新课程小学数学思想方法解读与备课专

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑

［超连接］

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（一）数的认识

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（二）数的运算

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（三）——“式与方程”

与“正比例、反比例”

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（四）——探索规律

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（五）——图形的认识、

测量

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（六）——图形与变换

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（七）——图形与位置

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑（八）——所有的判断

都是统计

理解数学改变课堂

---写在前面的话

为了帮助广大小学数学教师提升专业素养，进一步提高实施

新课程的水平，从而更有效地进行小学数学教学，全面提高教学

质量，本期特别推出《新课程小学数学思想方法解读与备课专

辑》。此《专辑》以小学数学四大领域（数与代数、空间与图形、

统计与概率、实践与综合应用）内容为逻辑框架，兼顾了多种版

本的教材，从各学段教学的重点难点内容出发，通过丰富、精彩

的案例对教师的的备课、教学给予具体的指导和建议，特别是对

教师在教学中普遍存在的问题与困惑进行了澄清和提示。此《专

辑》着眼于新课程小学数学教学的本质内涵，阐释了小学阶段的

核心教学理念、数学思想和数学方法，并以开阔的视野，对小学

数学内容进行了整体解读，是教师朋友提高教学能力的良师益

友。

此《专辑》的撰写者均为对数学教学有着深刻理解、教学积

累深厚、具有新课程教学实力的著名特级教师、优秀教师，他们

研究的是日常课程教学中的实践问题，但又不囿于对日常教学的

一般认识，在文章中，通过阐述和课例分析，提示了数学教学的

本质和规律，他们以个人的研究专长，展现了自己在相应领域中

的教学精华，使《专辑》闪烁着思想与实践的光辉。

此《专辑》的编辑工作长达半年之久，期间我们曾请一些教

学专家和一线教师试读，听取他们的读后感，因此《专辑》是在

反复研究和修改后面世的。

因篇幅所限，由斯苗儿撰写的“实践与综合运用”部分将后

续刊出，敬请读者继续关注。

此《专辑》文章观点精粹如下：

数与代数

理解意义培养数感

——“数的认识”备课解读与难点透视

认数教学以理解数的意义为重点。让学生理解数的意义，建

立正确的数的概念一般有两个角度：一是从数的组成去建构；二

是联系实际来体会。

数感需要培养。数感与具有数学知识的多少、理解数学知识

的程度有关，但更多地表现为应用数与运算的态度和意识。

如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用

概念中的直观成分，能有效地降低教学难度。

把握基本矛盾走向有效教学

——“数的运算”备课解读与难点透视

在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重

口算训练的科学合理性。

基本算法并不是唯一算法，基本算法应该是指同一思维层次

上的方法群。多数学学生喜欢的方法，教师易教、学生易学的方

法，对后续知识的掌握有价值的方法，是最理想的基本算法。

在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充

分体验中逐步完成由动作思维向形象思维，再向抽象思维的发展

过程。

把握“转折”：从“算术”走向“代数”

——“式与方程”和“正比例、反比例”

备课解读与难点透视

在教学认识方程时，教师要有“建模”意识。解方程不能演

绎为操作、训练解方程技巧的过程，而应当成为数学模型转换、

深刻理解“相等关系”的过程。

比的教学重在理解比的意义，而不只是解决实际问题。

一个凸显数学本质的教学领域

——“探索规律”备课解读与难点透视

探索规律作为小学数学知识结构新的部分，也需要系统的眼

光，构建一个适合学生学习的序列。

从在一个单位时间设计一个教学活动的教学角度看，教材的

编写和课堂教学的设计都是选择的艺术。教学目标的多元化也促

使教学时要更注重效率。

空间与图形

认识图形世界发展空间观念提升数学思考

——“图形的认识、测量”备课解读与难点透视

该告诉的不妨告诉；只是以怎样的方式“告诉”，却是一门

艺术。

唯有将观察活动与想象、推理、表达、思考有机结合为一体,

观察能力才能真正得以培养。

要善于引导学生在适当的时候跳出具体的、直观的解题方

法，以相对抽象、更为一般的层面上认识算法、理解问题结构。

“图形与位置”的备课与教学

准确把握教学目标，不要偏离“初步认识”的整体定位。

要依据儿童认知空间方位的特点确立教学的难点和组织教

学。

要善于借助适当的情境与活动，以提示数学知识的实际背景

与现实原型。

“图形与变换”的备课与教学

什么是变换？什么是平移、旋转和轴对称？教师先要理解这

些基本的概念。

要注意选择典型的、更能体现数学意义的教学活动，否则就

容易遮蔽数学概念的本质。

要注意引导学生对观察对象加以适当的简化、抽象、忽略一

些无关紧要的细节。

统计与概率

“所有的判断都是统计学”

——“统计与概率”教学备课难点解析

以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法，

它有别与讲究因果关系的逻辑思维。

学生凭借经验就能判断“可能”和“一定”，还需要做实验

吗？鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、

修正他们对概率的认识。实验不仅要做，而且是要多次做。

“动手实践，主动探索”绝不能简单地等同于“动手活动”，

二者的主要区别在于前者有着明确的目的性和高度的思维含量。

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理解意义培养数感

——“数的认识”备课解读与难点透视

深圳黄爱华罗忱红

一，内容变化。

数的认识在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和

认识小数三大块。我们知道，《数学课程标准（实验稿）》对数系

作了以下规定：

/正整数

r整数o

I负整数

有理数r正分数

分数

负分数

（正整数和0统称为自然数）

与以往相比，这个规定蕴含的主要变化有：（1）明确规定了

。是自然数。过去教材把“用来表示物体个数的1,2,3,4,...

的数，叫做自然数”。“0和自然数都是整数/而现在则是：正

整数和0统称自然数。（2）增加了认识负整数的教学内容，从而

在小学阶段完成了对整数的认识。

二，整数的认识。

首先认识自然数，是因为生活中存在着各种各样不同的数

量，学生在入学前，就有了一定的生活经验。通过数数，在认识

最基本的数学符号1,2,3,…的同时知道自然数的作用是用来

表示物体的个数。初步体会数学的作用和特征，即数学可以解决

生活中有关数及其关系的问题以及数学的抽象性和符号性。

教材处理自然数的认识大致可以分为四大块：认识100以内

的数、认识比100大的数、因数与倍数、认识负数。在安排认识

100以内数的时候，大多教材都会细分为三个阶段：第一阶段：

认识10以内的数（含10以内数的加减）。第二阶段：认识11—

—20之间的各数（含20以内数的加减）。第三阶段：认识100

以内的数（含相应的加减和表内乘除）o

认识比100大的数，不同版本有不同的处理。人教版和北师

大版教材分两段完成：（1）认识万以内的数；（2）认识万级、亿

级的数。苏教版教材分三段完成：（1）认识千以内的数；（2）认

识万以内的数；（3）认识万级、亿级的数。

“因数与倍数”的教学既帮助学生进一步理解和认识整数，

又为分数的学习提供准备，一般另设单元，放在教材适当的位置。

“认识负数”一般另设一个单元，放在教材的某一册中。

1,认数教学以理解数的意义为重点。

让学生理解数的意义、建立正确的数的概念是认数教学的任

务。理解数的意义一般有两个角度：一是从数的组成去建构，二

是联系实际来体会。传统教学偏重前者，新课程则认为把这两个

角度有机地结合起来效果更好。而且联系实际体会数的意义，更

有利于学生在现实生活中应用自己认识的数。

理解数的意义包括：

数的含义。如：认识整数、小数、分数、百分数和负数，探

索各种数之间的联系，会进行整数、小数、分数、百分数之间的

相互转化；能感受大数的意义并进行估计；知道整数、奇数、偶

数、质数、合数。

计数技能。如：能认、读、写数；会用数表示物体的个数或

事物的顺序和位置；认识数位，了解十进制计数法，识别数位上

数字的意义。

数的相对大小关系。如：认识“<，=,>”的含义，能够

用符号和词语描述万以内数的大小；会比较小数、分数、百分数

大小。

数学交流。如：能运用数表示日常生活中的一些事物，并进

行交流；在熟悉的生活场景中，了解负数的意义，会用负数表示

生活中一些常见的问题。

数学活动。如：能找出10以内某个自然数的小于100的所

有倍数，知道2,3,5的倍数特征；能找出10以内两个自然数

的公倍数、最小公倍数；能找出1——100中某个自然数的所有

因数；能找出两个数的公因数、最大公因数。

(1)让学生在生动具体的情境中认识数。

小学生，尤其是低年级学生学习数学的热情和积极性，在一

定程度上取决于他们对学习素材的感受与兴趣。现实的、有趣的、

具有挑战性的问题情境，容易激活学生已有的生活经验和数学知

识，激起学习的愿望，调动学生解决问题的策略与机智。因此这

部分内容的教学应该注意从学生熟悉的生活情境或童话世界出

发，选择学生身边的、生动有趣的、有利于学生主动探索的事物,

创设鲜明的问题情境。

案例1：“0的认识”（江苏谈晓晔郭庆松）

①（出示0的卡通形象）“0”自我介绍说：“小朋友，我的

名字叫零，我神通广大，无处不在。想想你在哪儿见过我呢？”

（让学生尽情地说。）

②“0”接着说：“那么你们知道我可以表示哪些意思呢？”

（让学生说说自己对0的认识。）

③今天这节课我们来认识0。

提示课题：0的认识。

•创设情境，探究新知。

①教师讲述：“在一个天气晴朗的星期天，四只小兔约好了

到野外去采蘑菇，我们来看看，它们分别采了多少个蘑菇。”（出

示下图）

让学生思考每只小兔采的蘑菇可以用哪一个数来表示。

学生介绍时，教师对应写出3,2,1,0。教师在写0时，注

意动作慢一点，让学生看清楚0是怎么写的。同时强调说明，“一

个也没有”用0表示，0与1,2,3一样也是一个数。

②先出示下图，让学生想一想，两幅图表示怎样的一件事情,

再跟同桌说一说。

4

提问：“原来的萝卜数用什么数表示？现在呢？”教师强调

一个萝卜也没有用0表示。

“你会写o吗？”让学生先想一想怎样写0,再让学生尝试

在“日”字格里书写0。

教师引导全班对几个同学的书写作出评价，同时教师强调写

0时的起笔、拐弯和收笔，强调拐弯要圆滑。

学生独立完成书本上的描红后继续在田字格里写出两个0,

教师巡视，注意对个别困难学生进行指导。

学生在小组内互相对所写的0进行评价。

③教师：“通过刚才的学习，我们知道0这个数可以表示什

么？是不是所有的0都表示一个都没有呢？请同学们拿出自己

的直尺，看一看直尺开始的地方是几？”

讲述：“在这里0表示起点，用尺子量长度时，从0开始量

起。”

谈话：“直尺上的数是怎样排列的？请你从左到右依次读一

读/

④小结：“通过刚才的学习，你能说说0能表示什么意思吗？”

