角平分线的性质时

优选角平分线的性质时目前一页\总数二十七页\编于十九点复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12目前二页\总数二十七页\编于十九点AOBCDE尺规作图：作法：1、以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C、D两点；2、分别以_____为圆心，__________的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；3、作射线_____；_____就是所求作的射线。点O适当C、D超过CD一半EOEOE观察领悟作法，探索思考证明方法：目前三页\总数二十七页\编于十九点复习提问2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。OPAB线段的长度目前四页\总数二十七页\编于十九点下图中能表示点P到直线l的距离的是线段PC的长目前五页\总数二十七页\编于十九点角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。目前六页\总数二十七页\编于十九点∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）判断：目前七页\总数二十七页\编于十九点∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）目前八页\总数二十七页\编于十九点∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等目前九页\总数二十七页\编于十九点如图，∵OC是∠AOB的平分线，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE角的平分线上的点到角的两边的距离相等目前十页\总数二十七页\编于十九点例1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.OABECD例题讲解目前十一页\总数二十七页\编于十九点例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。ABCPEFGMN例题讲解目前十二页\总数二十七页\编于十九点练习1、在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。EDCBA目前十三页\总数二十七页\编于十九点2、已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是ABCDE目前十四页\总数二十七页\编于十九点反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．思考目前十五页\总数二十七页\编于十九点证明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），

∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）△QDO和△QEO是直角三角形在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴

∠QOD＝∠QOE

∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．目前十六页\总数二十七页\编于十九点角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE目前十七页\总数二十七页\编于十九点例3、如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，BD=CD。求证：AD平分∠BACABCDEF目前十八页\总数二十七页\编于十九点练习3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD目前十九页\总数二十七页\编于十九点角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE课堂小结目前二十页\总数二十七页\编于十九点

2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE目前二十一页\总数二十七页\编于十九点3.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

。60BF4如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的

，AE+DE=

。角的平分线6cm目前二十二页\总数二十七页\编于十九点5、如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF巩固提高目前二十三页\总数二十七页\编于十九点如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE，AB，ED的延长线相交于点P。求证：CP平分∠APEPDECAB目前二十四页\总数二十七页\编于十九点如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上目前二十五页\总数二十七页\编于十九点3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMC