2024版 讲与练高三一轮数学（新教材） 第一章集合

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.1集合考试要求1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．知识梳理1.集合的概念(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR注意N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言Venn图集合间的基本关系相等构成两个集合的元素是一样的A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉AAB或BA结论任何一个集合是它本身的子集A⊆A若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集A⊆B，B⊆C⇒A⊆C空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}性质A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆AA∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆BA∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)4.区分下列集合的表示含义集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)>0}{x|y＝f(x)}{y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}含义方程f(x)＝0的解集不等式f(x)>0的解集函数y＝f(x)的定义域函数y＝f(x)的值域函数y＝f(x)图象上的点常用结论与知识拓展(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．(3)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B.(4)A∩B＝A∪B⇔A＝B.(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，∁U(A∪B)．(7)用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).基础检测1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)(5)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．(×)2.(教材改编题)下列五种说法：①{0}∈{1,2,3}；②∅⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，其中错误写法的个数为3.解析：对①，{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误；对②，∅是不含任何元素的集合，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确；对③，{0,1,2}＝{1,2,0}，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确；对④，0是元素，∅是不含任何元素的集合，所以0∉∅，故④错误；对⑤，0是元素，∅是不含任何元素的集合，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.3.(教材改编题)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为－eq\f(3,2).解析：当m＋2＝3时，m＝1，此时，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq\f(3,2)(m4.(教材改编题)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．解析：把集合A，B在数轴上表示如图．由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.5.(多选题)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值可以为(ABC)A．－1 B．1C．0 D．2解析：由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，eq\f(1,a)＝a，解得a＝±1，故a的值为±1,0.故选ABC.考点1集合的含义与表示【例1】(1)(2022·湖南长沙模拟)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值是(C)A．0 B．4C．0或4 D．不能确定解析：当a＝0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.则a的值是0或4.故选C.(2)(2023·山东滨州联考)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2023a的值为解析：①若a＋2＝1，即a＝－1，则(a＋1)2＝0，a2＋3a②若(a＋1)2＝1，则a＝－2或a＝0，当a＝－2时，则a＋2＝0，a2＋3a当a＝0时，则a＋2＝2，a2＋3a③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②，可知均不满足集合中元素的互异性．综上，实数a的值为0，故2023规律总结研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义；利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【对点训练1】(1)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为(1,2]．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2<1，,3－a2≥1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a<3，,a≤2或a≥4.))所以1<a≤2.(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则a2023＋b2024＝0.解析：由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b)).所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2023＋b2024＝－1＋1＝0.考点2集合间的基本关系【例2】(1)若A＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝4n－3，n∈Z}，C＝{x|x＝8n＋1，n∈Z}，则A，B，C之间的关系为(C)A．CBA B．ABCC．CA＝B D．A＝B＝C解析：解法1：集合B中元素x＝4n－3＝4(n－1)＋1，n∈Z，故集合A＝B，而集合C中元素x＝4×2n＋1，n∈Z，故CA.解法2：列举A＝{…，－7，－3,1,5,9，…}，B＝{…，－7，－3,1,5,9，…}，C＝{…，－7,1,9，…}．因此CA＝B，故选C.(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|－m<x<m}．若A⊆B，则m的取值范围是[3，＋∞)．解析：由题得A＝{x|－1＜x＜3}，若A⊆B(如图)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1，,m≥3，))所以m≥3.故m的取值范围是[3，＋∞)．