第三讲-2.3直线的交点坐标与距离公式（解析版）

目录第三讲直线的交点坐标与距离公式 2入门测 2题型一：两条直线的交点坐标 3知识清单 3典型例题 4方法总结： 6题型二：两点间的距离 7知识清单 7典型例题 8方法总结： 9题型三：点到直线的距离 10知识清单 10典型例题 11题型四：两条平行直线间的距离 13知识清单 13典型例题 14方法总结： 16出门测 17课后练习 18第三讲直线的交点坐标与距离公式入门测12．直线3x－2y＝4的截距式方程是()A.eq\f(3x,4)－eq\f(y,2)＝1 B.eq\f(x,\f(1,3))－eq\f(y,\f(1,2))＝4C.eq\f(3x,4)－eq\f(y,－2)＝1 D.eq\f(x,\f(4,3))＋eq\f(y,－2)＝1解析：选D求直线方程的截距式，必须把方程化为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．2．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．解析：α＝60°，k＝tan60°＝eq\r(3)，由点斜式方程，得y＋4＝eq\r(3)(x＋2)．3．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.答案：y＝－3x＋24当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，解得a＝－3.5.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：(1)顶点的坐标；(2)直线的方程.答案：(1);(2)

题型一：两条直线的交点坐标知识清单知识1：两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是方程组的解是知识2：两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的公共点个数一个无数个零个直线与的位置关系相交重合平行【理解】两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设，，则与相交的条件是或．(3)设两条直线1，，则与相交⇔k1≠k2.

典型例题1.判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2)；(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2).解析：(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,3)，,y＝\f(14,3).))所以l1与l2相交，且交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(14,3))).(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋3＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②))②×6整理得2x－6y＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②))②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.2.求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．[证明]法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝eq\f(1,2)时，直线方程为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若对任意m都成立，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4.))所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．3．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．解：法一：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.4.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是()A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2解析：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋ay＋1＝0，,x＋y＋a＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－a－1，,y＝1，))将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2①；(2)若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1②，当a＝1时，l1与l2重合；(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合；(4)若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.[答案]D5.直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)解析：选C由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋10，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝－8，))即直线y＝2x＋10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)，代入y＝ax－2，解得a＝eq\f(2,3).方法总结：1.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．2．解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．

题型二：两点间的距离知识清单知识1：两点间的距离公式(1)公式：点，间的距离公式.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．【理解】(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成.(2)当直线平行于轴时，.当直线平行于轴时，.当点,中有一个是原点时，.

典型例题1.已知三顶点坐标，试判断的形状．解析：法一∵|AB|＝eq\r((3＋3)2＋(－3－1)2)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r((1＋3)2＋(7－1)2)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r((1－3)2＋(7＋3)2)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－(－3))＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－(－3))＝－eq\f(2,3)，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r((1＋3)2＋(7－1)2)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r((3＋3)2＋(－3－1)2)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．2．已知点A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得eq\r(x＋12＋0－22)＝eq\r(x－22＋0－\r(7)2)，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝eq\r(1＋12＋0－22)＝2eq\r(2).3.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.

方法总结：计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．

题型三：点到直线的距离知识清单知识1：点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点到直线的距离.【理解】1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求到直线的距离，应先把直线方程化为，得.2．点到几种特殊直线的距离(1)点到轴的距离；(2)点到轴的距离；(3)点到与轴平行的直线的距离；(4)点到与轴平行的直线的距离.

典型例题1.求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.解析：(1)直线y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq\f(18,5).(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.2.已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1解析：选C由点到直线的距离公式知d＝eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))＝1，得a＝－1±eq\r(2).又∵a＞0，∴a＝eq\r(2)－1.3.已知直线经过直线与的交点．(Ⅰ)若点到的距离为3，求的方程；(Ⅱ)求点到的距离的最大值．解法一联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,x－2y＝0))⇒交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，∴l的方程为y－1＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|5(2＋λ)－5|,\r((2＋λ)2＋(1－2λ)2))＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或eq\f(1,2)，∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,x－2y＝0))，解得交点P(2,1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).

题型四：两条平行直线间的距离知识清单知识1：两条平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．(2)公式：两条平行直线与之间的距离.【理解】(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且，的系数对应相等．(2)当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决①两直线都与轴垂直时，，，则；②两直线都与轴垂直时，，，则.

