计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式演示文稿

计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式演示文稿目前一页\总数四十七页\编于十九点内容函数逼近的基本概念切比雪夫多项式最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式在函数逼近中的应用利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子目前二页\总数四十七页\编于十九点函数逼近的基本概念目前三页\总数四十七页\编于十九点§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。BA目前四页\总数四十七页\编于十九点定理1具有重要的理论意义；Bernstan多项式收敛到f(x)较慢，不常用。目前五页\总数四十七页\编于十九点xyy=L(x)一致逼近的几何意义Home目前六页\总数四十七页\编于十九点切比雪夫多项式目前七页\总数四十七页\编于十九点由三角表达式定义的多项式切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪夫(Chebyshev)多项式切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳一致逼近性质的插值多项式。切比雪夫多项式的(简单)定义：称为切比雪夫多项式。(2.10)…目前八页\总数四十七页\编于十九点课堂练习：推出T4(x)切比雪夫多项式的前几项：切比雪夫多项式的表达式目前九页\总数四十七页\编于十九点切比雪夫多项式的性质（1）基本递推关系目前十页\总数四十七页\编于十九点（2）正交性目前十一页\总数四十七页\编于十九点当m≠n:当m=n≠0当m=n=0根据积化和差公式：目前十二页\总数四十七页\编于十九点利用数学归纳法证明：（3）奇偶性目前十三页\总数四十七页\编于十九点目前十四页\总数四十七页\编于十九点（4）切比雪夫多项式的零点………目前十五页\总数四十七页\编于十九点接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。图为T11(x)的零点，一共有11个…目前十六页\总数四十七页\编于十九点（5）切比雪夫多项式的极值点……目前十七页\总数四十七页\编于十九点T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值点，4个极值点1-11-1目前十八页\总数四十七页\编于十九点总结：Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数，T2(x),T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。xyHome目前十九页\总数四十七页\编于十九点最佳一致逼近多项式目前二十页\总数四十七页\编于十九点§3最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳n次多项式不超过n次的实系数多项式的全体HnC[a,b]目前二十一页\总数四十七页\编于十九点偏差的定义确定的Pn(x)对所有的Pn(x)ϵHn目前二十二页\总数四十七页\编于十九点目前二十三页\总数四十七页\编于十九点最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数{an}…………Home目前二十四页\总数四十七页\编于十九点切比雪夫多项式在函数逼近中的应用目前二十五页\总数四十七页\编于十九点三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用希望构造最高次幂xn系数为1的多项式：…目前二十六页\总数四十七页\编于十九点三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个定理的结论非常重要目前二十七页\总数四十七页\编于十九点怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？偏差估计…目前二十八页\总数四十七页\编于十九点最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0,x1,…xn是切比雪夫多项式的0点。………目前二十九页\总数四十七页\编于十九点证明：…已知|Tn(x)|<=1目前三十页\总数四十七页\编于十九点目前三十一页\总数四十七页\编于十九点对任意区间[a,b]，不能直接使用定理7。例如：为将[0,1][-1,1]，可以令：则针对g(t)使用定理7目前三十二页\总数四十七页\编于十九点最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤Home目前三十三页\总数四十七页\编于十九点利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子目前三十四页\总数四十七页\编于十九点解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近

多项式L4(x),并且估计误差。目前三十五页\总数四十七页\编于十九点01234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477目前三十六页\总数四十七页\编于十九点Lagrange插值多项式为经过比较复杂的计算，得：目前三十七页\总数四十七页\编于十九点误差估计：注意到变换x=½(t+1)这说明，在区间[0,1]上使用多项式L4(x)逼近ex

的绝对值误差非常小，避免了龙格现象。T5(t)最高次幂系数为24目前三十八页\总数四十七页\编于十九点01234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477现在试图用Newton插值多项式逼近目前三十九页\总数四十七页\编于十九点xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]目前四十页\总数四十七页\编于十九点xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.83060.31340.02451.02481.12390.64040.24720.0696目前四十一页\总数四十七页\编于十九点目前四十二页\总数四十七页\编于十九点这个结果和使用拉格朗日插值法所得到的结果稍有误差，由具体计算的小数点后位数引起。目前四十三页\总数四十七页\编于十九点例5.求f(x)=1/(1+x2)

在[-5,5]上的10次最佳

一致逼近多项式L10(x),并且估计误差。解：在[-1,1]上的切比雪夫多项式T11(x)的0点

为做变换x=5t,当tϵ[-1,1]的时候，xϵ[-5,5]目前四十四页\总数四十七页\编于十九点xyy=L10(x)-55目前四十五页\总数四十七页\编于十九点总结最佳逼近：设有函数类A，若存在函数类BⅭA。对函数f(x)ϵA，若存在函数φ*(x)ϵB，使得在某种范数下||f-φ*||<=||f-φ||,φϵB成立。HnC[a,b]特别地，取A=C[a,b]，B=Hn，为不超过n次的实系数多项式的集合。对某函