【一题多变】本例(2)中，若“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，则m的取值范围是(－∞，1]．解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m＞0时，因为A＝{x|－1＜x＜3}．当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))所以0＜m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1].规律总结(1)判断两集合关系的常用方法：一是元素特征法：即先化简集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是列举法：表示各集合，一一列举元素观察关系；三是利用Venn图或数轴法表示集合间的关系．(2)已知两个集合间的关系求参数时，对子集是否为空集要进行分类讨论，若集合元素是一一列举的，根据集合间的关系，转化为方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．若不等式或方程最高次系数含参数，则需讨论参数是否为零.【对点训练2】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(D)A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}．共4个.(2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若B⊆A，则实数a组成的集合为(C)A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,5))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,5)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,3)，\f(1,5)))解析：因为A＝{3,5}，又B⊆A.①当B＝∅时，则方程ax－1＝0无解，则a＝0；②当B≠∅时，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝eq\f(1,a)，所以eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，即a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).故选C.考点3集合的运算命题角度1集合的运算【例3】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝(D)A．{－4,1} B．{1,5}C．{3,5} D．{1,3}解析：由x2－3x－4<0，得－1<x<4，即集合A＝{x|－1<x<4}，又集合B＝{－4，1,3,5}，所以A∩B＝{1,3}，故选D.(2)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(D)A．{1,3} B．{0,3}C．{－2,1} D．{－2,0}解析：由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．故选D.规律总结集合基本运算的求解策略首先看集合能否化简，能化简的先化简．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．记忆口诀：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.【对点训练3】(1)(2022·湖南长郡中学模拟)已知集合A＝{y|y＝2|x|}，集合B＝{x|x≥3}，则A∩(∁RB)＝(D)A．(－∞，3) B．(0,3)C．[1,3] D．[1,3)解析：由题意，可得集合A＝{y|y＝2|x|}＝{y|y≥1}，即集合A＝{x|x≥1}，又由集合B＝{x|x≥3}，可得∁RB＝{x|x<3}，所以A∩eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁RB))＝{x|1≤x<3}＝[1,3)．故选D.(2)(2022·湖北天门中学模拟)已知集合A＝{y|y＝2x－1,1≤x≤2}，B＝{x|y＝lg(2－x)}，则下列结论正确的是(C)A．A⊆BB．A∩B＝[0,2]C．A∪B＝(－∞，2]D．(∁RA)∪B＝R解析：1≤x≤2,0≤x－1≤1,1≤2x－1≤2，所以A＝[1,2]，2－x>0，x<2，所以B＝(－∞，2)．∵2∈A,2∉B，故A错，B错；∵2∉∁RA,2∉B，∴2∉(∁RA)∪B，D错．A∪B＝(－∞，2]，C正确．故选C.命题角度2利用集合的运算求参数的值(范围)【例4】(1)设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是(A)A．(－3，－1)B．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)解析：因为S＝{x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，集合S，T在数轴上的表示如图所示．因为S∪T＝R，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,a＋8>5，))可得－3<a<－1.故选A.(2)(2022·重庆西南大学附中模拟)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x∈N*|1≤x<4}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是(D)A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)，\f(1,3)))解析：由题意得，B＝{1,2,3}，当a＝0时，A＝∅，满足A∪B＝B.当a≠0时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a)))))，要使A∪B＝B，则eq\f(1,a)＝1或eq\f(1,a)＝2或eq\f(1,a)＝3，即a＝1或a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3)，所以实数a的所有值构成的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)，\f(1,3))).故选D.规律总结利用集合的运算求参数的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合中的元素是用不等式(组)表示的，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【对点训练4】(1)(2023·福建德化一中模拟)已知集合M＝{x∈Z|x2－2x≤0}，N＝{x|x≥a}，若M∩N有且只有2个元素，则a的取值范围是(A)A．(0,1] B．[0,1]C．(0,2] D．(－∞，1]解析：M＝{x∈Z|x2－2x≤0}＝{x∈Z|x(x－2)≤0}＝{0,1,2}，∵M∩N有且只有2个元素，∴0＜a≤1.故选A.(2)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}．若A∩(－∞，0)≠∅，则实数m的取值范围是(－∞，－1]解析：由题知，原方程有一负根、一正根；一负根、一零根；或两负根，所以f(0)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0≥0，,Δ≥0，,－\f(b,2a)<0，))即2m＋6<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋6≥0，,16m2－42m＋6≥0，,2m<0，))解得m≤－1.则实数m的取值范围是(－∞，－1].