新课标人教B版数学必修(二)教案

新课标人教版数学B­必修(2)

1.1.1构成空曲儿佝体的基本?素

教学目标：理解多面体、棱柱的基本概念

教学重点：理解多面体、棱柱的基本概念.

教学过程：

1、基本概念：

a)几何体

b)长方体、

长方体的面、

长方体的棱、

长方体的顶点、

长方体的记法.

2、平面的初步概念

3、点动成线、线动成面

4、柱面

5、锥面

6、几何体的概念

课堂练习：教材第5页练习A、B

小结：了解构成空间几何体的基本元素，培养空间想象能力

课后作业：略

1.1.2棱住、棱维加棱幺的襦构绢猊(—)

教学目标：理解多面体、棱柱的基本概念

教学重点：理解多面体、棱柱的基本概念.

教学过程：

7、多面体：

a)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.

b)多面体的面

c)多面体的棱

d)多面体的顶点

e)多面体的对角线

f)凸多面体

g)多面体可按面数命名

h)正多面体

i)多面体的截面

2、棱柱:

出示棱柱体模型，引导学生观察到这些模型都是由面（平面的一部分）围成的；面与面

有交线。因此从“面”和“线”两个角度去考虑：首先看面：有两个面互相平行，其余各面

都是四边形.再看线：每相邻除两个平行面外，其余的每相邻两个四边形的公共边都互相平

行.

（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共

边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱住.

（2）有关于元素①底面②侧面③侧棱④顶点⑤对角线⑥高⑦对角面

学生回答后，总结：⑴中可以找出两个面平行，但其余各四边形公共边中有不平行的。

“有两个面平行”的条件不足以确定几何体是棱柱。⑵找出两个平行的面以后，如果其它条

件不能成立，不要急于下结论，再选另外一对平行面，按定义再次判断它是否是棱柱。

（3）分类：

1、按侧棱与底面垂直关系分类：斜棱柱、直棱柱（其中底面是正多边形的叫正棱柱）

2、按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

（4）棱柱的表示法：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE—A，B，C'D，E，

或用对角线的端点字母，如五棱柱A'D

（5）、棱柱的一般性质

⑴侧棱都相等，侧面都是平行四边形；

⑵两个底面与平行底面的截面是全等的多边形；

⑶对角面是平行四边形。

3、四棱柱:

一------’>平行方面体

底面是平行四边形

侧核

则梭与

孑底If

垂克战而垂直

直平行六面体

底面是平行四边形

面

底底面是矩形

正

为

形

方长方体

底面是正方形

正四梭柱

解面也是正方选

正方体

课堂练习：教材第8页练习A、B

小结：本节课学习了多面体和棱柱的概念以及棱柱的性质和分类

课后作业：第34页习题3

1.1.2棱佳、棱维心棱幺的德构勺寺猊(二)

教学目标：理解棱锥、棱台的基本概念

教学重点：理解棱锥、棱台的基本概念

教学过程：

1.“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征.

正棱锥是一种特殊棱锥.正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边

形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上.

“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱

锥来研究.

2.正棱锥的性质很多，但要特别注意：

(1)平行于底面截面的性质

如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：

①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段.

②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形.

③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比.

(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角:

正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组

成四个直角三角形.

四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握.

3.棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手

同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：

(1)平行于底面的截面的性质：

设棱台上底面面积为，，下底面面积为平行于底面的截面将棱台的高分成距上、

下两底的比为m:n,则截面面积S满足下列关系：

m盾+n回

历

m+n

当m=n时，则、:=回;宿(中截面面积公式),

(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：

正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底

面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形).

正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重

要的角，必须牢固掌握.

4.棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据.

(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式：

=1c-h'

w2

(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：

SB=1(C，+C)h，

棱锥的全面积等于：S全=5W+S底

棱台的全面积等于：S至=5WJ+S上底+S下底

（3）棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本

质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：

当c'=c时，sRttM=Ch

当C'=0时，=1Ch

可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例.

6.关于截面问题

关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面

的截面（含中截面）、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，

能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截

面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等.

