2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）抛物线y2＝x的准线方程是（）A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣2．（4分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）在（x﹣2）5的展开式中，x4的系数为（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣104．（4分）已知直线l：x+ay+2＝0，点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2），若l∥AB，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．126．（4分）已知向量，满足||＝1，＝（﹣2，1），且|﹣|＝2，则•＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（4分）已知α，β是两个不同的平面，“α∥β”的一个充分条件是（）A．α内有无数直线平行于β B．存在平面γ，α⊥γ，β⊥γ C．存在平面γ，α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n D．存在直线l，l⊥α，l⊥β8．（4分）已知函数f（x）＝1﹣2sin2（x+），则（）A．f（x）是偶函数 B．函数f（x）的最小正周期为2π C．曲线y＝f（x）关于对称 D．f（1）＞f（2）9．（4分）数列{an}的通项公式为an＝n2﹣3n，n∈N*，前n项和为Sn.给出下列三个结论：①存在正整数m，n（m≠n），使得Sm＝Sn；②存在正整数m，n（m≠n），使得am+an＝2；③记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，3，…）则数列{Tn}有最小项．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．③ C．①③ D．①②③10．（4分）如图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为⊙C1，⊙C2.这两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2，丹德林（G•Dandelin）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，⊙C1，⊙C2的半径分别为1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是（）A．6 B．8 C． D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革．某校高一、高二和高三学生人数如图所示．采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为．12．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若﹣S1、S2、a3成等差数列，则数列{an}的公比为．13．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（﹣3，4），则双曲线的渐近线方程为；|MF1|﹣|MF2|＝．14．（5分）已知函数f（x）是定义域R的奇函数，且x≤0时，f（x）＝aex﹣1，则a＝，f（x）的值域是．15．（5分）已知圆P：（x﹣5）2+（y﹣2）2＝2，直线l：y＝ax，点，点A（s，t）．给出下列4个结论：①当a＝0，直线l与圆P相离；②若直线l圆P的一条对称轴，则a＝；③若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得∠MAN＝90°，则a的最大值为；④N为圆P上的一动点，若∠MAN＝90°，则t的最大值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，AC⊥平面BCC1B1，D，E分别是棱AA1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AE∥平面B1C1D；（Ⅱ）求证：CC1⊥平面ABC；（Ⅲ）若AC＝BC＝AA1＝2，求直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值．17．（14分）若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求cosB和a的值．条件①：；条件②：；条件③：b﹣a＝1；条件④：．18．（14分）某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数（单位：万台）3456691010a年返修台数（单位：台）3238545852718075b年利润（单位：百万元）3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注：年返修率＝．（Ⅰ）从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不少于100元/台的概率；（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从2013～2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数．求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为s12，s22，s32．若s32≤max{s12，s22}，其中max{s12，s22}表示s12，s22，这两个数中最大的数．请写出a的最大值和最小值．（只需写出结论）（注：s2＝，其中为数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的平均数）19．（14分）已知椭圆W：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点C（2，）．（Ⅰ）求椭圆W的方程及其长轴长；（Ⅱ）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q．若△ACQ的面积比△BDQ的面积大2，求点D的坐标．20．