2020-2021学年北京师大三附中高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京师大三附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）在复平面内，复数（2﹣i）i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）已知空间向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且与垂直，则x等于（）A．4 B．1 C．3 D．23．（4分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B． C． D．4．（4分）和直线x﹣y+2＝0关于x轴对称的直线方程为（）A．﹣x+y﹣2＝0 B．﹣x+y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y﹣2＝05．（4分）经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0平行的直线方程是（）A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝06．（4分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．π B．4π C．8π D．9π7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面A1EC与平面ABCD所成二面角的余弦值为（）A． B． C． D．8．（4分）若焦点在x轴上的椭圆+＝1的离心率是，则m等于（）A． B． C． D．9．（4分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A． B． C．24 D．4810．（4分）已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1） B．（，1） C．（，﹣1） D．（，1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11．（5分）圆心为（1，1）且与直线x+y＝4相切的圆的方程是．12．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为．13．（5分）椭圆＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝．14．（5分）曲线y＝与直线y＝x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）15．（10分）设点P（2，5）关于x轴的对称点为Q，求过点Q且与直线x+y﹣3＝0垂直的直线l的方程．16．（10分）抛物线y2＝4x截直线y＝2x+k所得弦长为3．（1）求k的值；（2）以此弦为底边，以x轴上点P为顶点的三角形面积为9，求点P坐标．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求PC与平面ACE所成角的正弦值；（3）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．18．（10分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|＝|CB|，求直线l的方程．

2020-2021学年北京师大三附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）在复平面内，复数（2﹣i）i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先对已知复数进行化简，然后求出共轭复数，结合几何意义即可求解．【解答】解：（2﹣i）i＝2i+1的共轭复数z＝1﹣2i对应的点（1，﹣2）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（4分）已知空间向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且与垂直，则x等于（）A．4 B．1 C．3 D．2【分析】根据⊥，可得•＝0，解得x．【解答】解：∵⊥，∴•＝﹣3+2x﹣5＝0，解得x＝4，故选：A．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B． C． D．【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．【解答】解：∵＝＝＝＝故选：A．【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．4．（4分）和直线x﹣y+2＝0关于x轴对称的直线方程为（）A．﹣x+y﹣2＝0 B．﹣x+y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y﹣2＝0【分析】设所求直线上的点P（x，y），求出点P关于x轴对称的点为P'，由点P'在直线x﹣y+2＝0上，即可得到答案．【解答】解：设所求直线上的点P（x，y），则点P关于x轴对称的点为P'（x，﹣y），由点P'（x，﹣y）在直线x﹣y+2＝0上，所以x+y+2＝0，则和直线x﹣y+2＝0关于x轴对称的直线方程为x+y+2＝0．故选：C．【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线的求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5．（4分）经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0平行的直线方程是（）A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0【分析】圆x2+2x+y2＝0的圆心C（﹣1，0），直线x+y＝0的斜率k＝﹣1，由此利用点斜式方程级求出结果．【解答】解：∵圆x2+2x+y2＝0的圆心C（﹣1，0），直线x+y＝0的斜率k＝﹣1，∴经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0平行的直线方程为：y＝﹣（x+1），整理，得：x+y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质和直线与直线的位置关系的合理运用．6．（4分）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．π B．4π C．8π D．9π【分析】设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|＝2|PB|，整理即得点P的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积．【解答】解：已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|＝2|PB|，设P点的坐标为（x，y），则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2＝4，所以点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选：B．【点评】考查两点间距离公式及圆的性质．是训练基础知识的好题．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面A1EC与平面ABCD所成二面角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】延长A1E与AB相交于M，连接MC，过点B作BF⊥MC于F，连接EF，先证∠EFB为平面A1EC与平面ABCD所成二面角的平面角，再利用Rt△BEF求其余弦值．