作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或

由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路.

课堂练习：教材第11页练习A、B

小结：本节课学习了棱锥、棱台的基本概念

课后作业：第34页习题1-1A:2、5

1.1.3®-、®维、♦>■，（一）

教学目标：1、圆柱、圆锥、圆台概念，

2、掌握圆柱、圆锥、圆台的性质

教学重点：掌握圆柱、圆锥、圆台的性质

教学过程：

一、基本概念

（播放陶艺的主要制作过程.）

（抓取实物照片），

思考：这个几何体的外部曲面是如何形成的？几何体是如何形成的？

旋转面可看作一条曲线绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹，这条定直线叫做旋转轴,

简称轴.这条曲线叫做旋转面的母线.封闭的旋转面所围成的几何体叫做旋转体.旋转体也可

以看作是由一封闭的平面图形包括其内部绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹.

请学生思考：圆柱、圆锥、圆台可由什么平面图形如何运动而成？

定义1:（线动成面，面围成体）

圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中

垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的

曲面所围成的几何体.

旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边的长度叫做这个几何体的高；垂直

于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个

几何体的侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.

定义2：（面动成体）

以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以

直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹

叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成

的轨迹叫做圆台.

圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（教师演示，学生观察总结）

①平行于底面截圆锥可以得到圆台；

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.

②圆台的上底变大可以得到圆柱；

③圆台的上底变小可以得到圆锥.

让学生举出一些圆柱、圆锥、圆台的实例，以及其他旋转体的实例.

让学生思考：如图，一个半圆面绕其直径所在直线旋转一周所形成的几何体是什么？

一个圆面绕一条直线旋转一周形成的几何体是什么？

S

定义0\___4aa

K

1

0A0-----"

0A.

有关轴直线0'0直线s。直线

线母线SAA'A

有关底面圆圆圆

三、巩固练习

1.下列命题中的真命题是（）

（A）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

（B）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

（C）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

（D）圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径.

2.判断下列命题是否正确？

①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；

②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；

③过圆锥顶点的截面是等腰三角形：

④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形.

3.长为4,宽为3的矩形绕其一边所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为.

4.若圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的母线与轴的夹角的大小为.

5.（Pi3例1）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4,

截去的圆锥的母线长是3cm,球圆台的母线长.

解：设圆台的母线为/,截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r,4r,根据相似三

角形的性质得

3r

—,解得/=9.

3+/4r

所以，圆台的母线长为9cm.

小结：

a）圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形

中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转

一周形成的曲面所围成的几何体

b）以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆

柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周

所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及

其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.

c）圆柱、圆锥、圆台的性质

课后作业：略

1.1.3阅住、⑤维、⑤幺彩辣（二）

教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念,

2、掌握球的截面的性质,

3、掌握球面距离的概念.

教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离

教学过程：

复习引入

1、圆柱、

2、通过篮球、排球、足球等等球体的形象引出课题.

新授

1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的

曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。指出球心、半径、直径。值得注意的是:

1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。

2）球面的概念可以用集合的观点来描述。球面是

由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？与定点

的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面。如果

点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部.

否则在外部.

3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，

球0.

2、球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是圆面，把过球心的截面圆

叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆.

球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆

心，连线与截面圆U会有什么关系呢？

1)球心与截面圆心的连线垂直于截面。

2)设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,

球的半径为R,贝U：r=J/?2

3、练习一:

判断正误：（对的打J,错的打X）

(1)半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（)

(2)到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。（)

