2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）

第1页（共1页）2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1．（4分）复数z＝﹣2+i的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．i2．（4分）已知点A（1，2），B（﹣1，0），则＝（）A．（2，0） B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，2）3．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度4．（4分）在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（4分）已知0＜α＜，且cosα＝，那么tan（α+）等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．26．（4分）如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量＝x+y（x，y∈R），那么x﹣y＝（）A．0 B．﹣2 C．1 D．27．（4分）已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sin9．（4分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，acosB＝bcosA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形10．（4分）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（）A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝．12．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝．13．（4分）若A（﹣1，﹣2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三点共线，则x＝．14．（4分）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝．15．（4分）已知＝（1，0），＝（5，5），则向量在向量方向上的投影向量的坐标为．16．（4分）已知函数f（x）＝给出下列三个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）有且仅有3个零点；③f（x）的值域是[﹣1，1]．其中，正确结论的序号是．三、解答题（共4小题，共36分.）17．（9分）已知向量与，＝（1，0），＝（﹣2，1）．（Ⅰ）求2﹣；（Ⅱ）设，的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量k+与+k互相平行，求k的值．18．（9分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝，c＝3，cosB＝﹣（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．（9分）已知平面向量，，||＝2，||＝1，且与的夹角为．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）求|+2|；（Ⅲ）若+2与2+λ（λ∈R）垂直，求λ的值．20．（9分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1．（4分）复数z＝﹣2+i的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．i【分析】直接利用复数的基本概念得答案．【解答】解：复数z＝﹣2+i的虚部为1．故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．（4分）已知点A（1，2），B（﹣1，0），则＝（）A．（2，0） B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，2）【分析】根据平面向量的坐标表示，求出即可．【解答】解：点A（1，2），B（﹣1，0），则＝（﹣1﹣1，0﹣2）＝（﹣2，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．3．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：只要将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，即可得到函数y＝sin（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（4分）在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i＝﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．5．（4分）已知0＜α＜，且cosα＝，那么tan（α+）等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果．【解答】解：已知0＜α＜，且cosα＝，所以，则，所以．故选：A．【点评】本题考查知识要点：三角函数的关系式的变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（4分）如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量＝x+y（x，y∈R），那么x﹣y＝（）A．0 B．﹣2 C．1 D．2【分析】可作单位向量，，从而可用单位向量，表示向量，，，根据平面向量基本定理可得出关于x，y的方程组，解出x，y的值，从而计算x﹣y．【解答】解：如图所示，作单位向量，，则：＝2﹣，＝2+2，＝2﹣4；∴x+y＝（2x+2y）+（2x﹣4y），又＝x+y，∴2﹣＝（2x+2y）+（2x﹣4y），∴，解得，∴x﹣y＝0．故选：A．【点评】该题考查平面向量的基本定理，利用实数λ1，λ2的唯一性解决问题，属于基础题型．7．（4分）已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断．【解答】解：由∥可不一定推出四边形ABCD为平行四边形，但由四边形ABCD为平行四边形一定可得∥，故“∥”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查对xl共线定理，平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．8．（4分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sin【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：在区间（0，）上，2x∈（0，π），y＝sin2x没有单调性，故排除A．在区间（0，）上，2x∈（0，π），y＝cos2x单调递减，故排除B．在区间（0，）上，y＝tanx单调递增，且其最小正周期为π，故C正确；根据函数以π为最小正周期，y＝sin的周期为＝4π，可排除D．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题．9．（4分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，acosB＝bcosA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【分析】把已知的等式利用正弦定理化简后，移项整理后再利用两角和与差的正弦函数公式变形，由A和B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到A＝B，根据等角对等边可得此三角形为等腰三角形．【解答】解：∵＝＝2R，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴acosB＝bcosA变形得：sinAcosB＝sinBcosA，整理得：sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，又A和B都为三角形的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，则△ABC为等腰三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的判定，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．10．（4分）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（）A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米【分析】由题意，利用正弦定理即可求得BC的值．【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，由正弦定理得＝，解得BC＝＝5．∴B处与地面目标C的距离为5千米．故选：B．【点评】本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＝．【分析】由题意利用两个向量的加减法法则，计算求得结果．【解答】解：＝﹣＝，故答案为：．【点评】本题主要考查向量的加减法法则的应用，属于基础题．12．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝2﹣i．【分析】根据复平面内复数与对应点的坐标之间的关系，写出复数z和它的共轭复数．【解答】解：复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），所以复数z＝2+i，它的共轭复数是＝2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．13．（4分）若A（﹣1，﹣2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三点共线，则x＝10．【分析】【方法一】由A、B、C三点共线，得与共线；利用向量的知识求出x的值；【方法二】】由A、B、C三点共线，得kAB＝kAC；利用直线的斜率求出x的值．【解答】解：【方法一】∵A、B、C三点共线，∴与共线；∵＝（4﹣（﹣1），8﹣（﹣2））＝（5，10），＝（5﹣（﹣1），x﹣（﹣2））＝（6，x+2），∴5（x+2）﹣10×6＝0，解得x＝10；【方法二】】∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC；∵kAB＝＝2，kAC＝＝，∴＝2，解得x＝10；故答案为：10．【点评】本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答，利用斜率相等也可以解答．14．（4分）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝．【分析】可求出B＝60°，然后根据正弦定理可得出，根据sin75°＝sin（45°+30°）可求出sin75°的值，从而可求出c的值．【解答】解：∵在△ABC中，A＝45°，C＝75°，∴B＝60°，且b＝2，∴根据正弦定理得：，且sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°＝，∴．故答案为：．【点评】本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，考查了计算能力，属于基础题．15．（4分）已知＝（1，0），＝（5，5），则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（，）．【分析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量．【解答】解：向量在向量方向上的投影为＝＝，由于向量在向量方向上的投影向量与共线，可得所求向量为＝（，），故答案为：（，）．【点评】本题考查一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．16．（4分）已知函数f（x）＝给出下列三个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）有且仅有3个零点；③f（x）的值域是[﹣1，1]．其中，正确结论的序号是②③．【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③．【解答】解：函数f（x）＝，①f（x）是非奇非偶函数，所以①不正确；②f（x）＝0，可得x＝﹣，x＝0，x＝π，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数f（x）＝，f（x）的值域是[﹣1，1]，正确；正确结论的序号是：②③．故答案为：②③．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题（共4小题，共36分.）17．（9分）已知向量与，＝（1，0），＝（﹣2，1）．（Ⅰ）求2﹣；（Ⅱ）设，的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量k+与+k互相平行，求k的值．【分析】（I）结合向量减法的坐标表示即可求解；（II）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；（III）结合向量平行的坐标表示即可求解．【解答】解：（1）因为＝（1，0），＝（﹣2，1），所以2﹣＝（4，﹣1）；（Ⅱ）cosθ＝＝＝﹣，（III）k+＝（k﹣2，1），+k＝（1﹣2k，k），由题意可得，k（k﹣2）+2k﹣1＝0，整理可得，k2﹣1＝0，解可得，k＝±1．【点评】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量夹角公式及平行的坐标表示，属于基础试题．18．（9分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝，c＝3，cosB＝﹣（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用同角三角函数的关系式和正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ）利用和角公式和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，已知b＝，c＝3，cosB＝﹣所以＝．利用正弦定理，整理得sinC＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题