【解答】解：延长A1E与AB相交于M，连接MC，过点B作BF⊥MC于F，连接EF，因为E为BB1中点，易证BM＝AB，所以BM＝BC，所以F为MC的中点，因为EB⊥平面ABCD，MC⊂平面ABCD，所以EB⊥MC，又因为EB∩BF＝B，EB⊂平面BEF，BF⊂平面BEF，所以MC⊥平面BEF，又EF⊂平面BEF，所以MC⊥EF，所以∠EFB为平面A1EC与平面ABCD所成二面角的平面角，设正方体的棱长为2，在△MBC中，易得BF＝，在Rt△BEF中，BE＝1，所以EF＝＝，所以cos∠EFB＝＝．故选：C．【点评】本题考查二面角的求法，属中档题．8．（4分）若焦点在x轴上的椭圆+＝1的离心率是，则m等于（）A． B． C． D．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m＝1.5，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．9．（4分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A． B． C．24 D．48【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|＝10，∵3|PF1|＝4|PF2|，∴设|PF2|＝x，则，由双曲线的性质知，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面积＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．10．（4分）已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1） B．（，1） C．（，﹣1） D．（，1）【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2＝4x∴p＝2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF＝PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x＝，故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，考查抛物线的定义，属基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11．（5分）圆心为（1，1）且与直线x+y＝4相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．【分析】先求圆的半径，再求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离就是圆的半径：r＝＝．所以圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为﹣＝1．【分析】由题意，可得e＝2，c＝4，再由e＝解出a的值，由b2＝c2﹣a2解出b2，即可得出双曲线的方程【解答】解：由题意e＝2，c＝4，由e＝，可解得a＝2，又b2＝c2﹣a2，解得b2＝12所以双曲线的方程为﹣＝1故答案为﹣＝1【点评】本题考查双曲线的性质，解题的关键是理解性质，利用性质建立方程求出a，b的值，本题考查了方程的思想及推理判断的能力，是双曲线的基本题13．（5分）椭圆＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝．【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案．【解答】解：椭圆的左准线方程为x＝﹣＝﹣，∵＝e＝，∴|PF2|＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的定义．属基础题．14．（5分）曲线y＝与直线y＝x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为[﹣2，2）∪{2}．【分析】由题意可得直线y＝x+b与半圆x2+y2＝4（y≥0）有公共点，当直线过点A（2，0）时，求得b的值；当直线和半圆相切于点B时，根据圆心到直线的距离等于半径求得b的值，数形结合从而得到b的取值范围．【解答】解：由题意可得直线y＝x+b与半圆x2+y2＝4（y≥0）恰有1个公共点，如图所示：当直线过点A（2，0）时，可得0＝2+b，求得b＝﹣2．当直线和半圆相切于点B时，由圆心到直线的距离等于半径可得＝2，求得b＝2，或b＝﹣2（舍去），故b的取值范围是[﹣2，2）∪{2}，故答案为：[﹣2，2）∪{2}．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）15．（10分）设点P（2，5）关于x轴的对称点为Q，求过点Q且与直线x+y﹣3＝0垂直的直线l的方程．【分析】先求出Q，然后结合直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再结合直线的点斜式方程可求．【解答】解：由题意得Q（2，﹣5），所以过点Q且与直线x+y﹣3＝0垂直的直线l的方程为y+5＝x﹣2，即x﹣y﹣7＝0．【点评】本题主要考查了点关于直线的对称，直线垂直关系的应用，还考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题．16．（10分）抛物线y2＝4x截直线y＝2x+k所得弦长为3．（1）求k的值；（2）以此弦为底边，以x轴上点P为顶点的三角形面积为9，求点P坐标．【分析】（1）联立方程可得，4x2+4（k﹣1）x+k2＝0由Δ＞0有16（k﹣1）2﹣16k2＞0得k＜，由弦长公式可得弦长＝3＝，可求k；（2）设P（x0，0），先求点P（x0，0）到AB：2x﹣y﹣4＝0距离d＝，再根据|AB|d＝9，可求P得坐标．【解答】解：（1）联立方程可得4x2+4（k﹣1）x+k2＝0，由Δ＞0有16（k﹣1）2﹣16k2＞0，解得k＜，设A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2＝1﹣k，x1x2＝，∵AB＝3＝，解得k＝﹣4符合题意，∴k＝﹣4；（2）由（1）可得4x2﹣20x+16＝0，则A（1，﹣2）B（4，4），所以AB方程为2x﹣y﹣4＝0，设P（x0，0），则点P（x0，0）到AB：2x﹣y﹣4＝0距离d＝，依题意|AB|d＝9，即××3＝9，解得x0＝5或x0＝﹣1，∴P（5，0）或P（﹣1，0）．【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示由AB＝，这是圆锥曲线的考查的热点之一，属于中档题．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求PC与平面ACE所成角的正弦值；（3）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知证明AD⊥平面PAB，得PA⊥AD，同理PA⊥AB，再由直线与平面垂直的判定可得PA⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量与的纵坐标，由两向量所成角的余弦值可得PC与平面ACE所成角的正弦值；（3）设F（2，t，0）（0≤t≤2），求出平面PAF的一个法向量，代入点E到平面PAF的距离公式，构造方程求出t值，可得结论．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，则AB⊥AD，∵PB⊥BC，AD∥BC，∴PB⊥AD，又AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB，∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥AD，同理，PA⊥AB，∵AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD；（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），＝（0，1，1），＝（2，2，0），设平面ACE的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），又＝（﹣2，﹣2，2），则PC与平面ACE所成角的正弦值为|cos＜＞|＝＝；（3）解：设F（2，t，0）（0≤t≤2），则，＝（2，t