(3)球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（）

(4)经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（）

(5)球的半径是5,截面圆的半径为3,则球心到截面圆所在平面的距离为4。（）

4、关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地的地理位置,

我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。

5、球面距离：假如我们要坐飞机从北京到巴西去，选择怎样的航线航程最短呢？我们把球

面上过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面距离。因此，飞机、轮

船都尽可能以大圆弧为航线航行。

6、例1我国首都北京靠近北纬40度。（1）求北纬40°纬线圈的半径约为多少千米。（2）

求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为6370千米）。

8、练习二：一I—

1）填空

（1）设球的半径为R,则过球面上任意两点的截面圆中，最「、、、

大面积是________。B（_____

（2）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则V

这截面圆的半径是球半径的o\

（3）在半径为R的球面上有A、B两点，半径0A、0B的夹角

是n°（n<180=,求A、B两点的球面距离。

2）地面上，地球球心角1'所对的大圆弧长约为1海里，一海里约是多少千米？

3）思考题：地球半径为R,A、B是北纬45°纬线圈上两点，它们的经度差是90°,求A、

B两地的球面距离。

9、组合体

请举出一些由柱、锥、台组合而成的几何体的实例

课堂练习：教材第16页练习A、B

小结：

a）半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球

体.

b）以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面，截面圆叫小

圆.

c）球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：r=^R2-d2.

d）把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，

其余的纬线都是小圆.

球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.

课后作业：略

1.1.4挺豹右右组困

教学目标：1、了解表示空间图形的投影方法原理

2、掌握斜二测画法

3、了解中心投影方法

教学重点：掌握斜二测画法

教学过程：

一、投影法

物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的

抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为

投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点a,点a就是空间

点A在投影面P上的投影。同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。这种使物体在投

影面上产生图像的方法叫投影法。工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。

二、投影法分类

1.中心投影法

投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法（图1—2）。其投影的大小随物体与投

影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。

2.平行投影法

投影线相互平行的投影法称为平行投影法（图1一3）。其中，投影线倾斜于投影面叫平

行斜投影法（图1—3（a））；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法（图1—3（b））。

（。）平行斜投影（b）平行正投影

图1一3平行投影法

应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离

无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。工程图样就是用正投影法绘制的。

三、平行投影的基本特性

平行投影的基本特性，是指空间几何要素一一点、线、面经过平行投影后的特性。

1.点的投影仍为点

如图1—4所示，空间A点的投影为点a。

2.直线的投影一般仍为直线

如图1—5所示，AB直线的投影为直线ab。

3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上

如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ab上。

4.直线上两线段之比，等于其投影之比

从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB,而其投影为am和mb,则AM:MB=am：

mb。因位于同一平面的两直线(AB及ab)被若干平行直线所截，则被截各段成比例。

5.两直线平行，其投影亦平行

如图1—7所示，设AB〃CD,则ab〃cd。因AB与CD平行，AB、CD与投影线所构成的

图1-6点在直线上的投影图1一7平行两直线的投影

6.两平行线段之比，等于其投影之比

如图1一7所示，当线段AB/7CD,则AABM相似于ACDN,又AM=ab,CN=cd,所以

AB:CD=AM:CN=ab:cd»