命题角度3抽象集合的运算【例5】(1)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(B)A．∅ B．MC．N D．R解析：∵∁RM⊆N，∴M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.故选B.(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有8人．解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，设同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人.规律总结涉及抽象集合的运算问题，可利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图求解.【对点训练5】(1)(2022·重庆巴蜀中学模拟)如图，U是全集，M，N，P是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(A)A．(∁UM)∩(∁UN)∩PB．(∁UM)∩PC．∁U(M∩N)∩PD．∁U(M∪N)∪P解析：根据题意，阴影部分为集合M，N分别在全集上的补集的公共部分和集合P的交集，即阴影部分为(∁UM)∩(∁UN)∩P.故选A.(2)“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是(A)A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4解析：如图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是40－20＝20，故由样本估计总体，可得所求比值为eq\f(20,200)＝0.1.故选A.集合的新定义问题【题目呈现】(1)(2023·河南南阳一中月考)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sinα，cosα}，则集合A⊙B的所有元素之和为(B)A．1 B．0C．－1 D．sinα＋cosα解析：因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0,1.同理，y的可能取值为sinα，cosα，所以xy的所有可能取值为－sinα，0，sinα，－cosα，cosα，所以所有元素之和为0.(2)(2022·河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sinx，x∈R}，那么P－Q＝(D)A．{x|0<x≤1}B．{x|0≤x<2}C．{x|1≤x<2}D．{x|0<x<1}解析：由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}.【素养解读】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①准确转化．解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．②方法选取．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．素养检测1.给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有6个．解析：由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个.2.(2022·湖南长沙模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，eq\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为0或1或4.解析：因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a)))).若A与B构成“全食”或“偏食”，则eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.课时作业1基础巩固一、单项选择题1.(2022·辽宁大连103中学模拟)已知集合M＝{1,0}，则与集合M相等的集合为(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,x＋y＝1))))))B．{(x，y)|y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－1n－1,2)，n∈N))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，n∈N*))))解析：对于A，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,x＋y＝1))))))＝{(0,1)}≠M，故A错误；对于B，{(x，y)|y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)}＝{(1,0)}≠M，故B错误；对于C，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－1n－1,2)，n∈N))))＝{－1,0}≠M，故C错误；对于D，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，n∈N*))))＝{1,0}＝M，故D正确．故选D.2.(2022·湖南株洲一模)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{－3,0,3}，T＝{－3，－1,1,3}，则(D)A．M∩N＝∅B．M∪N＝TC．(M∩N)∪T＝TD．(M∪N)∩T＝T解析：M∩N＝{0}，故A错误；M∪N＝{－3，－1,0,1,3}，故B错误；(M∩N)∪T＝{0}∪{－3，－1,1,3}＝{－3，－1,0,1,3}，故C错误；(M∪N)∩T＝{－3，－1,0,1,3}∩{－3，－1,1,3}＝{－3，－1,1,3}＝T，故D正确．故选D.3.(2023·辽宁沈阳质检)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x(x－2)log2x＝0}的关系可表示为(A)解析：因为N＝{x|x(x－2)log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A.4.(2023·辽宁鞍山一中质检)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{2,3,4,5}，集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，则满足条件的集合C的个数为(B)A．8 B．12C．16 D．24解析：集合A＝{1,2,3}，集合B＝{2,3,4,5}，则集合B的子集个数共有24＝16个，又因为集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，可知C≠∅且C≠{4}，{5}，{4,5}，所以满足条件的集合C的个数为16－4＝12.故选B.5.(2022·山东潍坊模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为(D)A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)解析：由题意得：B＝{x|log2x<1}＝(0,2)，∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈A∩B，∴a∉A∩B，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．故选D.6.(2022·山东菏泽模拟)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋1}，若AB，则实数mA．