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文档简介
§4.2洛必达法则一、未定式五、其他类型未定式的极限二、“
”型未定式的极限三、“
”型未定式的极限四、洛必达法则失效的情况一、未定式例如
下列极限都是未定式
如果在某一过程中函数f(x)与F(x)同是无穷小量或同是无穷大对于型极限有没有更简单、更一般的求解方法？?因式分解复杂二、“
”型未定式的极限定理41(洛必达法则I)说明
当定理中xa改为x时洛必达法则同样有效
(L’Hospital，1661-1704，法国数学家)设函数f(x)与g(x)满足条件
令f(a)g(a)0
于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续在该邻域内应用柯西中值定理有
简要证明
定理41(洛必达法则I)如果函数f(x)及g(x)满足
(1)当xa时
f(x)0
g(x)0
(2)在点a的某去心邻域内可导且g(x)0
解
原式
解
例2.
解
验型
解
例3.例4.例5.解：原式=
存在非零因子化简例7.例8.
因ex1~x(x0)
故有exsinx1~xsinx(x0)
因arcsinx~x(x0)
故有arcsinx3~x3(x0)例9.
注：
洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,但是要结合各种方法，以求最捷方式.1）等价无穷小替换法2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算.3）过程中注意化简.2.只要满足条件，可多次使用洛必达法则.但每次使用前都必须检验极限类型是否为型.
定理42(洛必达法则II)
设函数f(x)与g(x)满足
说明
当定理中xa改为x时洛必达法则同样有效
三、“
”型未定式的极限
解
例10.例11.例12.结论：都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：极限不存在出现循环四、洛必达法则失效的情况
注：
使用洛必达法则时,若不存在，也不为，这不能说明原极限不存在，此时洛必达法则“失效”，应改用其它方法计算.五、其他类型未定式的极限
对于未定式0、、00、1、0都可以转化为例13.
解
例14.
解
因为例15.
解因为例16.例17.洛必达
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