7.直线、平面图形投影的三种特性

(1)积聚性一一当直线或平面图形与投影线平行时，则它们的投影有积聚性。如图1一8

所示，直线AB和ACDE皆平行于S,所以AB的投影积聚为一点；而ACDE积聚成一条直线

cde。

(2)实形性一一当直线或平面图形平行于投影面时，则其投影反映实形。如图1—9中，

直线AB与平面ACDE均平行于投影面II,则它们的投影ab=AB反映线段实长；Acde=ACDE

反映平面的实形。

(3)类似性一一直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影变短了；而平面图形变成

小于原图形的类似形，如图1-10所示。

S

图1-8平行投影的积聚性图1一9平行投影的实形性

四、常用的投影图概述

1、轴测投影图

图1-11轴测投影图

用平行正投影法或斜投影法将空间几何形体及确定其空间位置和形状的直角坐标系，共

同投影在单一投影面上所得的图形称为轴测投影图，简称轴测图。如图1—11所示，空间一

立方体连同其直角坐标ox、OY、0Z一同向平面P投影，得到轴测投影轴OX、0M、0%及

立方体的轴测图

轴测投影的种类很多，常用的是斜二轴测投影和正等轴测投影

2、透视投影图

透视投影图采用中心投影法，它与照相成影的原理相似，投影图接近于视觉映象。所以

透视投影图富有逼真感，直观性强。按照特定规则画出的透视投影图，完全可以确定空间几

何元素的几何关系。图1—13是某一几何体的透视投影图，但它不能直接反映物体真实的几

何形状和大小。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，投影后就不平行了。

透视投影图虽然直观性强，但由于作图复杂且度量性较差，故在工程上只用于土建工程

及大型设备的辅助图样。随着计算机绘图技术的发展，用计算机绘制透视图，可避免人工作

图的繁杂性。由此，在某些场合如工艺美术及宣传广告图样中广泛地采用透视图，以取其直

观性强的优点。

图1-13几何体的透视图

五、斜二测画法见教材第18页到19页

课堂练习：教材第21页练习A、B

小结：

平行投影的概念及基本性质，斜二测画法.

课后作业：教材第34页习题1-1A：5、6.

1.1.5三超⑥

教学目标：1、能画出简单几何体的三视图

2、能识别三视图所表示的几何体

教学重点：1、能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的几何体

教学过程：

1、多面正投影图

用正投影法绘制的图形称为正投影图。为了使物体的投影能反映其某一方向的真实形

状，通常总是使物体的主要平面平行于投影面。但物体上垂直于投影面的平面，经投影后将

积聚为直线段，所以仅凭物体的一个投影尚不能表达整个物体的完整形状。为此，可设立多

个投影面，并将物体分别向各个投影面进行投影，从而得到一组正投影图，以反映物体的完

整形状。例如，在图1—14(a)中，取三个互相垂直的投影面V、H、W,使它们形成一个互为

直角的三投影面体系。投影时先使物体的主要平面尽量平行于某个投影面，再将物体分别向

三个投影面进行投影，然后固定V面令H面和W面分别绕它们与V面的交线沿图1—14(。)

中箭头所示方向旋转，直至与V面重合如图l—14(b)所示。这样，按照一定投影关系组合

在一起的三个投影就能表达整个物体的形状。通常，为使图样清晰，投影面的边界线并不画

出，如图l—14(c)所示。这样的投影图叫做视图。其中将V面上的投影称为主视图；H面上

的投影称为俯视图；W面上的投影称为左视图。

2、三视图的位置关系和投影规律

虽然在画三视图时取消了投影轴和投影间的连线，但三视图间的投影规律和相对

位置关系仍应保持.三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方。

按照这种位置配置视图时，国家标准规定一律不标注视图的名称。对应上图还可以看出：

主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

由此可得出三视图之间的投影规律为：

主、俯视图---长对正；主、左视图----高平齐；俯、左视图----宽相等

3、球的三视图

4、圆柱的三视图

课堂练习：教材第25页练习A、B

小结：

主、俯视图一一长对正；主、左视图一一高平齐；俯、左视图一一宽相等

课后作业：教材第34页习题1-1B：2.

1.1.6棱粒、楂傩、棱义彳。辣的表面公（一）

教学目标：了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法

教学重点：了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法

教学过程：

（-）

1、直棱柱的侧面展开图是一个矩形，一般的斜棱柱的侧面展开图并不是一个平行四边

形。

2、S直棱柱例湎积=M，其中：c为底面周长，h为局

3、例子与练习：

（1）如图，有一个长方体，它的三个面的对角线长分别是a,b,c,

求长方体的全面积.

（2）一个正四棱柱的对角线的长是9cm,全面积等于144cm2,求

这个棱柱底面一边的长和侧棱长.

(-)

1、正棱锥的侧面展开图是由若干个全等的等腰三角形组成的

2、S正棱锥1M面积=万c”

3、例子与练习：

（1）侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为“，则三棱锥的全面积是多

少？

（三）

1、正棱台的侧面展开图是由若干个全等的等腰梯形组成的

2、S正棱台1M面积=—（^|+。2）〃’

4、例子与练习：

（1）一个正四棱台的上、下底面边长分别为。、b,高为小且侧面面积等于两底面面积

之和.则下列关系式中正确的是[].

