专题9双曲线教学案教师版纸间书屋

专题 双曲知识点一双曲线的定P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2ca，ca＜cPa＝cPa＞cP知识点 双曲线的标准方程和几何性 a2－bx≥ay≤－ay＝±ay＝±ba，b，c线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴考点 双曲线的定义及其应1】（2019届模拟

|PF

|PF(1)F1，F2x－24＝1的两个焦点，P

1

223 23 (2)设双曲线42＝1的左、右焦点分别为F1，F2F1lA，B则|BF2|＋|AF2|的最小值 【答案】 【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知4|PF2|－|PF2|＝1|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2.所以 PF1F2＝1|PF1|·|PF2|＝1×6×8 (2)由双曲线的标准方程42＝1得a＝2，由双曲线的定义可得4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|lF1x最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝a法，建立为|PF1|·|PF2|的关系．在运用双曲线的定题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲

1】（2019届模拟）椭圆m2＋n2＝1(m＞n＞0)与双曲线0，b＞0)的公共焦点为F1，F2，若P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 C. D.m－【答案】P在双曲线的右支上，F1为左焦点，则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，考点 双曲线的标准方

【典例2】 与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲 A.4－12＝1B.12－4 C.3－9 D.9－3【答案】

ABxA(ca)，Bca

线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离可得

，因为d1＋d2＝6，所以 ＋

＝2

a2＝4

a2＝4a＝3，所以双曲线的方程为39＝1待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出 c的值．与双曲线a2－b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值2】（2019届模拟）虚轴长为 焦距为26，且经过点经过两点P(－3,27)Q(－6

【解析】(1)设双曲线的标准方程为a2－b2＝1或a2－b2＝1(a＞0，b＞0)

＝4b＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为64－36＝1或因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.

2c＝26c＝13b＝c－a＝25.所以双曲线的标准方程为m＝－1设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，所以

解得

n＝－1的标准方程为考点 双曲线的几何性质及其应2【典例3】【2019 Ⅱ卷】设F为双曲线C：2

1(a0b0O原点，以OFx2y2a2P，QPQOFC23 235 5【答案】PQxAPQx PQ|OF|c，|PA|c,PA为以OF为直径的圆的半径22∴|OA|c，2

Px

a上

， 2

22e 2

3＝1有公共焦点，则C的方程为 8－10＝1B.4－5 C.5－4 D.4－3 卷Ⅱ)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为 A．y＝±2xB．y＝± C．y＝2xD．y＝ A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率 2 (3) 5

【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为y＝2x，可知a＝ ①，椭圆12＋3＝1的焦点坐标为和(3,0)a2＋b2＝9a2＝4，b2＝5.故选由题意知

3c＝3ab＝c2－a2＝

，所以

2y＝±2x双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为

b＝axbx－ay＝0A

＝c，因为∠MAN＝60°

＝c所以 2 2

2＝c＝3＝3＝求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或ab的比值，进而得出双求双曲线的方程：依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解 3】(2018·江苏卷)xOy中，若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0) 3c，则其离心率的值是 【答案】

3

3 ＝c，所以＝ 3

2＝a

＝4e＝4考点 直线与双曲线的位置关

4】（2019届模拟）1l与离心率为3的双曲线→ e＝3b2＝2a22x2－y2＝2a2.l 2x－y

得x2－2mx－m2－2a2＝0，所以Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，所以直线l一定与P(x，y)，Q(x，y)，则x＋x＝2m，xx＝－m2－2a2.因为→＝

＝ 1

0x＝－3xx＝－m，－3x2＝－m2－2a2xm2＝a2.又

＝xx＋yy＝x

1 1 1＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3，所以m＝±1，a2＝1，b2＝2.直线l的方组，消元后转化成关于x(y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．与中点有关的问题常用点差法根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 4】（2019届模拟）E：a2－y＝1(a＞0)的离心率等于2－1EA，Bk若|AB|＝63C是双曲线上一点，且＝→k，m

得

得

A，B两点，所以

2－4

×－2

－2＜k＜1＜k＜2k的取值范围是(1，(2)x1＋x2＝2k，x1x2＝2，所以|AB|＝1＋k2·