（14分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣x，求证：g（x）≤﹣1；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣x2+2ax﹣4a2+1．若存在x0使得h（x0）≥0，求a的最大值．21．（14分）设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表”．（Ⅰ）判断如下数表A1，A2是否是“4阶非负数表”；数表A111﹣1﹣111﹣1﹣11﹣11﹣111﹣1﹣1数表A2﹣1﹣1﹣1﹣1111﹣11﹣11﹣111﹣1﹣1（Ⅱ）对于任意“5阶非负数表”A，记R（s）为A的第s行各数之和（1≤s≤5），证明：存在{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，使得R（i）+R（j）+R（k）≥3；（Ⅲ）当n＝2k（k∈N*）时，证明：对与任意“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的k2个数之和不小于k．

2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）抛物线y2＝x的准线方程是（）A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣【分析】抛物线y2＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝1，由此可得抛物线y2＝x的准线方程．【解答】解：抛物线y2＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝1，∴＝，∴抛物线y2＝x的准线方程为x＝﹣．故选：B．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．2．（4分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（4分）在（x﹣2）5的展开式中，x4的系数为（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10【分析】由二项展开式的通项公式，即可求得x4的系数．【解答】解：（x﹣2）5的展开式的通项为Tr+1＝x5﹣r（﹣2）r，所以x4的系数为×（﹣2）＝﹣10．故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．4．（4分）已知直线l：x+ay+2＝0，点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2），若l∥AB，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a的值．【解答】解：∵直线l：x+ay+2＝0，点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2），∴直线AB的斜率为＝1，若l∥AB，则﹣＝1，求得a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．5．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．12【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的顶点为正方体的顶点，其直观图如图所示：故该三棱锥的体积为：＝2．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知向量，满足||＝1，＝（﹣2，1），且|﹣|＝2，则•＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．【解答】解：向量，满足||＝1，＝（﹣2，1），且|﹣|＝2，＝4，即1﹣2•+5＝4，则•＝1．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量模的运算法则的应用，是基础题．7．（4分）已知α，β是两个不同的平面，“α∥β”的一个充分条件是（）A．α内有无数直线平行于β B．存在平面γ，α⊥γ，β⊥γ C．存在平面γ，α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n D．存在直线l，l⊥α，l⊥β【分析】由空间中的线面关系，画出图形，逐一分析四个选项得答案．【解答】解：由α内有无数直线平行于β，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图：故A错误；若存在平面γ，使α⊥γ，β⊥γ，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图：故B错误；存在平面γ，α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图：故C错误；存在直线l，l⊥α，l⊥β，由直线与平面垂直的性质，可得α∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中面面平行的判定，考查充分条件的应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8．（4分）已知函数f（x）＝1﹣2sin2（x+），则（）A．f（x）是偶函数 B．函数f（x）的最小正周期为2π C．曲线y＝f（x）关于对称 D．f（1）＞f（2）【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：f（x）＝1﹣2sin2（x+）＝cos2（x+）＝cos（2x+）＝﹣sin2x，则函数f（x）为奇函数，函数的周期T＝＝π，当时，f（x）＝﹣sin[2×（）]＝﹣sin（﹣）＝1为最大值，则是对称轴，f（1）＝﹣sin2，f（2）＝﹣sin4，则f（1）＜f（2），故正确的是C，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．是基础题．9．（4分）数列{an}的通项公式为an＝n2﹣3n，n∈N*，前n项和为Sn.给出下列三个结论：①存在正整数m，n（m≠n），使得Sm＝Sn；②存在正整数m，n（m≠n），使得am+an＝2；③记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，3，…）则数列{Tn}有最小项．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．③ C．①③ D．