“11^111^111^111

A.—=------B.—=—F—C.—=—D.—=—+—

ha+bhababhbah

（2）正四棱台上下底边长分别为a,b,侧棱长为,（4+%）则此棱台的侧面积为.

2

（3）正四棱台的斜高为12cm,侧棱长为13cm,侧面积为720cm求棱台上、下底的

边长

（4）、已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于底面面积

的和，试求截得该棱台的原棱锥的高.

课堂练习：教材第29页练习A1。2。3、Bl»2,3

小结：

SJI棱柱侧面积=ch

S正棱锥侧面积=2

c

S正棱台到面积=~（i+c2）h'

课后作业：略.

1.1.6棱核、棱雉、棱幺心辣的表面小（二）

教学目标：了解球表面积的计算方法

教学重点：了解球表面积的计算方法

教学过程：

（一）

1、球面不能展成一个平面图形

2、S球=4/求2

3、例子与练习：

例1在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5"cm?和8mcm：球心不

在截面间，求球面积.

分析作出轴截面一列方程求球半径一求球面积.

解轴截面如图所示.

圆0是球的大圆，AiB2,A2B2分别是两个平行截面圆的直径，过0作OGLAB于G,交

A2B2于Cz,由于AB〃AB,所以由圆的性质可得,3和G分别是AB和AzB2的中

点.

设两平行截面的半径分别为口和口且以〉口，依题意兀X=5冗,

兀r；=8兀，

...r：=5,r；=8.

：OAi和OAz都是球的半径R,

/.OCi=JR2一r；=VR2-8；

OC2=JR2_r：=J”-5.

JR2-5-JR2-8=1.

解这个方程得R'=9.

22

.*.S以=4JtRJ4n•3=36n(cm).

思考如果球心在截面之间，球面积是多少呢

例2口答下面问题，并说明理由.

(1)球的半径扩大n倍，它的面积扩大多少倍？

(2)球的面积扩大n倍，它的半径扩大多少倍？

(3)球大圆的面积扩大n倍，球面积扩大多少倍？

(4)球的面积扩大n倍，球的大圆面积扩大多少倍?

例3、已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.

求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.

（2）球的表面积等于圆柱全面积g.

课堂练习：略

小结：

S球=4成2

课后作业：略.

1.1.7粒、雉、幺辣的体独（一）

教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法

教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法

教学过程：

（-）祖唯原理：

祖眶（音g&ng）,一名祖地之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526

年.祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献.

祖瞄的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》.他推导球体积公式的方法非常巧妙.

根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的

图形略加修改，把祖瞄当时推导球体积公式的方法介绍如下：

作一个几何体片.底面0ABC是一个正方形，边长为r（图2T8）.高

OD=r,且OD1底面AC,DRC,我都是以。为圆心，以r为半径的圆

的：，且平行于底面的任意平面与几何体的截面都是正方形.在OD上

4

取一点S,过点S与底面平行的截面为SPQR,设它的边长为a,OS为h,则截面面积

a2=r2-h2.

D

图2-18

图2-19

另取一个边长为r的正方体V2（图2-19）,髓0,I”，（TU,0,A，,锥体O'-A，

B'C'D'记作V3,L-V：,是正方体O'D'挖去锥体O'-A'B'CD'剩下的几何体.下面

来证明

Vi=V2-V3.

设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P'TS'M,面积等于d,

截V3的截面是正方形Q'TR'N,面积等于h"因为Q，T=0,T=h）,所以这两个正方形的差

形成曲尺形P'Q'NR'S'M,它的面积等于产-广

比较％与V2-V3在等高（h）处的截面，它们的面积都是d-h）因此体积相等，即3V2-%.

祖晒原理的原文是“幕势既同，则积不容异“幕”是截面积，“势”是几何体的

高.意思是:两个同高的几何体,如果与底等距离的截面积总相等,那么几何体的体积相等.这

就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，

如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

由此可知%=%“3

31323

=r—r=-r.

