内科大水力学课件06量纲分析与相似原理

第六章量纲分析与相似原理SI制中的基本量纲：6.1

量纲与物理方程的量纲齐次性物理量的量纲导出量纲：用基本量纲的幂次表示。dimm=M,diml=L,dimt=T物理量大小类别导出量纲工程单位制国际单位制英制单位制量纲基本量纲量纲幂次式dimA=MαLβTγ

β≠0，α=0,γ=0，则A为几何学的量;γ≠0，α=0，则A为运动学的量;α≠0，则A为动力学的量。几何学的量物理量量纲单位长度Lm面积L2m2体积L3m3水头Lm面积矩L4m4

当α＝β＝γ＝0时，A称为无量纲量，无量量纲没有单位，量值与所采用的单位制无关。

无量纲量，没有单位，且与其余量采用的单位制无关。

水力学中常见的物理量的量纲运动学的量物理量量纲单位时间Ts流速LT－1ms-1角速度T－1s-1流量L3T－1

m3s-1单宽流量L2T－1m2s-1环量L2T－1

m2s-1运动粘度L2T－1m2s-1流函数L2T－1

m2s-1速度势L2T－1

m2s-1动力学的量物理量量纲单位质量Mkg力MLT－2N密度ML－3kgm-3动力黏度ML－1T－1

pas压强ML－1T－2pa切应力ML－1T－2pa弹性模量ML－1T－2pa表面张力MT－2Nm-1动量MLT－1kgms-1功、能ML2T－2

J＝N.m功率ML2T－3W

凡是正确反映客观规律的物理方程,其各项的量纲必须是一致的。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。量纲齐次性原理常数（沿流线）伯努利方程物理方程的无量纲化（沿流线）（沿流线）无量纲化谢齐公式曼宁公式带入得根据量纲一致性原理

因此在应用曼宁公示时，规定流速v的单位必须是“ms－1”，水力半径R的单位必须是“m”。6.2

量纲分析与π定理量纲分析概念一个方程中多项时，量纲必须齐次；

一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按量纲齐次性原理作分析。

量纲分析法有两种：瑞利法和π定理。

量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。

1.瑞利法

【例6.1】自由落体在时间t内经过的距离s，经实验认为与下列因素有关：落体重量W、重力加速度g、时间t。试用物理方程的量纲一致性分析自由落体下落的距离公式。

解：首先将关系式写成指数关系

式中K为无量纲量。各变量的量纲为：

解得：a＝0，b＝1，c＝2。

代入原式得

提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914):2π定理π定理方法充要条件k＋1物理量r个独立基本量选r个独立基本量组成k-r＋1个独立π数基本量表达导出量

分别选用几何学、运动学、动力学的物理量k-r＋1个导出量N

=f(N

1，N

2，……，N

k

)π

=f(π4，π5，……，πk

)

例如：已知一物理过程有k＋1个变量N

，N1，N2，……,Nk选取N1，N2，N3作为基本量，则其余的物理量可以用这三个物理量的量纲来表示，其相应的量纲为π,π4,……,πk

。πi是无量纲数，x、y、z，x4、y4、z4以及xk、yk、zk可由分子分母的量纲相等来确定。

解：第1步：列举所有相关的物理量。

第2步：选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（几何学的量、运动学的量、动力学的量各取一个）。

第3步、将其余的物理量作为导出量，即FD

、μ分别与基本量的幂次式组成π表达式阻力密度速度直径动力粘度系数选ρ、V、d

【例6－2】粘性流体绕流圆柱体时的阻力FD受流体密度ρ、流体粘性μ、圆柱体的直径d和流体的速度v的影响，试用量纲分析法求出求阻力公式。解π1有解得：同理有也可以写成也可以写成也可以写成很明显令则有即上式极为绕流阻力公示