这节课的特色有以下几点：一是创设了生动有趣的情境，以

情境支撑数的理解。二是数形结合，利用实物、图片帮助学生理

解数的意义。在教学中，通过数与物一一对应的方法，让学生经

历从具体物体的多少到抽象出数的过程，帮助学生理解数。三是

浓缩数的发生发展过程，突出“0”的教学。我们知道，在早期

的美索不达米亚数学时代就有使用60进制计数法的记录，然而

到了希腊数学的黄金时代却一度失去了它的魅力，直到公元8世

纪编数学家认识到“0”的作用后，才真正获得位值概念的基础。

从数字1——9到数字“0”的产生，这期间经历了若干世纪的发

展历程，学生却要在短短的一课时内解决，因此颇费心思。在本

节课中，教师通过让学生观察物体数量从有到无的过程，分析数

的变化，进而选择合适的数值表示……这一系列过程帮助学生去

认识“0”；然后从理解“0”的意义到写“0”，再到“0”还可以

表示其他的意义这些教学环节，为学生提供了在自主探索、比较、

分析、判断、概括的思维活动中体验、理解、掌握知识。即使是

写数字，也要让学生动脑筋想一想如何写，然后再书写，让学生

养成有步骤地思考问题、解决问题的习惯，在独立思考、合作交

流中完成学习任务。

结合情境认识10以内的数，是认数的开始，这阶段的教学

对建立数的概念十分重要。有的老师认为，许多学生入学前都已

经会数数了，现在只要写好数就行了。其实不然，教学10以内

数的认识应注意：①物体个数与数——对应，不能允许口中按顺

序数数，却不能与物体个数对应。②物体个数与数字——对应，

每个不同的数量与不同的数学符号（数字）对应。③注意选择不

同的情境和不同的学具，帮助学生理解数的意义。如3可以表示

所有数量是3个的物体，而与物体的大小、形状、质量等状态无

关。④知道数的作用不但可以用来表示数量的多少（基数），还

可以表示顺序（序数）和编码，如3可以表示有3个物体，也可

以表示第3个物体。

（2）理解数的意义要与数的读写和计算紧密结合起来。

首先，正确理解数的意义是读好数、写好数的基础，可使学

生在读数、写数时事半功倍。例如：在认识整百数时，可让学生

经历以下过程：

①亲身经历数数的过程，真正感受100有多少。可以让学生

数小棒、小方块或其他各种不同物体，一个一个地数，十个十个

地数。亲身经历数数的过程，比起看课件演示或听老师口头描述,

更有利于学生形成数感。

②经历100个一到1个一百的过程，建立计数单位的概念。

亲自动手把100根（或10小捆）小棒再捆成1大捆，经历100

个一到1个一百的过程，建立以“百”做计数单位的概念。

③经历1个一百到几个一百的过程。把各自的一百放到一起,

就是几个一百，通过合作得到几百。由于有前面数数的经历，容

易使学生明白：几个一百是几百，几百就是几百个1。

④借助计数器上的算珠与实物的对比，体会一个算珠放在不

同的位置上，可以表示1个（1根小棒）、10个（10根小棒或1

小捆小棒）、100个（100根小棒或10小捆小棒、1大捆小棒）,

实现以一当十、当一百的飞跃。

⑤实物、算珠与写数、读数对比。如真正含有300根小棒的

3大捆小棒，与计数器百位上的3个算珠，和写法300对照起来,

最终完成对几百的认识。

在活动中，学生体会到同一个数字在不同数位上表示的数值

是不同的，初步渗透位值思想，帮助学生进一步理解数，从而达

到更好地掌握数的读写的目的。

反之，熟练地读数、写数，也能更好地帮助学生理解数的意

义。例如：在认识整万数时，教材介绍了我国的计数习惯，根据

已有知识，给出各个数位的名称和顺序，让学生联系数的意义，

通过类比，推出数位的名称及顺序，认识新的计数单位，完善对

数位顺序表的认识。

教材编排一般是先认识一个范围的数，接着就是学习这个范

围内的数的有关运算。所以认识数的教学必须为数的运算的教学

作铺垫。读写教学中要注意：①在低年级，对数的分解和组成，

要作为基本的技能来训练；在高年级，要在读写中体会数的分解

与组成。②读写数教学的重点是万以内数的读法和写法。③读写

数教学的难点是多位数的读法和写法，特别是中间有0的数的

读、写。突破的方法是先分级，再从高往低逐级读，实在了读法，

写法也就不难了。

现行的课程标准实验教科书大多没有用文字形式总结多位

数的读法和写法，这并不是不重视读数与写数的基本方法，而是

为教学留出空间，由教师组成学生体验方法、交流方法。学生总

结的方法是自己真实的体会和经验，是主动获得知识的表现。

2,了解十进制计数法对理解数的意义有重要作用。

整数的计数方法是十进制计数法，学生了解十进制计数法对

理解整数的意义有重要的作用。十进制计数法的主要内容有两部

分：一是计数单位间的关系一一每相邻两个计数单位间的进率是

10;二是计数法的位值原则一一哪一个数位上的数是几，就表示

有几个这样的单位。

(1)认识10是关键。

学生从认识1,2,3…起，老师就应帮助学生体会，数字是

用来表示生活中各种不同的数量的，每一个不同的数量，都用一

个不同的符号(数字)来表示。当数量从9增力口1至U了10,按

理应该用一个新的符号来表示，但这样一来，如果每一个不同的

数量，都用一个不同的符号(数字)来表示，就需要有无限多的

符号。前人在9的后面用“10”来表示，没有创造使用新符号，

而是例行了一个数位，十位上的“1”就代表10,这样就方便多

了，一个10和几个1是十几，就有了11,12,13…，这就是位

值制的基础。这样，0到9十个数字就可以表示出生活中无限多

的物体的个数。这个创造太科学了，可以让学生从中体会到数学