(2,4] B．[2,4]C．(2,4) D．[2,4)解析：A＝{x|(x＋1)(x－5)≤0}＝{x|－1≤x≤5}，∵AB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－5≤－1，,2m＋1>5，,m－5≤2m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－5<－1，,2m＋1≥5，,m－5≤2m＋1，))解得2≤m≤4.二、多项选择题7.(2022·湖北黄石中学模拟)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N＋}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N＋}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N＋}，若x∈A∩B∩C，则下列选项中符合题意的整数x为(BD)A．8 B．128C．37 D．23解析：对于A,8＝7×1＋1，则8∉C，选项A错误；对于B,128＝3×42＋2，即128∈A；又128＝5×25＋3，即128∈B；而128＝7×18＋2，即128∈C，因此，128∈A∩B∩C，选项B正确；对于C,37＝3×12＋1，则37∉A，选项C错误；对于D,23＝3×7＋2，即23∈A；又23＝5×4＋3，即23∈B；而23＝7×3＋2，即23∈C，因此，23∈A∩B∩C，选项D正确．故选BD.8.(2022·福建泉州模拟)已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则(AD)A．A⊆∁RBB．∁RA⊆BC．A∪B＝RD．(∁RA)∪(∁RB)＝R解析：如图所示，根据图象可得A⊆∁RB，故A正确；由于B⊆∁RA，故B错误；(A∪B)⊆R，故C错误；(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R.故D正确.故选AD.9.(2022·湖南长沙一中模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为(AD)A．B∩(A∪C)B．(∁UB)∩(A∪C)C．B∩[∁U(A∪C)]D．(A∩B)∪(B∩C)解析：在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，故阴影部分所表示的集合为B∩(A∪C)或(A∩B)∪(B∩C)．故选AD.三、填空题10.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝－1，n＝1.解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴(如图)，可得m＝－1，n＝1.11.已知关于x的不等式eq\f(ax－5,x－a)<0的解集为M，则当3∈M，且5∉M时，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))∪(3,5]．解析：根据题意，不等式eq\f(ax－5,x－a)<0的解集为M，若3∈M，且5∉M，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3a－5,3－a)<0，,\f(5a－5,5－a)≥0或5－a＝0，))解得1≤a<eq\f(5,3)或3<a≤5，即a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))∪(3,5].12.(2022·陕西西安模拟)已知集合A＝{x|x2－3x－4＝0}，B＝{x|a<x<a2}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是[－1,2]∪[4，＋∞)．解析：由题知A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}，因为A∩B＝∅，所以，当B＝{x|a<x<a2}＝∅时，a≥a2，解得0≤a≤1，当B＝{x|a<x<a2}≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤4，,a≥－1，,a2>a，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥4，,a2>a，))解得a∈[－1,0)∪(1,2]∪[4，＋∞)，综上，实数a的取值范围是[－1,2]∪[4，＋∞).素养提升13.(2022·江苏南京第一中学三模)非空集合A＝{x∈N|0<x<3}，B＝{y∈N|y2－my＋1<0，m∈R}，A∩B＝A∪B，则实数m的取值范围为(A)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(17,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(17,4)))解析：由题知A＝{x∈N|0<x<3}＝{1,2}，因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，所以B＝{y∈N|y2－my＋1<0，m∈R}＝{1,2}，故令函数f(x)＝x2－mx＋1，所以，如图，结合二次函数的图象性质与函数零点存在定理得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3≥0，,f2<0，,f1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10－3m≥0，,5－2m<0，,2－m<0，))解得eq\f(5,2)<m≤eq\f(10,3)，所以，实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))).故选A.14.(多选题)(2022·江苏苏州模拟)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则下列命题中正确的是(ABC)A．若A＝B，则a＝－3B．若A⊆B，则a＝－3C．若B＝∅，则a≤－6或a≥6D．若BA，则－6<a≤－3或a≥6解析：结合题意得到A＝{x∈R|－3<x<6}．若A＝B，则a＝－3且a2－27＝－18，故a＝－3，故A正确；a＝－3时，A＝B，故D不正确；若A⊆B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确；若B＝∅，则a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥15.(多选题)给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是(ABD)A．集合M＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合解析：选项A：当集合M＝{－4，－2，0,2,4}时，2,4∈M，而2＋4＝6∉M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a<b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n|n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3(k1＋k2)∈M，a－b＝3(k1－k2)∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2,3∈A1∪A2，而2＋3∉A1∪A2，故A1∪A2不为闭集合，D选项错误．故选ABD.16.设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，集合B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则a的值为－2.