①②③【分析】假设存在正整数m，n（m≠n），使得Sm＝Sn，则Sm﹣Sn＝0，转化为an的关系进行分析，即可判断选项①，利用完全平方式将am+an＝2化简，可得即am＝an，再分析an的对称性，可得a1＝1﹣3＝﹣2＝a2＜0，从而可判断选项②，利用Tn＝a1a2…an（n＝1，2，3，…），得到a1＝﹣2，a2＝﹣2，a3＝0，且当n≥2时，an单调递增，分析即可判断选项③．【解答】解：若存在正整数m，n（m≠n），使得Sm＝Sn，则Sm﹣Sn＝0，即am+1+am+2+…+an＝0，令an＝0，解得n＝0（舍）或n＝3，即a3＝0，所以存在m＝2，n＝3，使得Sm＝Sn，故选项①正确；因为am+an＝2，即，即am＝an，且am≥0，an≥0，记y＝n2﹣3n，对称轴为，而n＝1，2，3，…故只有n1＝1，n2＝2时，有，但此时a1＝1﹣3＝﹣2＝a2＜0不成立，故不存在正整数m，n（m≠n），使得am+an＝2，故选项②错误；因为Tn＝a1a2…an（n＝1，2，3，…），则a1＝﹣2，a2＝﹣2，a3＝0，且当n≥2时，an单调递增，所以当n＞3时，an＞0，而T3＝0，故当n＞3时，Tn＝0，又T2＝4，T1＝﹣2，所以数列{Tn}有最小项T1＝﹣2，故选项③正确．故选：C．【点评】本题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能利用数列的基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解本质．10．（4分）如图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为⊙C1，⊙C2.这两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2，丹德林（G•Dandelin）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，⊙C1，⊙C2的半径分别为1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是（）A．6 B．8 C． D．【分析】在椭圆上任取一点P，连接VP交C1于Q，交C2于点R，连接O1Q，O1F1，PO1，PF1，O2R，利用△O1PF≌△O1PQ全等，得到PF1＝PQ，当点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和最小时，即当P为直线VM与椭圆的交点时，求解即可得到答案．【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点P，连接VP交C1于Q，交C2于点R，连接O1Q，O1F1，PO1，PF1，O2R，在△O1PF与△O1PQ中，O1Q＝O1F＝r1，其中r1为球O1半径，∠O1QP＝∠O1FP＝90°，O1P为公共边，所以△O1PF1≌△O1PQ，所以PF1＝PQ，设P沿圆锥表面到达M的路径长为d，则PF1+d＝PQ+d≥PQ+PR＝QR，当且仅当P为直线VM与椭圆的交点时取等号，QR＝VR﹣VQ＝＝，故从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是6．故选：A．【点评】本题以Dandelin双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P为直线VM与椭圆的交点时取得最值．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革．某校高一、高二和高三学生人数如图所示．采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为12．【分析】根据直方图求出抽样比例，再计算抽取高三人数．【解答】解：根据直方图知，抽样比例为＝，所以应该抽取高三人数为600×＝12（人）．故答案为：12．【点评】本题考查了分层抽样法与直方图的应用问题，是基础题．12．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若﹣S1、S2、a3成等差数列，则数列{an}的公比为3或﹣1．【分析】根据﹣S1、S2、a3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，化简得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求解方程得答案．【解答】解：∵﹣S1，S2，a3成等差数列，∴2S2＝﹣S1+a3，又数列{an}为等比数列，∴2（a1+a1q）＝﹣a1+a1q2，整理得：a1q2﹣2a1q﹣3a1＝0，又a1≠0，∴q2﹣2q﹣3＝0，解得：q＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【点评】本题题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及前n项和，考查运算求解能力，是基础题．13．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（﹣3，4），则双曲线的渐近线方程为y＝±x；|MF1|﹣|MF2|＝﹣2．【分析】利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到|MF1|﹣|MF2|．【解答】解：双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为：y＝±x，双曲线的焦点坐标（±，0），M在双曲线上，所以|MF1|﹣|MF2|＝﹣2a＝﹣2，故答案为：y＝±x；﹣2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）是定义域R的奇函数，且x≤0时，f（x）＝aex﹣1，则a＝1，f（x）的值域是（﹣1，1）．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，结合函数的解析式可得f（0）＝a﹣1＝0，解可得a的值，即可得函数在（﹣∞，0]上的解析式，利用函数的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域R的奇函数，则f（0）＝0，又由x≤0时，f（x）＝aex﹣1，则f（0）＝a﹣1＝0，解可得a＝1，在区间（﹣∞，0]上，f（x）＝ex﹣1，有﹣1＜f（x）≤0，又由f（x）为奇函数，则有﹣1＜f（x）＜1，即函数的值域为（﹣1，1），故答案为：1，（﹣1，1）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．