的抽象性与符号性的好处。所以，教学中建立好10的概念非常

重要。

(2)按单位数数。

为帮助学生了解十进制计数法，可以通过一个单位、一个单

位地数，逐步建立新的计数单位。学生在学习万以内数的时候，

就要明确地知道，io个一是一••10个十是一百、10个百是一

千、10个千是一万，即10个单位就是一个相邻的较大单位。学

习比万大的数，可以一边数一边接受10个万是十万、10个十万

是一百万、10个百万是一千万，从而引出了新的计数单位十万、

百万和千万。一千万一千万、一亿一亿、十亿十亿…地数，教学

计数单位亿、十亿、百亿和千亿。在一个单位、一个单位地数的

活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单

位，感受了两个相邻计数单位间的进率都是10。

(3)不断扩展数位顺序表。

随着认识的数越来越大，教师应不断扩充完善数位顺序表。

从认识10~20的数起，就让学生了解个位和十位。认识百以内

数时，及时补充认识百位。在“认识万以内数”的时候，第一次

出现了数位顺序表。在认识整数的最后一个单元里，学生将认识

万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩

展，先扩展到万级，把十万、百万、千万这三个计数单位引上计

数器，了解个、十、百……千万在计数时的排列顺序。然后让学

生在数位顺序表里填写十万位、百万位和千万位，通过填写知道

从个位到千万位的数位顺序，初步把这些数位分成个级和万级。

再扩展到亿级，表里的内容也丰富了，有数级、数位、计数单位。

教材把亿级及相关的数位、计数单位都留给学生填写，让他们知

道数级、数位和计数单位间的对应关系。在整理了数位顺序表后,

还应通过“每相邻两个计数单位之间有什么关系”这个问题，概

括地讲述十进制计数法。

体会位值原则，有助于学生了解十进制计数法，理解数的意

义并掌握读数、写数的方法。

下面的案例2中，教师通过组织学生玩抽签游戏，使学生结

合现实的素材，自己理解和解释不同位值上的数所表示的意义，

既有趣，又充满了数学的味道。

案例2：“万以内数的大小比较”教学片断

•第一次抽签，从个位抽起。

游戏规则：①每次两队各派一个代表抽签；②第一次抽到的

数字放在个位上，第二次抽到的放在十位上，第三次……③哪一

队抽到的数字组成的四位数大，哪一队就赢；④能确定胜负时，

本轮比赛结束。

师：我们把全班同学分为两个队，一个叫黄河队，另一个叫

长江队。请两位同学代表来抽签。

（黄河队抽到3,长江队抽到8。才巴3与8的卡片分别贴到

个位上。）

师：现在能定胜负吗？可以玩下一轮了吗？

生1：虽然8比3大，但还不能确定胜负。

师：为什么？

生2：因为8是代表8个1,3是代表3个1,如果其他数位

上的数字两队都一样，就可能赢。

师：那我们接着抽吧！

（黄河队抽到9,长江队抽到5。把刀与5的卡片分别贴到

十位上。）

师：目前哪个队抽到的数比较大呢？

生1：黄河队。

师：现在能定胜负吗？

生1：还要看百位。

师：是不是抽了百位就可以定胜负了呢？

生3:还不行。

生4：要所有的位都抽出来，才知道谁能赢！

学生抽出结果后，教师板书：4593<7358O

师：长江队赢了！请大家像老师这样做好记录。

师：通过刚才的游戏，你有什么话想说？

师：最关键的一抽是哪一抽？为什么？是不是还可以这样

想：一个是4000多，5000不到，另一个已是7000多了，当然

7000多的大。（一起把4和7圈上）

师：假如黄河队的千位上抽的也是7呢？7593和7358怎样

比较？

生：如果千位的数一样，就看百位，百位上的数大这个数就

大。

师：这时该圈哪两个数字？（5和3）

师：如果黄河队的千位上抽的是0呢？该怎么比较？

•第二次抽签，从千位抽起。

游戏规则：①每次两队各派一个代表抽签；②第一次抽到的

数字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……③哪一

队抽到的数字组成的四位数大，哪一队就赢；④能确定胜负时，

本轮比赛结束。

（黄河队抽到8,长江队抽到5。才巴8与5的卡片分别贴到

千位上。）

师：让我们接着抽。

生：不用抽了。黄河队赢了，因为8个千比5个千大。

师：假如长江队百位上抽到9,黄河队百位上抽到6,能赢

回来吗?

生1：不能。因为百位就是抽到9,也只代表900,都不够

1000,而刚才黄河队比长江队多3000。

师：百位、十位和个位都抽到9呢？

生2：老师，不用再抽了，胜负已经知道了。玩下一轮吧！

师：记录还是要做的，怎么写？

生：8□□□〉5口口口。

・第三次抽签，由抽签者自己决定放在哪一位上。

游戏规则：①每次两队各派一个代表抽签；②每一次抽到的

数字由抽签者自己决定放在哪一位上；③哪一队抽到的数字组成

的四位数大，哪一队就赢；④能确定胜负时，本轮比赛结束。

（黄河队抽到3,学生把3放到个位上，长江队抽到7,学

生把7放到百位上。）

师：请你们说说，为什么这样放？

生1：我抽到的3太小了，放在个位比较好，让出高位给大

数字。

生2：我抽的7比较大，本来想放到千位，但要是等一下，

我们组还有人手气比我好，抽到8或9,放在千位更好，所以把

7放在百位。

师：要是等一下抽到的数都比8小，怎么力、？

生2：那也没办法，博一博呗！

生3:也不一定输，还得看第三组抽到什么数。

生：黄河队赢了，因为9853〉6728。

师：请同学们小组交流刚才大家提出的问题：①比较的方法;

