3x 124 112

3

(

,x2,

)2x 1fx1x2x31四、证明题（1010设b1a1

b2a1

,bra1a2 ar,a1a2,ar明向量组b1,b2,br一、填空题（202分

1 （n

10、x0y 6 3 二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 2. 5.12222222122222222200100000n00000n1 12222012222000100000n00000n

rir2(i3,4,,

7

41(2)12(n3)AXAX

0 A AXAXXAE1

rr010

6 X

A22A4E0A3EAEE

5即A3EAE)

------7分故A3E可逆且(A3E)1(A 10x1x2x32x42xx3x8x 3x2x2x

x2x3x 3

3 8

r 解：(Ab)

2 0

(2分 1

x2x r10r10 2

(4分)

x2x4

(6分 xx 0

x1 2 1x 1 0x

2c

c

(8分

1 23 4

01

(10分1 12344 1 31234 11

011234

1 0

1,2(4

3x11x22

4y11x

y 解得 2

(8分)则有 41

y2

2 6 (x,x,x)2x25x

f的矩阵A

(2分)A的特征多项式

()(1)2

1的两个正交的特征向量p1

p 10

p

2042