中考数学专题《三角形压轴题之平移、翻折、旋转问题》原卷

专题20三角形压轴题之平移、翻折、旋转问题知识对接考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．要点补充：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．要点补充：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.

轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

2．轴对称变换的性质

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

3．轴对称作图步骤

①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.要点补充：翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.考点三、旋转变换

1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.

２．旋转变换的性质

图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.

３．旋转作图步骤

①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点.要点补充：图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系

一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.专项训练一、单选题1．（2021·陕西九年级二模）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A与点A′的距离是（）A． B． C．27 D．252．（2021·江苏南京市·九年级三模）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数为（）A．10 B．11 C．12 D．133．（2021·黑龙江九年级二模）如图，ABCD是一张矩形纸片，点E是AD边上的一点，将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则DE的长为（）

A．6 B．5 C．4 D．34．（2021·江苏九年级）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（）A．160° B．150° C．140° D．110°5．（2021·山东九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，．先将线段沿轴翻折得到线段，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点的坐标为，则线段的长为（）A． B． C． D．6．（2021·河南焦作·）如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（）．A． B． C． D．7．（2021·重庆市合川区土场中学九年级）如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为（）A． B． C． D．8．（2021·内蒙古包头·）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（）A． B． C． D．9．（2021·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且tan∠ADF＝．①AE＝BE；②△BED∽△ABC；③；④AF＝．则下列结论正确的有（）A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④10．（2021·天津滨海新·）如图，为的中线，将沿着翻折得到，点B的对应点为E，与相交于点F，连接，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．二、填空题11．（2021·浙江杭州·翠苑中学九年级）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为__________．12．（2021·哈尔滨市第十七中学校）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，若直线QD与BC垂直，则PB的长为___．13．（2021·重庆字水中学九年级）如图，矩形ABCD的边，，点E为BC边的中点，连接AE，将沿AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则线段FC的长为____________．14．（2021·安庆市第四中学九年级二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，翻折∠C，使得点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（E，F分别在边AC，BC上）．（1）若四边形CEDF为正方形，则EF＝________．（2）若△CEF与△ABC相似，则AD的长为________．15．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级）在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，则点A到BC的距离为_____．三、解答题16．（2021·安徽九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，请按下列要求画图并填空．（1）沿水平方向移动线段，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标；（2）将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点C重合，点与点D重合），请用无刻度的直尺和圆规，找出旋转中心点P．（保留作图痕迹，不写作法）17．（2021·广西九年级模拟预测）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．18．（2021·哈尔滨市萧红中学）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且．

（1）求直线的解析式；（2）点是轴正半轴上一点，连接，将射线沿翻折，与过点B垂直于的直线交于点，过点作轴于点，求线段的长；（3）在（2）的条件下，射线交射线于点，若，求点坐标．19．（2021·山东省诸城市树一中学）如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．

（1）过点作交于点，求证：；（2）如图2，将沿翻折得到．①求证：；②若，，求的长度．20．（2021·江苏九年级）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点P从点B出发沿BC方向运动，运动速度为每秒个单位长度，点Q从点B同时出发，沿B﹣A﹣D方向运动，运动速度为每秒2个单位长度，当P到达点C时，两动点同时停止运动．设运动时间为ts，将矩形沿PQ所在直线翻折，B′是翻折后点B的对应点．

（1）当t＝1时，PQ＝；（2）连接AC，若点B正好落在线段AC上，求t的值；（3）点B′能否落在AD所在直线上，若能，求出AB′的长度；若不能，请说明理由．21．（2021·长沙麓山国际实验学校）如图，在ABC中，AB=AC，BC=8，，点D是AB的中点，如果把BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的处，连接，那么的长为________．22．（2021·全国）抛物线过点和点，与轴交于点，顶点为点．（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）点是线段上一动点，过点作直线轴，交抛物线于点，连接并延长交轴于点，连接．若的面积是面积的2倍，求点的坐标；（Ⅲ）抛物线上一点，点的横坐标是，连接，与轴交于点，点是线段上一动点（不与点，点重合）将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，求线段的长度．23．（2021·陕西西安市·）（1）如图1，点A和点B是直线上两点，点C和点D是直线上两点，且，BC⊥AB，若AB＝2，B