第十一讲向量的线性运算

知识框架aa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＝(λx，λy)，|a|＝ a∥b，那x1y2－x2y1＝0；反过来，如x1y2－x2y1＝0，那例题精讲1、设a是已知的平面向量，向量abc在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题①给定向量b,总存在向量c,使abc②给定向量bc,总存在实数和,使abc③给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc

=2，存在单位向量b、c和正实数，,使abc，则33

a＝(－13)，b＝(1，0) ((22 ＝)＝)O53A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当

1≠2 例4、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点，且AC＝mAE＋nAF，其中m，n∈R，则m＋n＝ 1 →1 n 5、如下图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与C两边分别交于xyCx2y 221 1 1 解析：AG ADABACABACAMAN,又因为M,G,N共线，所以有 1 3 3 32y3x x0y0x2yx2y11122yx2y3x 3

1223

2y

→ 解析：由已知条件得＝－AMBCDDBC的中点.BMACECMABFE、FAC 2 1 M为△ABC的重心，∴AM＝

例7若点O是△ABC所在平面内的一点且满足→－→＝→＋→ 8abcab1,c3abc 情况为两两夹角21为突破口，由平行四边形法则作图得到abab夹角相等，

aba1（底角为60的菱形性质），且与c反向，进而由图得到abc9、在ABCB

6,AB33,BC6DABO是ABC3OA2OBOC0DO

为3OA2OBOC3OAOBOB OA 3 且OE∥BC，所以由平行四边形性质可得：OD OE CB10AB

1APABAB.1 .

2

1时，可知60,1202OA1

7,22（一般化）B11,0)B2cossinA(x,y)；AB1AB2得到x1,yxcos,ysin0，化简得：x2y2xxcosysincos(*)；102x22x2xcos2cosy22ysin1 将(*)式代入到上式中，得到02x2y217x2y22 因此，OA ,2]23（更一般化）B1cossinB2cossinA(xy；AB1AB2得到xcosysinxcosysin0，化简得：x2y2xcoscosysinsincos；APAB1AB2Pcoscosxsinsiny102[1xcoscosysinsincosx2y211 1 即有02xy ，得OA ,2] 11P是ABCAP2BP3CP0QCPAB的交点，令CPp，用p表示CQ.解：APAQQPBPBQQP(AQQP)2(BQQP)3CP0.AQ3QP2BQ3CP0又AQBCPQ三点共线，AQλBQCPμQPλBQ