15．（5分）已知圆P：（x﹣5）2+（y﹣2）2＝2，直线l：y＝ax，点，点A（s，t）．给出下列4个结论：①当a＝0，直线l与圆P相离；②若直线l圆P的一条对称轴，则a＝；③若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得∠MAN＝90°，则a的最大值为；④N为圆P上的一动点，若∠MAN＝90°，则t的最大值为．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】当a＝0时，求出直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系进行分析，即可判断选项①；利用圆的对称轴经过圆心，所以直线l经过两个点，从而得到直线的斜率，即可判断选项②；考虑极限情况，M，N为切点时比M，N为割点时的∠MAN更大，故直线l的斜率最大时，点M，N均应为切点，分析求解即可判断选项③；根据∠MAN＝90°，可得点A为以MN为直径的圆上，t最大时应该是圆心的纵坐标加半径，利用换元法求出最值即可判断选项④．【解答】解：当a＝0时，直线l：y＝0，故圆的半径小于点P到直线的距离，所以当a＝0，直线l与圆P相离，故选项①正确；因为圆的对称轴过圆心，故直线l过点（5，2），又直线l：y＝ax，所以a＝，故选项②正确；考虑极限情况：取MN的中点D，点A在以D为圆心，MD为半径的圆上，则PA≤AD+DP＝MD+PD，当且仅当A，P，D三点共线且PD＝MD时取等号，所以点A在以P为圆心，2为半径的圆上或圆内，此时a的最大值使得y＝ax与此圆相切，点P（5，2）到y＝ax的距离为，解得或a＝0（舍），此时AD⊥l，则，又因为MD＝PD，∠DPM＝45°，所以kPD＝﹣1，kAD≠kPD，故A，P，D三点不共线，即取等号的条件不成立，综上所述，选项③错误；设N（5+），，则MN的中点Q（5+，），而∠MAN＝90°，则点A为以MN为直径的圆上，设半径为r，MN2＝4﹣4sinθ，则r＝，所以t最大时应该是点Q的纵坐标加半径，即t＝+，令g（x）＝，x∈[﹣1，1]，令∈，得f（μ）＝，μ∈，f（μ）＝，当时，f（μ）max＝＝，所以t的最大值为，故选项④正确；故答案为：①②④．【点评】本题以命题真假的判断为载体考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了换元法求解函数的最值问题、二次函数的最值问题，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力以及化简运算能力要求很高．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，AC⊥平面BCC1B1，D，E分别是棱AA1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AE∥平面B1C1D；（Ⅱ）求证：CC1⊥平面ABC；（Ⅲ）若AC＝BC＝AA1＝2，求直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）根据直线平行于平面的判定定理可知只需证线线平行，利用平行四边形可得AE∥DB1，从而可证得AE∥平面B1C1D；（Ⅱ）要证CC1⊥平面ABC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CC1与平面内两相交直线垂直即可；（Ⅲ）建立空间直角坐标系，先求出平面B1C1D的法向量，然后利用公式可求出直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣中，AA1∥BB1，且AA1＝BB1．因为点D，E分别时棱AA1，BB1的中点，所以AD∥B1E，且AD＝B1E．所以四边形AEB1D是平行四边形．所以AE∥DB1．又因为AE⊄平面B1C1D，DB1⊂平面B1C1D，所以AE∥平面B1C1D．（Ⅱ）证明：因为AC⊥平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以AC⊥CC1．因为侧面BCC1B1为矩形，所以CC1⊥BC．又因为AC∩BC＝C，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CC1⊥平面ABC．（Ⅲ）解：分别以CA，CB，CC1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，由题意得A（2，0，0）B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（2，0，1）．所以．设平面B1C1D的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝1，则y＝0，z＝2．于是＝（1，0，2）．所以cos．所以直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、以及线面所成角，解题的关键是利用空间向量的方法求解，同时考查了学生空间想象能力．17．（14分）若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求cosB和a的值．条件①：；条件②：；条件③：b﹣a＝1；条件④：．【分析】若选择①②③，（Ⅰ）由正弦定理可得sinA的值，结合b﹣a＝1，可求0＜∠A＜，即可得解∠A的值；（Ⅱ）由题意可得a＞c，可得0＜∠C＜，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式可求cosB，进而可求sinB，利用正弦定理即可求解a的值．若选择①②④，（Ⅰ）利用正弦定理可得sinA的值，由于bcosA＝﹣，可得范围＜∠A＜π，即可求解∠A的值；（Ⅱ）由题意利用大边对大角可求0＜∠C＜，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用两角和的余弦公式可求cosB，进而可求sinB，由于bcosA＝﹣，可求b的值，根据正弦定理可得a．【解答】解：若选择①②③，（Ⅰ）因为，，由正弦定理可得sinA＝＝，因为b﹣a＝1，所以a＜b，可得0＜∠A＜，可得∠A＝．（Ⅱ）在△ABC中，，所以a＞c，所以0＜∠C＜，因为，可得cosC＝＝，所以cosB＝cos[π﹣（A+C）]＝﹣cos（A+C）＝sinAsinC﹣cosAcosC＝﹣＝﹣，所以sinB＝＝，由正弦定理可得＝，可得7b＝8a，因为b﹣a＝1，所以a＝7．若选择①②④，（Ⅰ）因为，，由正弦定理可得sinA＝＝，在△ABC中，bcosA＝﹣，所以＜∠A＜π，可得∠A＝．