②数位相同时怎样比较；③万以内数的比较和千以内数的比较有

什么不同；④比较的时候有没有简便的方法。

师：该老师玩一玩了。我抽出四个数字，帮我记一下：3,9,

2,6。用这四个数字组成一个最大的四位数是多少？最小的呢？

你能组成第二大的或第二小的吗？

在一些课堂上，老师通常把知识怎样发生的、问题怎样解决

以及解决的策略和结果都通过讲解呈现给学生。具体到比较数的

大小，一般是先教比较数的大小的方法，再运用这个法则判断两

个数的大小。而这节课另辟蹊径。教师创设情境，利用比赛的形

式，激起学生的求知欲望，脱离枯燥的比较数的大小的方法，以

对数的意义和位值原理的理解支撑数的相对大小关系的比较。教

师利用任务驱动的方式，设置富有挑战性的教学内容（哪一队抽

到的数字组成的四位数大，哪一队就赢），让学生在解决问题中

感受数的意义，发展数感；教师设计的游戏规则饶有深意一一①

第一次从低位抽起；②第二次从高位抽起；③第三次每抽到一个

数字由抽签者自己决定放在哪一位上。游戏中教师让学生充分交

流，让学生在游戏中自我完善对数的相对大小的认识，在不断的

比较中优化、加深了对数位、计数单位、十进制的认识，强化对

数的理解。整节课中，没有教学比较大小的方法，但每抽出一个

数位上的数，会引起孩子们的关注和思考，老师抓住这种时机及

时让他们讨论（现在能定胜负吗？可以玩下一轮了吗？最关键的

一抽是哪一抽？为什么？）,这样，数的大小比较法则背后的道

理就由学生分析出来了。游戏后，老师及时让学生总结比较两个

四位数的大小的方法，由于有了前面的活动和讨论，学生就有了

要说的话：“比较两个位数相同的数的大小，先比较它们的最高

位……”这样抽象的法则，变成了学生生动的语言。

3,让学生在数学活动中形成数感。

“数感”主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示

数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达的

交流信息；能为解决问题而选择适当的算法，并对结果的合理性

作出解释。

“数感”并不神秘。它是人对数与运算的一般理解，这种理

解使人将数与现实情境联系起来，使人眼中看到的世界有了量化

的意味。

“数感”十分重要。它关系到人的数学意识，即能用数学的

视角去观察现实，能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解

决实际实际问题。一句话，它关系到人拥有的数学知识是“活”

的还是“死”的。

“数感”需要培养。数感与具有数学知识的多少、与理解数

学知识的程度有关，但绝不是正比例关系。数感更多地表现为应

用数与运算的态度与意识，突出表现为主动、自觉地应用。小学

生的数感与有没有得到培养成正相关。这种培养需要老师的精心

设计。

4,让学生体会数学符号产生的需要和作用。

除了“空间观念”曾被列入原《大纲》夕卜，数感、符号感、

统计观念等都是由《标准》首次明确地列为数学课程的学习内容。

《标准》把数学思考落实到建立初步的两“感”、两“观念”上,

落实到学生认识并掌握重要的数学知识的过程中。

符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化

规律，并用符号来表现；理解符号所代表的数量关系和变化规律;

会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表

达的问题。

符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解以及主动地使

用符号的意识和习惯。这里包含三层意思：一是理解各种数学符

号的意义，即表示什么意思，在什么时候使用以及怎样使用，这

是发展符号感的基础。二是理解数学符号的作用与价值：为什么

使用符号、有哪些好处，这是发展符号感的重点。三是在学习数

学和应用数学时，在独立思考和与人交流时，都能经常地、主动

地甚至创造性地使用符号，这是具有符号感的表现。

发展学生的符号感可以从以下几方面进行：

(1)结合数学内容，体会数学符号的作用。

常见的数学语言有文字语言和符号语言，符号语言是在文字

语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的

方式简练地表示出来，方便人们进行表达、交流、思考以及解决

问题。

教学常用的数学符号，首先要注意结合具体的情境，让学生

了解数学符号产生的需要，体会由于使用符号，才能清楚、简便

地表达这些具体情境中的数量关系和变化规律。数学符号为我们

进行表达和交流带来了便捷。其次要在具体的情境中抽象出数量

关系和变化规律，并用符号表示，使学生认识符号、会用符号，

体会到符号是语言的一种形式，数学符号是数学语言的一部分。

(2)参与创造符号，体会符号发展过程。

数学符号在数学教科书里有很多。如表达大小关系的符号

和“=”；表达运算的符号“+”，“一”，“X”，“+”；

表达运算顺序的小括号、中括号；0,1,2,3,…，9是数字符

号，它们能组成无数个数；小数点、分数线、百分号、千分号等

是特定的数学符号；字母也可以作为符号，用来表达数量关系、

计算公式……这些符号是人们公认的，习惯使用的，属于数学事

实。

当学生在具体的情境中体会到需要符号的时候，先让学生经

历自己创造数学符号的过程，体会到数学符号原来并不神秘，是

人创造的，在长期的生产生活中不同的符号在使用时逐步发展统

一成现在的符号。这也能帮助学生形成符号感。

数学符号的教学，教师一般比较多地采取简单告诉的方法，

容易使学生对数学符号产生神秘感。下面的案例中，老师就很好

地帮助学生消除了这种神秘感。

案例3:“循环小数”教学片断

师：（指板演题）“3.333…”中不断重复出现的数字是哪一

个？（3）在“5.32727……”中依次不断地重复出现的数字是哪

几个？（2,7）在“6.416416……”中不断地重复出现的数字是

哪几个？（4,1,6）

师：我们能不能想一个办法，让循环小数的写法简单一些，

比如，去掉省略号，依次不断重复出现的数字只写一次，也依然

能让人看出这个循环小数的意思？

生1：我想了一个办法，3.333…写作3.（3）;5.32727…写

作5.3（27）;6.416416…写作1（416）。

生2：我的办法是,3.333…写作3.3;5.32727…写作5.327;

6.416416…写作6.416。

生3:我的办法是，3.333…写作3.（无限）;5.32727…写

作5.3（无限）；6.416416…写作6（无限）。

生4：我的办法是，3.333…写作3.3（3无限）；5.32727...