典型例题1.求两平行线与之间的距离．解析：法一在直线l1：2x－y－1＝0上任取一点，不妨取点P(0，－1)则点P到直线l2：4x－2y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|4×0＋－2×－1＋3|,\r(42＋－22))＝eq\f(\r(5),2)∴l1与l2间的距离为eq\f(\r(5),2).法二将直线l2的方程化为：2x－y＋eq\f(3,2)＝0.又l1的方程为：2x－y－1＝0，∴C1＝－1，C2＝eq\f(3,2)又A＝2，B＝－1由两平行直线间的距离公式得：d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(3,2))),\r(22＋－12))＝eq\f(\r(5),2).2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．解析：法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，eq\f(1,2))，则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为eq\f(|－12×\f(1,2)＋C|,\r(52＋－122))＝eq\f(|C－6|,13)，由题意，得eq\f(|C－6|,13)＝2，所以C＝32，或C＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝eq\f(|C－6|,\r(52＋－122))，解得C＝32，或C＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m＝2.法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝eq\f(|6×0＋2×3－1|,\r(62＋22))＝eq\f(\r(10),4).法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－eq\f(1,2)＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,2))),\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),4).

方法总结：求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

出门测1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：选Dd＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝eq\f(17,3).3．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋eq\f(5,2)＝0，则由两平行线间的距离公式得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－\f(5,2))),\r(42＋32))＝eq\f(1,2).4.已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．证明：法一：∵|AB|＝eq\r(5－12＋3－12)＝2eq\r(5)，|AC|＝eq\r(0－12＋3－12)＝eq\r(5)，又|BC|＝eq\r(5－02＋3－32)＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形．法二：∵kAB＝eq\f(3－1,5－1)＝eq\f(1,2)，kAC＝eq\f(3－1,0－1)＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为eq\f(y,2－0)＝eq\f(x＋3,1＋3)，即x－2y＋3＝0.由两点间距离公式得|BC|＝eq\r(－3－12＋0－22)＝2eq\r(5)，点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝eq\f(|－1－2×3＋3|,\r(12＋－22))＝eq\f(4\r(5),5)，所以S＝eq\f(1,2)|BC|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\f(4\r(5),5)＝4，即△ABC的面积为4.

课后练习1.已知直线l：,则直线在轴上的截距是（A）1 （B）－1 （C） （D）－2【答案】D2.直线的倾斜角及在轴上的截距分别为（A），2 （B），（C）， （D）【答案】B3.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过定点，则直线的方程为________．【答案】x＝34.若两点的坐标分别满足，，则经过、两点的直线方程是______________。【答案】5.已知直线与直线互相垂直，则（（A）－1 （B） （C）1 （D）4【答案】C6.经过点的直线在两坐标轴上的截距都是正数，且截距之和最小，则直线的方程为（A） （B）（C） （D）【答案】B7.已知、、，则直线必不经过（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】D8.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)解析：选A由题意，结合图形可知点M必然在直线x＋y－6＝0上，故M到原点的最小距离为eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).9.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为()A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0解析：选C由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝eq\f(2－4,－3－3)＝eq\f(1,3)，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.10．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．解析：由题意设P(a,0)，则|PQ|＝eq\r(a－12＋0－32)＝5，解得a－1＝±4，即a＝5或－3.故点P的坐标是(5,0)或(－3,0)．11．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．解析：因为p＝2q＋1代入整理：(2x＋1)q＋3y＋x＝0对q为一切实数恒成立，即2x＋1＝0，且3y＋x＝0，所以x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,6).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,6)))12.分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.解：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－3＝0，,x－y＝0，))得交点P(1,1)．(1)若直线与l1平行，∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)即：2x－y－1＝0.(2)若直线与l2垂直，∵k2＝eq\f(3,2)，∴斜率k＝－eq\f(1,k2)＝－eq\f(2,3)，∴y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)即：2x＋3y－5＝0.13.已知两直线，求分别满足下列条件的的值。（Ⅰ）直线过点，并且直线与垂直；（Ⅱ）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等。【答案】14．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－4＝0，,4x＋3y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－\f(2,3)))，即直线l过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(2,3))).①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方