（Ⅱ）在△ABC中，，所以a＞c，所以0＜∠C＜，因为，可得cosC＝＝，所以cosB＝cos[π﹣（A+C）]＝﹣cos（A+C）＝sinAsinC﹣cosAcosC＝+＝，所以sinB＝＝，因为bcosA＝﹣，所以b＝＝5，由正弦定理可得a＝＝＝7．【点评】本题主要考查了正弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（14分）某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数（单位：万台）3456691010a年返修台数（单位：台）3238545852718075b年利润（单位：百万元）3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注：年返修率＝．（Ⅰ）从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不少于100元/台的概率；（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从2013～2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数．求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为s12，s22，s32．若s32≤max{s12，s22}，其中max{s12，s22}表示s12，s22，这两个数中最大的数．请写出a的最大值和最小值．（只需写出结论）（注：s2＝，其中为数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的平均数）【分析】（Ⅰ）由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，由此能求出从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率．（Ⅱ）由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．（Ⅲ）a的最大值为13，最小值为7．【解答】解：（Ⅰ）由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，∴从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率为P＝＝0.75．（Ⅱ）由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，∴ξ的所有可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ123P∴E（ξ）＝＝．（Ⅲ）a的最大值为13，最小值为7．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（14分）已知椭圆W：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点C（2，）．（Ⅰ）求椭圆W的方程及其长轴长；（Ⅱ）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q．若△ACQ的面积比△BDQ的面积大2，求点D的坐标．【分析】（Ⅰ）由已知点，椭圆的离心率以及a，b，c的关系式即可求解；（Ⅱ）根据已知条件推出OD与BC平行，设出点D的坐标，利用平行关系以及点D在椭圆上联立方程即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，解得a＝4，b＝2，c＝2，故椭圆的方程为：，且长轴长为2a＝8；（Ⅱ）因为点D在x轴下方，所以点Q在线段AB（不包括端点）上，由（Ⅰ）可知A（﹣4，0），B（4，0），所以△AOC的面积为，因为△ACQ的面积比△BDQ的面积大2，所以点Q在线段OB（不包括端点）上，且△OCQ的面积等于△BDQ的面积，所以△OCB的面积等于△BCD的面积，所以OD∥BC，设D（m，n），n＜0，则，因为点D在椭圆W上，所以，解得m＝2，n＝﹣，所以点D的坐标为（2，﹣）．【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣x，求证：g（x）≤﹣1；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣x2+2ax﹣4a2+1．若存在x0使得h（x0）≥0，求a的最大值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而证明结论成立；（Ⅲ）求出h（x）的解析式，通过讨论a的范围，结合不等式的性质求出a的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝e，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（0，e）e（e，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减；（Ⅱ）证明：∵f（x）＝，∴g（x）＝﹣x，∴g′（x）＝﹣1＝，①当x∈（0，1）时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，故g′（x）＞0，②当x∈（1，+∞）时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，故g′（x）＜0，故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故g（x）≤g（1）＝﹣1；（Ⅲ）∵f（x）＝，∴h（x）＝﹣x2+2ax﹣4a2+1，①当0≤a≤时，h（1）＝2a﹣4a2＝2a（1﹣2a）≥0，即存在1，使得h（1）≥0；②当a＞时，由（Ⅱ）可知：﹣x≤﹣1，即≤x﹣1，故h（x）≤x﹣x2+2ax﹣4a2＝﹣+﹣4a2≤﹣3a2+a+＝＜0，综上，对任意x＞0，h（x）＜0，即不存在x0使得h（x0）≥0，综上，a的最大值是．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．21．（14分）设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表”．（Ⅰ）判断如下数表A1，A2是否是“4阶非负数表”；数表A111﹣1﹣111﹣1﹣11﹣11﹣111﹣1﹣1数表A2﹣1﹣1﹣1﹣1111﹣11﹣11﹣111﹣1﹣1（Ⅱ）对于任意“5阶非负数表”A，记R（s