平面直角坐标系及一次函数

------------------------------------------------------------------------平面直角坐标系及一次函数平面直角坐标系和一次函数对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。知识梳理知识点1：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a的不等式组，求出a的取值范围．依题意P点在第四象限，则有，解得－1＜＜．答案：的取值范围是－1＜＜．例2：函数y=中，自变量x的取值范围是．解体思路：要使代数式有意义，必须有，解得x≥－EQ\F(1,2)且x≠15．答案：x≥－EQ\F(1,2)且x≠15．例3：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24kmA.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24km，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6km/h．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。答案：选D．练习1．在平面直角坐标系中，点P（－1，2）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限练习2．下列图形不能体现y是x的函数关系的是（）练习3．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围为（）A、－3＜m＜1B、m＞1C、m＜－3D、m＞－3练习4．2008年奥运火炬于6月3日至5日在我省传递（传递路线为：岳阳—汩罗—长沙—湘潭—韶山）．如图，学生小华在地图上设定汩罗市位置点的坐标为（0，－2），长沙市位置点的坐标为（0，－4），请帮助小华确定韶山市位置点的坐标为．答案：练习1．B2．C3．A4．（－1，－5）最新考题考题1：（2009湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限考题2：（2009仙桃）如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（）．A．(m＋2，n＋1)B．(m－2，n－1)C．(m－2，n＋1)D．(m＋2，n－1)考题3：（2009年莆田）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（）QQPRMN（图1）（图2）49yxO A．处 B．处 C．处 D．处答案：1.D2.D3.C知识点2：一次函数的概念、图象和性质例1：一次函数y=3x－4的图象不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解题思路：由于3＞0，－4＜0，一次函数y=3x－4的图象经过第一、三、四象限，所以图象不经过第二象限．故选B．例2：已知一次函数的图象过点（0，3）与（2，1），则这个一次函数y随x的增大而．解题思路：由于图象经过的两个点（0，3）与（2，1），所以在平面直角坐标系中过这两个点作直线（如图），就得到该函数的图象．观察图象，直线从左向右呈“下降”趋势，则y随x的增大而减小．例3：已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y=mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．解题思路：在平面直角坐标系中描点，可知四边形ABCD是矩形．由于矩形是中心对称图形，所以将它面积二等分的直线一定经过矩形的中心点．找出矩形中心点的坐标，代入直线的关系式可以求出m的值．解：根据题意，在平面直角坐标系中描出各点，可知四边形ABCD是矩形．由图形知，矩形的中心点E（5，3）．由题意知，直线y=mx－3m＋2必过中心点E，所以有3=m×5－3m＋2，解得m=．练习1．若一次函数y=x+（2m－2）的图象经过原点，则m的值为______．练习2．在计算器上，按照下面的程序进行操作：下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果x－2－10223y－5－214710上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是．练习3．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中，用信号枪沿直线y=－2x＋b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为．答案：1．12．3．最新考题考题1：(2009年陕西省)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（）A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2)考题2：（2009年重庆市江津区）已知一次函数的大致图像为（）ABCD考题3：（2009年衢州）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y=-x图象上的两点，则下列判断正确的是（）A．y1>y2 B．y1<y2 C．当x1<x2时，y1>y2 D．当x1<x2时，y1<y2 答案：1.D2.C3.C解：（1）符合条件的点D有3个（如图），坐标分别是：D1（2，1），D2（－2，1），D3（0，－1）．（2）若选择点D1（2，1）时，设直线BD1的的关系式为y=kx＋b，由题意得，解得．∴直线BD1的的关系式为y=x＋．若选择点D2（－2，1），同上可得直线BD2的的关系式为y=－x－1．若选择点D3（0，－1）时，同上可得直线BD3的的关系式为y=－x－1．例2：在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．（1）s与t之间的函数关系式是：；（2）与图③相对应的P点的运动路径是：；P点出发秒首次到达点B；（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．解题思路：（1）由图②知，s与t是正比例函数关系，用“待定系数法”可求的关系式；（2）结合题意和图③的函数图象，P点的运动路径是：M→D→A→N；从（1）中知点P的运动速度，可以求出点P运动到点B需要的时间；（3）对3≤s≤8的范围，又需要分三个时间段分别求解．解：(1)设S=kt，代入（2，1），求得k=．所以S=(t≥0)．(2)图③中，P点的运动路径是：M→D→A→N．由（1）知，点P运动的速度是个单位/秒，所以P点从出发到首次达点B需要5÷=10秒．(3)当3≤s＜5时，，点P从A到B运动，此时y=4－s；当5≤s＜7时，点P从B到C运动，此时y=－1；当7≤s≤8时，点P从C到M运动，此时y=s－8．补全图象如图．练习练习1．在图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的的关系式是．练习2．⑴点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是，直线y=2x＋1向下平移2个单位后的的关系式是；⑵直线y=2x＋1向右平移2个单位后的的关系式是．练习3．如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图象，由图象解答下列问题：（1）此蜡烛燃烧1小时后，高度为cm；经过小时燃烧完毕；（2）求这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的的关系式．答案：练习1．y=2x＋12．解：⑴（0，－1），y=2x－1；⑵y=2x－3．