【例6－3】不可压缩粘性流体在水平等直径管道中做恒定流动，其压强降低△p与下列因素有关：流速v、直径d、管长l、液体的密度ρ和动力粘度ν，还有管壁粗糙度△

。试用π定律分析压强降落的表达式。

解：

1．列举物理量。Δp，V，d，l，ρ，ν，△

，共7个。2．选择基本量：ρ、V、d

，根据π定理，可以组成4个无量纲数π1，π2，π3

，π4，且f(π1，π2，π3

，π4)=03．列π表达式求解π数：（欧拉数）⑴解得⑵同理解得（雷诺数）⑶因为l、△都是长度量纲，很容易判别：则原来的函数关系式f(π1，π2，π3

，π4)=0可以写成令很明显△p与管长成正比，则：（长径比）（相对粗糙度）

上式即为达西公式，其中λ与雷诺数和相对粗糙度有关系。6.2

流动相似的概念几何相似运动相似形状相似线性变量成比例对应点速度成比例速度场相似初始条件和边界条的件相似动力相似对应点处同名力相似初始速度、加速度、密度、温度等相似对应部分的边界相同、尺度成比例

几何相似、运动相似、动力相似是模型和原型保持完全相似的重要特征。几何相似是前提，动力相似是主导因素，运动相似是具体表现。只针对非恒定流！初始条件边界条件6.3相似准则1.一般相似准则

对于相似流动，各比尺（λl、λt、λu……）的选择并不是随意的，他们之间有一定的关系。由于动力相似是流动相似的主导因素，所以我们用相似流动的合力关系来表述。

根据牛顿第二定律

也可以写成或

是一个无量纲数，它表示运动流体中合外力与惯性力的比值，我们称为牛顿数（又称为牛顿相似准则），以Ne表示，两流动相似归结起来就是牛顿数相等，即(Ne)p＝(Ne)m。

牛顿相似准则是适用于合力相似，在自然界中流体流动一般都会受到多种力的作用，但在不同的流动现象中各个力的影响程度不同。要使流动完全满足牛顿相似准则，就要求作用在对应点上的同名力具有统一比尺，在实际工作是很难做到这一点的。而在实际的流动中往往只有一种力占主导地位，因此我们在设计模型实验时只要让这种主导力满足相似条件即可，实践证明这种近似的相似在实验中运用所得到的结果是符合实际情况的。主导力满足相似条件2.黏滞力相似准则(雷诺准则)

当黏滞力为主导作用力时，要使两流动相似只需使黏滞力和合外力相似，就可满足动力相似。

要使两流动相似，只需：即：

从该式可以看出：当黏滞力为主导作用力时，要使两流动相似只需使两流动的雷诺数相等即可。这就是黏滞力相似准则又叫做雷诺准则。雷诺数反映的是惯性力与黏性力的比值。雷诺准则主要用于描述管流、绕流运动等。3.重力相似准则(弗洛徳准则)

当重力为主导作用力时，要使两流动相似只需使重力和合外力相似，就可满足动力相似。两边开方这就是弗洛徳准则！。明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船长

V

l

Fr数反映的是惯性力和重力的比值，在重力占主导地位的流动中，要使两流动相似只需使两流动的弗洛徳数Fr相等。弗洛徳数Fr是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。

比如明渠流中，当弗洛徳数大于1时惯性力占了主导地位，这时流动称为急流，反之称为缓流,如果正好等于1，则称为临界流。

当动水压力为主导作用力时，要使两流动相似只需使动水压力和合外力相似，就可满足动力相似。4.压力相似准则(欧拉准则)

这就是欧拉准则！。λP和λp是不是就约掉了

欧拉数（Eu）反映的是流动压力与惯性力的比值，p可以是某点的特征压强，也可以是两点的压强差；u

为特征速度，ρ为流体密度。描述压强差时，Eu数常称为压强系数。

在液体流动中，当局部压强低于当地饱和蒸汽压pva

时，Eu

数又称为空泡数或空蚀系数:注意：压力场的相似不是两个流动相似的原因，而是两个流动相似的结果，故Eu准则不是独立的。只要主要的相似准则（Re或Fr)得到满足，则该准则必定满足,反之则不一定。5.表面张力相似准则（韦伯准则）