解析：由题意可知，集合A，B的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点．因为A∩B＝∅，所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a2＝0，,－2a＋a2≠0，))解得a＝－2.17.(2022·济南模拟)当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))，若M与N“相交”，则实数a的值为1.解析：M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a))))，由eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，得a＝4，由eq\f(1,\r(a))＝1，得a＝1.当a＝4时，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意.1.2常用逻辑用语考试要求1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系．2.理解全称量词与存在量词的意义．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\o(⇒,/)pp是q的必要不充分条件peq\o(⇒,/)q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p2.全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、有的、某一个等，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为∃x∈M，p(x)．3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)注意含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其进行否定.常用结论与知识拓展1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同．3.从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若Aeq\o(⊆,/)B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．5.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．6.常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.基础检测1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．(1)当p不是q的充分条件时，q不是p的必要条件．(√)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．(×)(4)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(5)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)2.(教材改编题)设a，b∈R且ab≠0，则“ab>1”是“a>eq\f(1,b)”的既不充分也不必要条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：若ab>1，当a＝－2，b＝－1时，不能得到a>eq\f(1,b)，若a>eq\f(1,b)，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到ab>1，故“ab>1”是“a>eq\f(1,b)”的既不充分也不必要条件.3.(教材改编题)方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是a∈(－∞，1)．解析：依题意得a－1<0，∴a<1.4.(教材改编题)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．解析：含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.(多选题)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(AC)A．∀x∈R，－x2－1<0B．∃m∈Z，nm＝mC．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D．存在实数x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4)解析：对于A，∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A选项是全称量词命题且为真命题；对于B，当m＝0时，nm＝m恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题；对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题；对于D，因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4)，故D选项是存在量词命题且为假命题．故选AC.考点1充分、必要条件的判定【例1】(1)(2022·山东德州模拟)已知p：∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0，q：指数函数f(x)＝mx(m＞0，且m≠1)为减函数，则p是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m＝0时，1＞0成立；当m≠0时，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＝4m2－4m＜0，))解得0＜m＜1.由p得出P＝{m|0≤m＜1}，由q得出Q＝{m|0＜m＜1}，QP，故p是q的必要不充分条件．故选B.(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(B)A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要不充分条件.故选B.规律总结判断充分条件、必要条件的三个法宝(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．判断条件p，q之间的关系时要注意条件之间关系的方向；要注意“p是q的充分不必要条件含义是p⇒q但qeq\o(⇒,/)p”，“q是p的充分不必要条件含义是q⇒p但peq\o(⇒,/)q”，同时，还要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题．利用集合中包含思想判定时，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”，即可解决充分必要性的问题．(3)等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题的判断问题．【对点训练1】(1)(2022·南京师范大学附中模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙eq\o(⇒,/)甲，乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁eq\o(⇒,/)丙，所以甲⇒丁，丁eq\o(⇒,/)甲，即甲是丁的充分不必要条件．故选A.(2)(多选题)(2022·重庆南开中学检测)若a，b，c∈R，则下列叙述中正确的是(BD)A．“a>b”是“ac2>bc2”B．“a>1”是“eq\f(1,a)＜1”的充分不必要条件C．“ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2－4ac≤D．