3．解：（1）7，；（2）y=－8x＋15(0≤x≤)．最新考题考题1：（2009年湘西自治州）一次函数的图像过坐标原点，则b的值为．考题2：（2009年桂林市、百色市）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为．或OyxOyx2-1考题3：（2009年枣庄市）如图，把直线向上平移后得到直线AB，直线AB经过点，且，则直线AB的解析式是（）A．BABAB．C．D．答案：1.02.或3.D知识点4：一次函数的应用例1：已知直线l1：y1=－4x＋5和直线l2：y2=x－4．（1）求两条直线l1和l2的交点坐标，并判断交点落在哪一个象限内；（2）在同一个坐标系内画出两条直线的大致位置，然后利用图象求出不等式－4x＋5＞x－4的解集．解题思路：（1）只需要建立关于两个函数关系式的方程组，其解就是交点坐标；（2）作出图象，找出直线l1高于l2的部分，其自变量的取值范围就是不等式的解集．解：（1）解方程组，得．∴直线l1和l2的交点是（2，－3），在第四象限．（2）直线l1高于l2的部分在交点（2，－3）的左侧，其自变量取值范围是x＜2．所以，不等式－4x＋5＞x－4的解集为x＜2．例2：某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200170乙店160150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？解题思路：（1）利用“总利润=甲、乙店销售各型商品的利润和”建立函数关系式，然后建立关于x的不等式组，求出x的取值范围；（2）根据“总利润不低于17560元”建立不等式，结合（1）确定出x的正整数解，每一个正整数解对应不同的分配方案；（3）建立一个含有常数a的关于W、x的函数关系式，然后对a的不同取值范围分别讨论，确定出总利润最大的分配方案．解：（1）W=200x＋170（70－x）＋160（40－x）＋150（x－10）=20x＋16800．由题意得，解得10≤x≤40．（2）由w=20x＋16800≥17560，解得x≥38．∴38≤x≤40，∴x=38，39，40，∴有三种不同的分配方案：①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件．②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件．③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．（3）W=（200－a）x＋170（70－x）＋160（40－x）＋150（x－10）=（20－a）x＋16800．①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大．②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样．③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．练习1．一次函数y=kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2练习2．如图，直线l1和l2的交点坐标为（）A．(4，－2)B．(2，－4)C．(－4，2)D．(3，－1)练习3．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（）A．若通话时间少于120分，则方案比方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则方案比方案便宜12元C．若通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分答案：练习1．C2．A3．D最新考题考题1：(2009年上海市)已知函数，那么．考题2：(2009成都)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）A.20kgB.25kgC.28kgD.考题3：（2009年宁波市）如图，点A.B.C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）x12OyABx12OyABC答案：1.2.B3.B过关检测一、选择题1．直角坐标系中，点A（－3，6）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）A．S是变量B．t是变量C．v是变量D．S是常量3．下面所给点在直线y=－2x上的是（）A．（2，－1） B．（－1，2） C．（1，2） D．（2，1）4．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥－5B．x≠0C．x≥－5且x≠0D．x≥－5或x≠05．一次函数y=－x＋2的大致图象是（）6．均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度随时间变化的函数图象大致是（）7．直线y=kx＋b经过点A（0，3），B（－2，0），则k的值为（）A． B．C． D．38．如图，直线y1=与y2=-x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（）A．x＞3B．x＜3C租碟数（张）卡中余额（元）130－0.8230－1.6330－2.4…………9．丽丽买了一张30元的租碟卡，每租一张碟后剩下的余额如表表示，若丽丽租碟25张，则卡中还剩下（）Ａ．5元 Ｂ．10元 Ｃ．20元 Ｄ．14元10．如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（7，4）D．（7，3）二、填空题11．如图3，已知棋子“卒”的坐标为(－2，3)，棋子“马”的坐标为(1，3)，则棋子“炮”的坐标为．12．若一次函数y=x+（2m－2）的图象经过原点，则m的值为______．13．如图4，当输入数x=2时，输出的数y= ．14．若点P（a，4－a）是第二象限的点，则a的取值范围是．15．某一次函数的图象经过点（0，－2），且函数值随自变量值增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：．16．HJ牌小轿车的油箱可装汽油30L．原来装有汽油10L，现在再加汽油xL．如果每升汽油2.95元，油箱内汽油的总价y(元)与x（L）之间的关系式是______．三、解答题17.一个菱形的边长为5，一条对角线为6．请以菱形的较长对角线所在的直线为x轴，另一条对角线所在的直线为y轴建立直角坐标系，然后写出菱形各顶点的坐标．18.已知正比例函数y=kx、一次函数y=2x+b的图象都经过点A（－2，4）．（1）求k和b的值；（2）判断点B（－，2），C（2，12）分别在哪个函数的图象上？（3）x在什么范围取值时kx＞2x+b？19.定义为一次函数的特征数．（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；（2）设点A为x轴上的一点，B点的坐标为（0，2），且的面积为4，O为原点，求过A，B两点的一次函数的特征数．20.赵明暑假到光雾山旅游，从地理课上知道山区气温会随着海拔高度的增加而下降，沿途他利用随身所带的登山表，测得以下数据：海拔高度x（m）400500600700…气温y（℃）3231.430.830.2…（1）现以海拔高度为x轴，气温为y轴建立平面直角坐标系（如图8），根据上表中提供的数据描出各点．（2）已知y与x之间是一次函数关系，求出这个关系式．（3）若赵明到达光雾山山巅时，测得当时气温为19.4℃，请求出这里的海拔高度．21.如图9，是边长为4的正方形边的中点，动点自点起，由匀速运动，直线扫过正方形所形成的面积为，点运动的路程为，请解答下列问题：（1）当时，求的值；（2）就下列各种情况，求与之间的函数关系式；