变量代换求解常微分方程

变量代换求解常微分方程变量代换求解常微分方程/NUM变量代换求解常微分方程变量代换求解常微分方程题目：变量代换求解常微分方程院（系）：理学院专业：信息与计算科学学生：郝腾宇

摘要本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解

目录变量代换法求解一阶微分方程……………3变量代换法求解二阶微分方程…………………6变量代换法求解三阶微分方程…………………7变量代换法求解n阶微分方程…………………7变量代换法求解Euler阶微分方程……………9变量代换法在研究解或轨线性态中的应用…………….10函数变换法求解常微分方程……………………11三角变换法求解常微分方程……………………13拉普拉斯变换求解常微分方程………………14

1变量代换法求解一阶微分方程1）对于齐次微分方程，这里是的连续函数，做变量代换，使方程化为变量分离方程，可求解。2)对于准齐次微分方程，这里，，，，，均为常数。=1\*GB3①当（常数）时，方程直接化为，有通解：=2\*GB3②当时，做变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。=3\*GB3③当时，做变换，其中为直线和直线在平面的交点，将方程转化为齐次方程由上式可求解。3）对于更一般的类型，这里，，，，，均为常数=1\*GB3①当（常数）时，方程直接转化为，有通解；=2\*GB3②当时，做变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。=3\*GB3③当时，作变换，其中（）为直线和直线在平面的交点，将方程化为齐次方程由上式即可求解。4）对于方程，这里a，b，c均为常数，作变量代换，将方程化为变量分离方程由上式可求解。5）对于方程，这里m，n，均为常数，作变量变换，将方程化为变量分离方程由上式即可求解。6）对于方程，这里为常数，作变量变换，是方程化为变量分离方程由上式即可求解。 7）对于方程，其中M,N为关于x，y的其次函数，做变量变换，化为变量分离方程由上式即可求解。8）对于Bernoulli方程，这里P(x)，Q(x)为连续函数，为常数。当时用乘以原方程两边得作变量代换使方程化为线性微分方程，可求解。9）对于Riccati方程，当R(x)恒为零时，Riccati方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的变换求解；当R(x)不为零时，若y（x）为Riccati方程的一特解，作变量代换，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程由上式即可求解。10）对于一阶非齐次线性微分方程，若Q(x)=0，则方程变为一阶齐次线性微分方程，有通解；若对原方程作变量变换，求得待定函数，代会变换，即得方程的通解。2变量代换法求解二阶微分方程1)对于二阶变系数齐次微分方程（1）设是方程（1）的一特解，变量变换，将方程化为一阶线性微分方程，可求解。2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程（2）当方程（2）满足（为常数）时，作自变量代换（为常数）（3）则方程（3）可化为（4）方程（4）两边乘除以，得（5）由于所以，又为常数，由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程。3变量代换发求解三阶微分方程考虑三阶变系数齐次微分方程（6）当和时，可作变换，则方程（6）可化为（7）将和代入（7）得到常系数齐次微分方程考虑三阶变系数线性非齐次微分方程（8）其中，都是的已知连续函数，且二次可微，为常数。作自变量变换，则方程可化为（9）方程（9）两边同时除以得到三阶常系数线性微分方程4变量代换发求解n阶微分方程1）考虑n阶非齐次线性微分方程（10）设方程（10）对应的n阶齐次微分方程（11）通解为（12）作变量变换，令（13）为（10）的通解。求出特定函数，代入（13），即得（10）的通解。2）考虑常系数非齐次线性微分方程（14）这里是常数，。作变量变换，令，则方程可化为（15）其中都是常数。对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解故(14)有特解,其中k为特征方程F(λ)=0的根λ的重数。3)对于n阶微分方程(t,x,…,)=0,当方程不显含未知函数x,或更一般地,设方程不含x,…,,即方程:(1kn)(16)作变量变换,令y=,可将方程降为关于y的n-k阶方程4)对于n阶微分方程,当方程不显含自变量t,即方程(17)作变量变换,令x′=y,采用数学归纳法不难证明,可用y,,…,表示出(k≤n),将这些表达式代入方程(17),可使方程化为关于x,y的n-1阶方程5变量代换法求解Euler方程形如(18)的Euler方程,这里,…为常数。对于Euler方程,我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求解。角度一:引进自变量的变换,则,通过直接计算及数学归纳法不难证明:对于一切自然数k均有关系式其中都是常数。于是有(19)将(19)代入方程(18),就得到n阶常系数齐次线性微分方程(20)其中都是常数。此方程可采用特征根法求得通解,再代回原来的变量就可得欧拉方程(18)的通解。角度二:由于n阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如的解,结合角度一中的推演过程,从而方程(18)有形如的解,因此可直接求欧拉方程形如的解,作变量变换,代入方程(20),并约去因子,即可得到确定k的代数方程,也是方(20)的特征方程(21)因此,方程(21)的m重实根,对应于方程(18)的m个解而方程(21)的m重复根，对应于方程(18)的2m个实值解:6变量代换法在研究解或轨线性态中的应用1)考虑非线性常微分方程组解的性态,我们通常将其与具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y=φ(t)邻近的解的性态,作变量变换使方程组化为，从而使问题转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。2)考虑全相平面上的轨线性态时,常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线性态,如研究平面一阶非线性驻定方程组的全相平面的轨线状态，做极坐标变换从而使方程组化为经分析可知是稳定的极限环。7函数变换法求解常微分方程1）考虑函数变换法求解伯努利方程设（23）这里是常数。，是的连续函数。假设方程（23）有形如的解，则有（24）将上式代入方程（23），整理可得（25）若令，则（26）用变量分离法可以求得若选取，则。将代入（26），求得于是，方程（23）的解为特别的，当时，得一阶线性非齐次方程的解为这与常数变易法求得的通解相一致。2）考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设（27）其中、、是其中某个区间内的一阶可微函数，且。设方程（27）有形如（28）的解，则方程（27）可化为（29）令求得及令，则上式化为此方程可通过公式法或者观察法求解，则Riccati方程的特解可表示出来。8三角变换法求解常微分方程在求积分时，当被积函数有形如，，等形式时，可通过三角变换法求解。在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以考虑三角变换法。1）对于Chebyshev方程：（30）做三角变换，并求得，代入原方程，整理得，由上式可解得所以Chebyshev方程的解为2)对于三阶变系数微分方程（31）当原方程满足（32）可作三角变换并求得代入原方程整理得由（32）可得从而（31）可简化三阶常系数线性微分方程9Laplace变换法求解常微分方程Laplace变换法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程（组）转换成复变数S的代数方程（组），通过一些代数运算，一般