高考数学高中数学知识要点重温25导数的应用与复数

高中数学知识要点重温〔25〕导数的应用、复数1.用导数研究函数的单调性。在区间内可导，假设>0，那么在上递增;假设<0，那么在上递减.注意：为正〔负〕是函数递增〔减〕充分不必要条件。如果函数f(x)在区间〔a,b〕内可导且不是常函数，上述结论可以改良为：f(x)在区间〔a,b〕上单调递增≥0在〔a,b〕上恒成立；f(x)在区间〔a,b〕上单调递减≤0在〔a,b〕上恒成立[举例1]函数假设在是增函数，求实数的范围。解析：≥0在上恒成立在上恒成立而在上的最小值为16，故。[举例2]定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0，那么y=f(x)的图象可能是下列图中的〔C〕O x y ④ O x y ③ O x y ④ O x y ③ O x O x y ② O x y ① 解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。[举例3]f(x)是定义在〔0，+∞〕上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,假设a＜b，那么必有〔〕〔07陕西理11〕A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)解析：xf/(x)+f(x)≤0[xf(x)]/≤0函数F(x)=xf(x)在〔0，+∞〕上为常函数或递减，又0<a＜b且f(x)非负，于是有：af(a)≥bf(b)≥0①②①②两式相乘得：af(b)≤bf(a)，应选A。注：此题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感。[稳固1]函数在〕上递增，的取值范围是。[稳固2设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔〕〔07浙江理8〕yyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．[稳固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f/(x)>g/(x),假设a>b，那么〔〕A．f(a)>g(b)B．g(a)<f(b)C．f(a)-f(b)<g(a)-g(b)D．f(a)-f(b)>g(a)-g(b)2．“极值点〞不是“点〞，而是方程的根。是函数极值点那么；但是，未必是极值点〔还要求函数在左右两侧的单调性相反〕；假设〔或〕恒成立，那么函数无极值。[举例1]函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．〔1〕证明；〔2〕假设z=a+2b,求z的取值范围。解析：函数的导数．〔Ⅰ〕由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以；当时，为增函数，，由，得．〔Ⅱ〕在题设下，等价于即．化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：所围成的的内部，由“线性规划〞的知识容易求得：的取值范围为．[举例2]函数在处有极值10,那么解析：，∴=①②由①②得：或当时，，此时函数无极值，舍去；当时，函数在处左减右增，有极小值；此时∴18。注：在解决“函数的极值点求参变量〞的问题时，为防止“增根〞，需将求出的参变量的值代入检验其是否为完全平方式，假设是那么函数无极值〔单调〕，否那么有极值；也可以对再次求导，看的值，为0那么无极值，为正那么有极小值，为负那么有极大值。[稳固1]在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)假设在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.[举例2]设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．〔07高考山东文21〕3.求在闭区间内的最值的步骤：〔1〕求导数〔2〕求导数方程=0的根〔3〕检查在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式≥0及≤0确定函数在给定区间内的单调情况，再确定函数的极值；最后将极值与区间端点的函数值比拟以确定最值。[举例1]设函数在及时取得极值．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕假设对于任意的，都有成立，求c的取值范围．解析：〔Ⅰ〕，由，．解得，．〔Ⅱ〕在[0，3]上恒成立即，由〔Ⅰ〕可知，，．当时，；当时，；当时，．即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．于是有：，解得或，因此的取值范围为。[举例2]定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．用表示，并求的最大值；解析：设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或〔舍去〕．即有．令，那么．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，∴在的最大值为．[稳固1]设函数，求在区间的最大值和最小值．[稳固2]函数，其图象为曲线C直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值〔2〕是否存在实数a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值为3，最小值为-29。假设存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；假设不存在，请说明理由。4．复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根〞为，=-1，，=1，；复数运算遵循有理式的运算法那么；复数的商一般将分母“实数化〞〔分子分母同乘分母的共扼复数〕；两个虚数不能比拟大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数〔∈R，∈R〕在复平面内唯一对应点〔，〕。[举例1]设是实数，且是实数，那么〔〕A． B． C． D．解析：==∈R，那么1[举例2]，且〔是虚数单位〕是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是〔〕AＡ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解析：分别将代入方程得：①②对①②整理得：；解得：。此题也可以用“韦达定理〞求解：③，④对③④整理得：。[稳固1]在复平面内，复数z=对应的点位于〔A〕第一象限〔B〕第二象限〔C〕第在象限〔D〕第四象限[稳固2]设复数满足，那么〔〕A． B． C．