当表面张力为主导作用力时，要使两流动相似只需使表面张力和合外力相似，就可满足动力相似。这就是韦伯准则！。

韦伯数（We）数反映的是惯性力和表面张力的比值，在表面张力占主导地位的流动中，要使两流动相似只需使两流动的韦伯数（We）相等。反之当两流动韦伯数相等时，其表明张力必然相似。6.弹性力相似准则（柯西准则）

当弹性力为主导作用力时，要使两流动相似只需使弹性力和合外力相似，就可满足动力相似。K为体积弹性系数这就是韦伯准则！。

称为柯西数（Ca）反映的是惯性力与弹性力的比值。两种流动的弹性力作用相似，它们的柯西数必定相等；反之两种流动的柯西数相等，他们的弹性力作用必然相似。这就是弹性力相似准则，又称柯西准则。

除了以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、韦伯数、柯西数以外，水力学中涉及到的相似准则还有马赫数、斯特劳哈尔数等，它们均称为相似准则数。什么是模型实验？

6.4

模型实验设计

模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。2．为什么要进行模型实验？⑴科学研究和生产设计需要做模型实验；

⑵并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数值模拟的流动现象都不必模拟实验。⑶并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。3.重力起主导作用的水流模型

对于重力起主导作用的流动，应保证模型和原型的弗洛徳数相等，即按弗洛徳相似准则设计模型。流速比尺流量比尺力的比尺时间比尺3.黏滞力起主导作用的水流模型

对于黏滞力起主导作用的流动，应保证模型和原型的雷诺数相等，即按雷诺相似准则设计模型。流速比尺流量比尺力的比尺时间比尺[例6－4]一双孔桥，桥墩长lp＝24m，桥墩宽bp＝4.3m，水深hp＝8.2m，河中水流平均流速vp＝2.3m/s，两桥墩间的距离Bp＝90m，取λl＝50，试确定模型各值。

解：为了使模型与原型水流相似，首先必须做到几何相似；同时，由于桥下水流过流时有自由液面，是重力流，所以选用弗洛徳准则来进行模型设计。⑴模型的几何尺寸:已知λl＝50，则桥墩长桥墩宽桥墩台间距水深模型平均流速与流量受弗洛徳准则控制，查表6－2可知4.同时考虑重力和黏滞力的水流模型

对于重力和黏滞力同时起主导作用的水流，要保证模型和原型相似，必须同时满足重力、黏滞力都相似，所以应同时考虑弗洛徳准则和雷诺准则。以流速为例：

从上面推导可知弗洛徳准则的流速比尺为

雷诺准则的流速比尺为

上述两比尺必须同时成立：

或

要满足上式是很难做到的，即使能做到也是很不经济的，若模型与原型为同一介质时λν＝1，此时要同时满足弗洛徳准则和雷诺准则只有λl＝1，模型即为原型。因此要同时满足两个准则是不易做到的。那么遇到这种情况我们应该怎么办呢？

用其它比尺也能推出相同的结果。5．自模性

从穆迪图上可看到，当Re

数达到足够大后，管道流动进入稳流粗糙区时，沿程阻力系数保持常数，与Re无关，而仅与粗糙度有关。这种与雷诺数无关的流动性称为自模性，把紊流粗糙区称为自动模型区，在这个区域内，只需保持重力相似即可获得相似流动。而实际上流动都发生在自模区。尤其明渠流动大都属于自模区。莫迪图稳流粗糙区6．模型设计应注意的问题

设计模型时，首先确定起主要作用的力、选定相似准则和模型比尺。选择比尺时应考虑工作期限、经费、占地面积、实验室所能提供的流量及量测技术的精度，还应注意以下事项：⑴流态相似。⑵糙率相似。在重力模型试验中，对于流动阻力主要为局部阻力的一般不必考虑糙率问题；但是对于河工模型、高坝溢流模型及船闸输水廊道模型，则必须考虑沿程阻力的影响，所以在模型中应保持粗糙率相似。根据曼宁公式有：对于正态模型要保证相似或⑶对主导作用力为重力的的流动，采用弗洛徳准则设计模型，我们一般都忽略黏滞力