写作5.327（27无限）；6.416416…写作6.416（416无限）。

生5:我的办法是，3.333…写作3.5;5.32727…写作5.3万；

6.416416…写作6.416。

师：你认为哪种符号比较好？

生1：不要有汉字比较好。

生2：第五种办法比较好，简洁明了。

生3：我认为6•石％,只要在循环节的第一个数字和最后一个

数字上点上点就可以了。

教师不急于把简便写法告诉学生，而是让学生自己想办法去

创造符号，使学生在想办法的过程中体会到数学符号产生的需

要，体会到数学知识中符号是一种约定俗成，符号不再那么神秘,

而当有些学生的思路接近数学上的约定俗成时，他们体会到的是

一种学习成功的满足。在此基础上，组织学生对所创造的符号进

行认论，进一步体会数学符号简捷明了的特点。

(3)鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。

数学符号中还有一类不容忽视。这类符号只属于个人，是个

人创造并习惯使用的。这类符号更有利于人开展数学思考，发现

规律和找到解决问题的方法，更便于表达和交流。在过去的数学

教学中，往往忽视了这一类数学符号。在使用自己的符号时，最

能体会符号的价值，最能感受符号对自己思维的帮助，也最能积

累使用符号的经验。这些正是符号感最重要的部分。所以应尽量

鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。

5,帮助学生认识负数，实现认识数的质的飞跃。

现实世界中存在着许多具有相反方向的量，或某种量的增大

和减小，也可用这种量的某一状态为标准，把它们看作是向两个

方向变化的量。要确切地表示这种具有相反方向的量，仅仅运用

原有数(自然数和分数)就不够了，还必须把这两个互为相反的

方向表示出来，于是产生了正数和负数。数从表示数量的多少到

不但表示数量的多少，还表示相反方向的量，是数的发展的一个

飞跃，老师要帮助学生完成这个飞跃。

正数和负数的认识，过去安排在中学有理数中学习，《标准》

高速安排在小学的第二学段初步认识负数，有利于完整地建立整

数的概念。教学时要注意：（1）通过丰富多彩的现实生活情境，

帮助学生了解负数的意义。（2）借助直观，理解相反的分界点与

“0”的关系。知道0既不是正数，也不是负数。（3）通过分步

呈现数轴（不用告诉数轴名称）等办法，使学生认识到正数都大

于0,负数都小于0。

案例4：“认识负数”教学片断（江苏缪宇虹）

老师搜集了某天四个城市的最低温度资料，并用温度计图片

显示：香港19摄氏度，请学生认读香港的最低气温，并介绍如

何读温度计。此后依次出示上海（3摄氏度）与南京（0摄氏度）

的温度计图片，请学生分别认读，并进行比较。再提问：在数学

上怎样区分零上3摄氏度和零下3摄氏度呢？教师讲解：规定零

上3摄氏度记作+3摄氏度或3摄氏度，规定零下3摄氏度记作

-3摄氏度。然后详细介绍读法和写法。最后总结：“现在，我们

可以说那一天上海的气温是+3℃,北京的气温是-3℃……”

•感知生活中的正数和负数。

师：新疆吐鲁番是我国海拔最低的地区，你知道它的海拔高

度是多少？

出示海拔高度图:

教师依次提问：“从图中你知道了什么？“以海平面为标准,

珠穆朗玛峰比海平面高，吐鲁番盆地比海平面低/“你能用今天

学的知识表示这两个地方的海拔高度吗？”最后小结：“用正负

数还可以区分海平面以上的高度和海平面以下的高度」

此后请学生做如下练习：

(1)用正数或者负数表示下面各地的海拔高度。(出示海拔

高度图)

中国最大的咸水湖一一青海湖的海拔高度高于海平面3139

米。

世界最低最咸的湖一一死海低于海平面400米。

世界海拔高度最低的国家一一马尔代夫比海平面高1米。

(2)说说下面的海拔高度是高于海平面还是低于海平面？

里海是世界上最大的湖，水面的海拔高度是-28米。

太平洋的马里亚纳海沟是世界上最深的海沟，最深处海拔

-11034米。

•描述正数和负数的意义。

出示：+3,-3,40,-12,-400,-155,+8848

师：你能将这些数分分类吗?

师：像+3,40,+8848这样的数都是正数，像一3,-12,-400,

-155这样的数都是负数。

师：从温度计上观察，0摄氏度以上的数都是正数，0摄氏

度以下的数都是负数。海平面以上的数都是正数，海平面以下的

数都是负数。

师：0是正数和负数的分界线，0既不是正数也不是负数。

正数大于0,负数小于0。

•寻找生活中的正数和负数。

师：在生活中，哪里见过负数？

学生说出存折、电梯面板等等，老师要求学生说明这些负数

的意思。

师：（电脑出示有关图片）像零摄氏度以上与零摄氏度以下、

海平面以上和海平面以下、地面以上和地面以下、存入和取出、

比赛的得分和失分、股价的上涨和下跌等等，都是具有相反意义

的量，都可以用正负数来表示。课后请同学们搜集有关负数在生

活中应用的资料，下节课来交流。

三、分数的认识。

在表达平均分的结果的时候，遇到了分的结果比1还要小的

情况，比如一半、小半、大半等，如何表示这样的结果呢？这时

候只有自然数显然是不够的，于是引进了分数。这时候认识的分

数，都是把一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或者几份

的。这就是“分数的初步认识”。后来扩展到不但可以把一个物

体平均分，如果把一些物体、一个计量单位等看作一个整体，平

均分以后，其中的一份或者几份，虽然是一个或几个，可以用自

然数来表示，但也可以理解为是这个整体的几分之一或几分之

几。这样建立的分数概念就基本完整了，这也就是教材中的“分

数的意义”。

分数的意义与运算的教学是小学数学教学中的重要内容。分

数的意义对于小学生来说是个比较抽象的概念，教材一般是采用

螺旋上升的安排，分两次完成对分数的认识，加上最后认识的百

分数，对分数的认识分成了三个阶段：“分数的初步认识”一般

安排在第一学段；“分数的意义”一般安排在第二学段；在这两

个单元中认识的分数都是正分数。在学习了分数的四则运算后，

又安排认识百分数。

1,在与自然数的联系中借助直观来初步认识分数。

”分数的初步认识“，是学生第一次建立分数的概念，教材

安排一般有以下特点：

(1)单位“1”由一个物体组成；即每次平均分的都是1个

物体，如一个饼、一个圆等。

(2)只认识真分数以及分子分母相等的假分数。因为分得

的结果，每一份都比1小。取一份或几份或全部，所得的分数都

小于1或等于lo

(3)分母都比较小。

(4)不概括分数的定义，只通过直观描述初步建立分数概

念。

由于是对分数的初步认识，应充分运用形象和直观手段，让

学生在具体的情境中操作感悟，如通过操作活动初步理解分数，

能够将图与分数相互表示。通常见到的课堂结构一般是：

(1)创设一个平均分的情境引出分数；(2)动手操作(如

折纸、涂阴影等)感知和初步理解分数；(3)在练习(图与数相

互表示)中巩固和进一步理解分数。

也有的教师在教学过程中，不但做到了让学生通过操作活动

初步理解分数，并能够将图与分数相互表示，而且还能明确相对

大小，感受量变与质变的规律。这类课的课堂结构一般是：

(1)从自然数过渡到分数；

(2)理解二分之一的含义；

(3)学习单位“1”的大小与相应二分之一大小的关系；

(4)在练习中不断加深对分数的理解，出现分子与分母相

等的分数、零分数等；

(5)归纳解决问题的思路。

案例5:“分数的初步认识”教学片断(江苏张齐华)