“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”解析：当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>beq\o(⇒,/)ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.A项错误；a>1时有eq\f(1,a)＜1成立，充分性成立，但当eq\f(1,a)＜1时有a>1或a＜0，必要性不成立，B项正确；若b2－4ac≤0，且a＜0，则ax2＋bc＋c≤0恒成立，C项错误；a＜1时，方程x2＋x＋a＝0不一定有实数根，如a＝eq\f(1,2)时，Δ＝1－4×eq\f(1,2)＝－1＜0，方程无实数根，故充分性不成立；方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根时，Δ＝1－4a＞0，x1x2＝a＜0，所以a＜1，故必要性成立，D项正确．故选BD.考点2充分、必要条件的应用【例2】(1)(多选题)使不等式1＋eq\f(1,x)>0成立的一个充分不必要条件是(AC)A．x>2 B．x≥0C．x<－1或x>1 D．－1<x<0解析：不等式1＋eq\f(1,x)>0⇔eq\f(x＋1,x)>0⇔(x＋1)x>0，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．A，B，C，D四个选项中，只有A，C对应的集合为(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集．故选AC.(2)(2022·河北衡水模拟)已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数mA．(－∞，－7)∪(1，＋∞)B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1)D．[－7,1]解析：由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；解x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B.规律总结(1)选择题中求充分不必要条件问题，是由选项推出题干，但是题干不能推出选项，而选择题中求必要不充分条件问题，是由题干推出选项，但是选项不能推出题干．对于充分、必要条件的探求，一般化为集合问题.(2)充分条件、必要条件求参数的两个注意点：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．若直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．②要注意区间端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【对点训练2】(1)(2022·湖南岳阳模拟)下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是(B)A．a－2>b B．a＋2>bC．|a|>|b| D．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)解析：a>b无法推出a－2>b，故A错误；a>b能推出a＋2>b，故选项B是a>b的必要条件，但a＋2>b不能推出a>b，不是充分条件，满足题意，故B正确；a>b不能推出|a|>|b|，故选项C不是a>b的必要条件，故C错误；a>b无法推出eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，如a>b>1时，故D错误．故选B.(2)(2023·山东济南段考)已知条件p：x－a＜0，条件q：向量a＝(2，－1)，b＝(3，x)的夹角为锐角．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2))).解析：由x－a＜0，得x＜a，又由向量a＝(2，－1)，b＝(3，x)的夹角为锐角，得a·b>0且向量a，b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－x>0，,2x＋3≠0，))解得x＜6且x≠－eq\f(3,2).因为p是q的充分不必要条件，所以{x|x＜a}是{x|x＜6且x≠－eq\f(3,2)}的真子集，所以a≤－eq\f(3,2).考点3全称量词命题与存在量词命题命题角度1全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例3】(多选题)下列命题中，为真命题的是(AD)A．∀x∈R,2x－1>0B．∃x∈R，x2＋1＜2xC．∀xy>0，x＋y≥2eq\r(xy)D．∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sinx＋siny解析：对于A项，∀x∈R,2x－1>0，A项正确；对于B项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B项错误；对于C项，当x＜0，y＜0时，x＋y＜0＜2eq\r(xy)，C项错误；对于D项，取x＝y＝0，则sin(x＋y)＝sin0＝0＝sin0＋sin0＝sinx＋siny，D项正确．故选AD.规律总结(1)判断全称量词命题真假的方法①定义法：对给定的集合中的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真．②特值法：在给定的集合内找到一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．(2)判断存在量词命题真假的方法特值法：在给定的集合中找到一个x，使p(x)为真，则存在量词命题为真，否则命题为假.【对点训练3】(多选题)(2022·湖北襄阳期中)下列命题是真命题的是(AC)A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数B．∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数C．∃x∈R,2x<x2D．∀x∈(－10，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x>logeq\s\do8(\f(1,3))x解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x<x2，故C为真命题；当x＝eq\f(1,3)时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(1,3))∈(0,1)，logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,3)＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(1,3))<logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,3)，故D为假命题．故选AC.命题角度2全称量词命题、存在量词命题的否定【例4】(1)(2022·湖北襄阳四中模拟)已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sinx<1，则綈p为(B)A．∃x<0，ex<1且sinx≥1B．∃x≥0，ex<1且sinx≥1C．∃x≥0，ex≥1或sinx≥1D．∃x<0，ex≥1或sinx≤1解析：命题是全称量词命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sinx<1，所以綈p：∃x≥0，ex<1且sinx≥1，故选B.(2)(2022·重庆第八中学模拟)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(D)A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nD．∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n解析：命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”是全称量词命题，则命题綈p为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，原命题的否定形式是“∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n”.故选D.规律总结(1)否定全称(存在)量词命题，一是改变量词，二是否定结论，对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．(2)否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题．【对点训练4】(1)(2022·山东肥城模拟)命题p：有的等差数列是等比数列，则(D)A．綈p：有的等差数列不是等比数列B．綈p：有的等比数列是等差数列C．綈p：所有的等差数列都是等比数列D．綈p：所有的等差数列都不是等比数列解析：因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”．故选D.(2)(2023·河北献县月考)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则命题p的否定且判断所得命题真假正确的为(B)A．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，真命题B．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，假命题C．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，真命题D．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，假命题解析：由题意，命题p的否定是：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，由于Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，故命题p的否定为假命题．故选B.命题角度3根据命题的真假求参数的取值范围【例5】(1)(2022·辽宁大连二模)若“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为(－∞，－1]．解析：若“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，则“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，2x2－λx－1≥0成立”是真命题，分离参数得λ≤eq\f(2x2－1,x)＝2x－eq\f(1,x).设f(x)＝2x－eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，则f′(x)＝2＋eq\f(1,x2)＞0，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递增．所以f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1，所以λ≤－1.(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).解析：当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，即0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4).【一题多变】本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m，由题意得f(x)min≥g(x)max，即0≥eq\f(1,2)－m，∴m≥eq\f(1,2).规律总结根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．若直接求不易求得，则利用p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．对于恒成立问题或有解问题，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.【对点训练5】(2022·河北邯郸摸底)已知命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是[0,4)解析：由题意得不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立．①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意．②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a＜0，))解得0＜a＜4.综上，实数a的取值范围是[0,4)．基于数学知识的逻辑推理【题目呈现】关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是(A)A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：因为1×3>0,1＋3≠2，又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假，由甲为假易知，符合题意，由乙为假推出矛盾．故选A.【素养解读】此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化，生产生活等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查．逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理.素养检测数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(－∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，＋∞)上函数单调递增；丙：函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；丁：f(0)不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是乙，写出一个符合要求的函数f(x)＝|x－1|(答案不唯一)．解析：假设甲、乙两个同学回答正确，因为在[0，＋∞)上函数单调递增，所以丙说“函数f(x)的图象关于直线x＝1对称”错误．此时f(0)是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误．函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，关于直线x＝1对称，则f(x)＝|x－1|，或f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3等.课时作业2基础巩固一、单项选择题1.(2022·河北邯郸模拟)已知圆C1：x2＋y2＝25和圆C2：(x－3)2＋y2＝a2，则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”的(AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若圆C1与圆C2内切，则圆心距|C1C2|＝||a|－5|，即||a|－5|＝3，得a＝±8或±2，所以a＝2是圆C1与圆C2内切的充分不必要条件．故选A2.