33

再来看以r为半径的球，取它的!（第一卦限）（图2-20）,设它的体

O

积为V,（是未知数）.和%比较，在高h处的截面积C"EF是以a为半

径的圆的;，它的面积是手=;（”-h2）,而明在与底面距离为h的截

面面积是P-h?.根据《：%应该等于截面积的比，SPV4：-

h2）：（r2-h2）=^,于是&=£%=；♦|r3=V.整个球的体积=8

441436

林34

X==2^3.这是一个十分巧妙且简明的证法.

63

图2-20

祖随提出的“事势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作

公理使用.提法“事势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”（Cavalierisches,

Prinzip）.卡瓦列利［米兰Milan（现意大利城市）人］在他的名著《连续不可分几何》中提出这

一原理，这本书出版于1635年.

（-）长方体的体积V=S/7

（三）利用祖晅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为:

V=Sh

（四）利用祖眶原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等

（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥

故锥体的体积为丫=J5力

3

（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式V=g（S'+后+S）6

（七）例子：

（1）长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为［］

A.7B.8C.3我D.6后

(2)平行六面体ABCD-ABCD中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、

F、G,则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[]

A.-B.――C.――D.--

8122448

(3)如果一个正四面体的体积为9dm，，则其表面积S的值为[]

A.18^3dtn2B.18dm2C.1273dm2D.12dm2

(4)如果一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为那么这个三

棱锥的体积是[]

,9ccc27n9小

A.—•B.9C.--D.---

222

(5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V,,内切切圆柱体积为V”则[]

A.V,：V2=：1B.V,：V2=2：1

C.V1:V2=4：1D.V|：V2=8：1

课堂练习：教材第33页练习A1.2、B1.2.3

小结：

本节课应了解：祖暄原理以及柱锥台的体积计算公式

课后作业：教材第34页习题1TA：7、8.

1.1.7粒、维、会,。球的体力(二)

教学目标:了解球的体积的计算方法

教学重点:了解球的体积的计算方法

教学过程:

4°

(-)由上节祖胞原理所述知球的体积公式V=—就3

3

(二)例子

1、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角，在容器内放入一个半径为R的球,

并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是[]

3

A.V15rB.2rC.-rD.、反

2、如果球的体积是V理，它的外切圆柱的体积是Vmt,外切等边圆锥的体积是VM,那

么这三个几何体体积之比是一

3、图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称

22

为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的一，球的表面积也是圆柱全面积的一.

33

解：设圆的半径为R,球的体积与圆柱的体积分别为V球及V柱，球的表面积与圆柱的

全面积分别为S以及SK,则有

匕=24成,3=2士%

=2成•2K+2.TTR2

S柱二侧面积+上下底面积

=6汽炉

o

=4成'=2S后

w3在

注：这个发现是阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个

课堂练习：教材第33页练习A3

小结：

本节课应了解：球的体积计算公式

课后作业：教材第34页习题1TA：11.

1.2.1淬面的基本修质笈施施(一)

教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用

教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用

教学过程：

(-)公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在

这个平面内

1、直线与平面的位置关系

2、符号:点A在直线上，记作A&a,

点A在平面a内，记作Aea,

直线a在平面a内，记作aua

(-)公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些

公共点的集合是一条过这个公共点的直线.

今后所说的两个平面(或两条直线)，如无特殊说明，均指不同的平面(直线).

两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线，

记作ac0=1.

(三)公理三:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

(四)问题：

(1)如果一条线段在平面内，那么这条线段所在直线是否在这个平面内？

(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么？

(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个？

(4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个？

(5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个？

(6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个？

(五)给出几个正方体作出截面图形

课堂练习：教材第40页练习A、B

小结：

本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.

2.理解公理二，并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共

线”问题.

3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转

化.

课后作业：略

1.2.1淬面的基本修质笈循卷（二）

教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用

教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用

教学过程：

（-）推论1：直线及其外一点确定一个平面

（-）推论2：两相交直线确定一个平面

（三）推论3：两平行直线确定一个平面

（四）例1已知：空间四点4、3、C、。不在同一平面内.

求证：A6和CO既不平行也不相交.