•情境---冲突

出示主题情境图。

引导学生思考：

(1)把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？

(2)把2瓶矿泉水平均分给2人，每人分得几瓶？

结合学生的交流，教师揭示：每份分得同样多，数学上叫做

“平均分”。

(3)把1个蛋糕平均分给2人，每人分得多少？

结合学生的交流，自然引出“一半”。

(4)每人分得的苹果、矿泉水可以用以前学过的数来表示，

那“一半”该用怎样的数来表示呢？

学生交流各自的想法，教师结合学生的交流，揭示课题：认

识分数。

•活动---建构

着力建构“二分之一”。

(1)直观感知，初步认识。

①引导：我们把蛋糕平均分成了几份？“一半”是其中的几

份？

揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用工来表示。

2

②追问：这一份(指2份中的1份)是蛋糕的1,另一份(指

2

2份中的另1份)呢？

小结：把一个蛋糕平均分成2份，每份都是它的L

2

(2)动手操作，深化认识。

①出示一张长方形纸，引导学生思考：怎样表示它的工呢？

2

②出示操作要求：先折一折，再用斜线把它的，涂上颜色。

2

③学生动手操作并表示出长方形纸的L可能出现如下表示

2

方法：

④组织学生交流各自的表示方法。

⑤深究：折法不同，涂色部分的形状也不同，为什么涂色部

分都是长方形的,？

2

结合学生的交流，教师小结：不管怎样对折，只要平均分成

2份，每份都是长方形的L

2

(3)观察判断，拓展认识。

①出示如下四个图形。引导学生思考：下列图形中，哪些图

形的涂色部分可以呜表示？

②学生交流，并说明判断理由。

③小结：只有把一个图形平均分成2份，每份才是这个图形

的L

2

类比迁移，认识“几分之一”。

(1)提问：认识了,后，你还想认识几分之一？

2

学生交流，教师板书学生交流中提到的部分分数。

(2)引导：能不能也用某个图形表示出你想认识的几分之

—9

学生动手折长方形、正方形或圆形纸，并给其中的一份涂上

颜色，表示几分之一。

(3)交流：你表示出了几分之一？你是怎么表示的？

学生结合自己的操作活动，交流自己表示的分数及其表示方

法。

(4)从学生中收集长方形、正方形和圆三种不同图形的L

4

贴在黑板上，并引导学生思考：三种图形的形状各不相同，为什

么涂色部分都能用,表示？

4

学生交流，教师引导学生深入理解：不管什么图形，只要平

均分成4份，其中的每份都是这个图形的L

4

・应用---提升

关于分数的联想。(教师依次出示如下三幅图。)

(1)法国国旗让你联想到了几分之一？你能具体说说哪一

部分大约是法国国旗的!吗？

3

学生交流并小结：法国国旗中的每一部分都大约是它的L

3

(2)画面中的五角星，让你联想到了几分之一？

(3)图中的巧克力，让你联想到了几分之一？

①学生一般首先会联想到，教师随机出示如下左图，引导

8

学生思考：如果每人分得这块巧克力的L这块巧克力能分给几

8

人？

②引导：同样一块巧克力，换一个角度观察，你还能联想到

几分之一？

结合学生的交流，教师随机出示如上中图和右图，并引导学

生思考：如果每人分这块巧克力的1或L这块巧克力又能分给

42

几人？

③小结：同样一块巧克力，从不同角度观察，联想到的分数

也各不相同。

这节课，老师创设了学生熟悉的郊游、分东西的情境，让学

生自己在表达分的结果时体会到：自然数不能表达这样一些结

果，于是引出了数的扩展的需要，激发了学生学习分数的内在学

习动机。在分苹果、矿泉水和蛋糕这一解决问题的过程中，随着

问题发展所呈现的思维冲突，又自然引导学生的思维从“整数”

突围出来，为学生实现“由整数向分数”的自然过渡构筑了良好

的思维空间。“一半”是学生的生活经验，而则是这一生

2

活经验数学化的结果。在教师的引导下，学生借助有意义的接受

学习，在“生活经验”与“数学知识”之间架构起认知桥梁。这

样处理，体现了教师对学生生活经验、认知水平和知识建构方式

的准确把握。

“平均分”是初步认识分数的基础，是产生一个分数的前提。

教师运用三个教学策略，强化学生对“平均分”的重视。第一次

是教师巧妙地引导学生唤醒原有的“平均分”的经验，为初步认

识分数做好适宜的认知铺垫；第二次是围绕不同图形的,展开第

4

二层次的“求同比较”式图形不同，为什么涂色部分都是它的,),

4

再一次剥离分数的非本质属性，使学生进一步感受到单位“1”

是什么并不重要，关键是“平均分成了多少份”和“表示这样的

多少份”，这才是分数最本质的内涵；第三次是通过“不平均”