(2022·山东潍坊二模)17世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，则费马大定理的否定为(D)A．对任意正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解B．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解解析：含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，故只有D满足题意．故选D.3.(2022·山东滨州模拟)关于下列命题，判断正确的是(C)A．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C．命题“∀x∈R，x4∈R”的否定为“∃x∈R，x4∉R”D．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”解析：A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错误；B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错误；C选项，命题“∀x∈R，x4∈R”的否定为“∃x∈R，x4∉R”，故C正确；D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错误．故选C.4.(2022·湖北十堰模拟)在等比数列{an}中，已知a2020>0，则“a2021>a2024”是“a2022>a2023A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵公比q≠0，∴a2021>a2024，∴a2020q>a2020q4，∴q>q4，∴q(1－q3)>0，∴q(1－q)(1＋q＋q2)>0，∴q(1－q)>0，∴0<q<1，又∵a2022>a2023，∴a2020q2>a2020q3，∴q2>q3，∴q2(1－q)>0，∴q<1且q≠0，∴0<q<1⇒q<1且q≠0，即“a2021>a2024”是“a2022>a20235.函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(D)A．ab＝1 B．a＋b＝0C．a＝b D．a2＋b2＝0解析：因为f(－x)＝－f(x)，即－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b，f(0)＝0，可得b＝0，要使等式恒成立，则a＝0且b＝0，等价于a2＋b2＝0，因此，函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.故选D.6.已知条件p：x2－3x＋2≤0，条件q：(x－a)(x－a－5)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(A)A．[－3,1] B．(－3,1]C．[－3,1) D．(－3,1)解析：由x2－3x＋2≤0可得1≤x≤2，即p：x∈[1,2]；由(x－a)(x－a－5)≤0可得a≤x≤a＋5，即q：x∈[a，a＋5]．若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，所以[1,2][a，a＋5]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜1，,a＋5≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a＋5＞2，))解得－3≤a≤1.二、多项选择题7.(2023·湖南长沙一模)下列选项中，与“x2>x”互为充要条件的是(BC)A．x>1B．2x2>2xC．eq\f(1,x)<1D．|x(x－1)|＝x(x－1)解析：x2>x的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，对于A，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A不符合；对于B，因为2x2>2x等价于x2>x，其范围也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B符合；对于C，eq\f(1,x)<1即为x(x－1)>0，其解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C符合；对于D，|x(x－1)|＝x(x－1)即x(x－1)≥0，其解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D不符合，故选BC.8.命题“∃x∈[1,2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是(BD)A．a≥1 B．a≥4C．a≥－2 D．a＝4解析：命题“∃x∈[1,2]，x2≤a”等价于a≥1，即命题“∃x∈[1,2]，x2≤a”为真命题所对应集合为[1，＋∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对应的集合真包含于[1，＋∞)，显然只有B，D正确．故选BD.9.(2022·江苏南通模拟)设α，β为两个平面，下列是“α∥β”的充分条件的是(BD)A．α，β与平面γ都垂直B．α内有两条相交直线与平面β均无交点C．异面直线a，b满足a∥α，b∥βD．α内有5个点(任意三点不共线)到β的距离相等解析：对于A：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中：平面ADD1A1为平面α，平面ABB1A1为平面β，平面ABCD为平面γ，此时满足α，β与平面γ都垂直，但平面α与平面β相交，所以α，β与平面γ都垂直得不出α∥β，所以α，β与平面γ都垂直不是α∥β的充分条件，故选项A不正确；对于B：α内有两条相交直线与平面β均无交点即α内有两条相交直线与平面β平行，由面面平行的判定定理可得α∥β，所以由α内有两条相交直线与平面β均无交点可得出α∥β，故α内有两条相交直线与平面β均无交点是“α∥β”的充分条件，故选项B正确；对于C：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中：直线AD为a，直线BB1为b，平面A1B1C1D1为平面α，平面ADD1A1为平面β，此时符合异面直线a，b满足a∥α，b∥β，但平面α与平面β相交，所以异面直线a，b满足a∥α，b∥β得不出α∥β，异面直线a，b满足a∥α，b∥β不是“α∥β”的充分条件，故选项C不正确；对于D：若α内有5个点(任意三点不共线)到β的距离相等，则α∥β，所以α内有5个点(任意三点不共线)到β的距离相等是三、填空题10.设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.11.(2023·广东广州检测)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为[0,3]．解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因为x∈P是x∈S的必要条件，所以S⊆P.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3.故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.12.(2022·山东聊城三模)命题“∃x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0”为假命题，则实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a<\f(6,5))))).解析：由题意可知，命题“∀x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0”①当a2－4＝0时，可得a＝±2.若a＝－2，则有－1<0，合乎题意；若a＝