证明：假设A8和CD平行或相交，则A8和CD可确定一个平面a,则ABua,

CDa,故Aea,Bea,Cea,。ea.这与已知条件矛盾.所以假设不成立，即AB

和CO既不平行也不相交.

卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；

2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾.

例2已知：平面ac平面/3=a,邛面ac平面y=6,yc平面，=c且a、b、c

不重合.

求证：a、b、c交于一点或两两平行.

证明：（1）若三直线中有两条相交，不妨设。、匕交于A.

因为，au0,故A€尸，

同理，Ae/,

故Awc.

所以a、b、c交于一点.

（2）若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行.

综上所述，命题得证.

例3已知A4BC在平面a外，它的三边所在的直线分别交平面

。于P、。、R.

求证：P、。、R三点共线.

证明：设AA6C所在的平面为夕，则尸、Q、R为平面a与平

面夕的公共点，

所以「、。、H三点共线.

卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理2.

例4正方体ABCD-A}B,C,D,中,EF、G、H、K、L分别是

DC、DDpA|£）|、A|B］、BB1、8C的中点.

求证：这六点共面.

证明：连结8。和KF,

因为E、L是C。、的中点，

所以EL//BD.

又矩形80。冏中Kb〃BD,

所以KF//EL,

所以KF、EL可确定平面a,

所以E、F、K、L共

面a,

同理EH//KL,

故E、H、K、乙共面夕.

又平面a与平面£都经过不共线的三点E、K、L,

故平面a与平面，重合，所以E、尸、G、H、K、乙共面于平面a.

同理可证Gea,

所以，E、F、G、H、K、L六点共面.

卡片：证明共面问题常有如下两个方法：

(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；

(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合.

课堂练习：

1.判断下列命题是否正确

(1)如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面.()

(2)经过一点的两条直线确定一个平面.()

(3)经过一点的三条直线确定一个平面.()

(4)平面a和平面仅交于不共线的三点A、B、C.()

(5)矩形是平面图形.()

2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的一条件.

3.空间四个平面两两相交，其交线条数为.

4.空间四个平面把空间最多分为部分.

5.空间五个点最多可确定一个平面.

6.命题“平面a、尸相交于经过点"的直线a"可用符号语言表述为.

7.梯形ABC。中工B〃C£)，直线AB、BC、CD、DA分别与平面夕交于点E、G、尸、H.

那么一定有G_直线直线EF.

8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.

小结：

本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用

课后作业：略

1.2.2空向中的平竹关*(1)

教学目标：1、理解公理4

2、掌握等角定理及其应用

教学重点：1、理解公理4

2、掌握等角定理

教学过程：

(-)复习平面几何中有关平行线的传递性的结论

(-)公理4：平行于同一直线的两条直线平行(应指出：此“公理”并不是真正

的公理，可以证明，但不一定给学生证明)

(三)异面直线的概念：不同在任一平面内的两条直线

(四)异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直

线是异面直线(注：第(三)、(四)两条课标均未设计，但应重视)

(五)等角定理：见教材

(六)空间两直线成的角：过空间一点作两直线的平行线。得到两条相交直线，这

两条相交直线成的直角或锐角叫做两直线成的角.

(七)例子与练习

(1)在立方体ABC。-中过点4能作_条直线，与直线AC、BG都

成50。角.

(2)空间三条直线a、b、c,下面给出三个命题：®aVb,/>_1_。则。〃(;；②

若八b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线；③若a、b共面，

b、c共面，则a、c共面；上述命题正确的个数是—.

(3)过空间一点能否作直线与两给定异面直线都相交？过一点能否作一平面

与两给定的异面直线都相交？

(4)空间四边形ABCO中，M、N分别是A3、CO的中点;求证：①MN与BC

异面；@AC+BD>2MN.

(5)下列命题：

①垂直于同一直线的两条直线平行；

②平行于同一直线的两条直线平行.

其中正确的是.

(6)已知匕是异面直线，直线c平行于直线。，那么c与。().

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

课堂练习：(略)

小结：本节课学习了公理4