和“平均”的对比，再次强化对平均的认识。现实生活中许多画

面，都能引发学生对分数的联想，法国国旗、五角星及巧克力便

是教师对教学资源进行有效开发的结果。尤其是巧克力这一素材

的应用，可谓恰到好处。一方面，渗透了“观察角度不同，联想

到的分数也不同”的思考策略；另一方面，又蕴含了同样一块巧

克力，分的份数越多，每一份少这一反比例的函数思想；与此同

时，“1”里面有n个，在这里也得到了无形的铺垫。

n

2,分数的意义教学要着力解决对单位“1”的深入理解。

“分数的意义”这个单元，是让学生在对分数有了初步认识

的基础上，进一步系统地认识分数。其重点是把第一次的初步认

识进一步扩展。其特点是：（1）单位“1”由“一个”变成“一

些”；（2）给出分数的定义。

教学时，主要突出"也可以把一堆物体看作是一个整体来平

均分”的思想。如一堆苹果，一个班级的人数，等等，如果看成

一个整体也平均分的话，分得的结果，每份也可以就是这个整体

的几分之一。而这个几分之一，可能含有一个、两个或若干个，

表述成“表示这样的一份或几份的数是这个整体的几份之几”。

我们可以通过下面的案例感受教师如何精心设计教学过程，解决

单位“1”可以由多个物体组成这个教学难点的。

案例6:“分数的意义”教学片断（江苏夏青峰）

（1）出示下图：

师：阴影部分可用什么分数来表示？

生1:L

3

生2：1

3

师：怎么都认为是!呢？

3

生：我把这个长方形平均分成3份，阴影部分是这样的1份,

就是L

3

屏幕显示三等分线：

师：那也就是说，这里叫是表示——。

学生回答，老师完成下面板书：把一个长方形平均分成3份,

表示这样1份的数。

(2)屏幕出示:

师：阴影部分又可用什么分数表示：

生：L

3

师：这次不是！了，但已经很接近正确答案。

3

生:2

5

生:3

8

屏幕显示八等分的虚线:

师：这次能说出是几分之几了吧？！

生：我认为是3,因为它把这个圆平均分成8份，阴影部分

8

占了其中的3份。

师：好的。那反过来说，这里的3就是表示一一

8

师生共同完成板书：把一个圆平均分成8份，表示这样3份

的数。

师：露出的部分是一个整体的L这个整体该是个什么样子

4

呢？你能大概地把它画出来吗？

学生画。

师：谁愿意把你的作品与大家分享？

生1:（展示）

师：可以这样画吗？

生：可以。因为这里一共有4个小三角形，露出来的是1个,

就是它的

4

师：还有不同的画法吗？

学生纷纷展示自己的作品。

师：判断这些图形是否符合要求，关键看什么？

生：关键看是否一共画了4个三角形。

师：怎样的4个三角形？

生：和露出来（的三角形）一样的4个三角形。

师：好。看大家是否猜中了。这个整体究竟是什么呢？

屏林出示下图lo

△

I

△

△

△

（图1）（图2）

（学生表现出诧异的神色。）

生1:老师，不对。这4个三角形不连在一起，不是一个整

体。

生2：我觉得是对的。虽然它们不连在一起，但是我们可以

把它看成是一个整体。

生3:我觉得它不能看成一个整体，因为一个三角形就是一

个整体，而这是4个三角形。

生4：我认为它是一个整体。比如，一个人，我们可以看成

是一个整体；一组人，我们与可以看成是一个整体；一个班的人,

也可以看成是一个整体。

学生出现了交流与辩论，最后大家基本统一了意见。

屏幕出示上图2。

在教学“分数的初步认识”的时候，我们通常是出示标好等

分线的图形，让学生说出阴影部分占整个图形的几分之几。而夏

老师出示的图形却没有等分线，他让学生致病猜一猜是几分之

几，这不仅要求学生运用分数的本质意义去思考问题，而且对培

养学生的数感起着积极的作用。看部分想整体的教学环节，真是

设计精妙，一箭双雕。它在加深学生对分数的理解、培养学生数

学想象能力的同时，还帮助学生实现了从把单个物体看成一个整

体，到把一些物体看成一个整体的思维跨越，抓住了学生认知的

难点，进行了有效的突破。

3,抓住百分数的特征进行教学。

说到百分数，要分清两种情况：一种是分母是100的分数，

另一种是表示一个数是另一个数的百分之几的数。我们所说的百

分数，一般指后者，它在写法（和读法）上与前者也有区别，用

百分号（%）来表示。认识百分数要注意以下几点：

(1)分数既可以表示两个数之间的关系，也可以表示具体

的数量。百分数只表示两个数之间的关系，并不表示具体的数量。

(2)由于以上原因，分数可能有单位，也可能没有单位，

但百分数不能加上单位，这是它与分数的不同。

(3)分数一般用最简分数的形式表示，但百分数为了便于

比较，分母固定为100,所以当分子分母不互质时，不用约分成

最简分数的形式，也不用化成带分数，而且分子也可能是小数。

(4)由于百分数的广泛应用，认识百分数应该联系学生的

生活实际，并通过日常生活的运用加深理解概念，体会百分数的

好处。

案例7:“百分数的意义”教学片断

(上课前一天老师布置学生在生活中找一个实际应用的百

分数。)

师：请同学们拿出在生活中找到的实际应用的百分数，说说

是在哪儿找到的。

学生汇报自己找到的百分数。

生：我在报纸上找到的。

一件上衣的布料，棉的含量是65%,涤纶的含量是35%。

师：听了同学们的汇报，有的是在生活当中找到了百分数，

有的是对生活当中一些现象做了一些分析、计算得到的百分数。

总之说明一个问题，生活之间百分数的应用非常广泛。我也找了,

愿不愿意看看我找的？

师出示：泸州老窖的酒精度52%,洋河大曲的酒精度38%,

王子啤酒的酒精度3.1%。

师：人们屡什么那么喜欢用百分数呢？用百分数到底有什么

好处？我觉得这个问题很有必要研究。

师：除了这两个问题外，你们还想弄清楚什么问题啊？

生思考后，自由提出自己想问的问题。

师：我们把这些问题稍微整理一下，写在黑板上，作为我们

今天研究的问题。

师板书：

1,百分数的意义是什么？

2,用百分数有什么好处？

3,百分数和分数有什么不同？

师：你们看，这几个问题，是黄老师一个一个地讲给你们听

呢，还是你们自己研究？

生：（异口同声）自己研究。

•探究百分数的意义。

请同学研究你找至U的生活中的百分数，并填写在老师设计好

的表格里面。

《百分数的意义和读写法》

调查纪要单

学生独立研究，教师巡视。

汇报结果。

摘录|泸州老