历届考生最关注的数学十大考点：平面解析几何

第一部分考试要求

直线和圆的方程

⑴理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能

根据条件熟练地求出直线方程。

(2)掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位

置关系。

⑶了解二元一次不等式表示平面区域。

(4)了解线性规划的意义.并会简单的应用。

⑸了解解析几何的基本思想，了解坐标法。

⑹掌握圆的标准方程和•般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。

圆锥曲线方程

⑴掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

⑶掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单儿何性质。

(4)了解圆锥曲线的初步应用。

(-)直线与圆知识要点

1,直线的倾斜角与斜率k=tga城)，直线的倾斜角a一定存在，范围是［0,n),但斜率不一定存在。

斜率的求法：

依据直线方程

依据倾斜角

依据两点的坐标

2.直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。

3.两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。(斜率相等还有可能重合)

4.两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。

5.点到直线的距离公式。

6.会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。

7.曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。

8.

圆的标准方程：(x—a1+(y—b):」

22

圆的一般方程：x+y+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件。

圆的参数方程：1)=84■，疝18

掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。

（二）圆锥曲线

1.椭圆及其标准方程:

富TX、第二5KC

«^S（Sttft&WHlLt）

Knm单几何由fi。髭e、曲IE义谯防理，建平隹）

MMKZ&x-acostf.j“向

可用参做方程设点喇嘛IBM特化为三角通tf*

2.双曲线及其标准方程:

隹一定叉、第二Jt义（雷■与■■«荚比）

押8方程（国飞3在・tNUJ

ka岫传机何性质6队A*JL何.2献知L«¥&m郎

3.抛物线及其标准方程：

走死也块财**中的融。

（―电■处mt为胃腰飨的受*）

折血程开口方向，金嗝・幻BH0A

IkMMmULfW富％电防格导kA刷关的也

4.直线与圆锥曲线:

ftKK..SmUUm«MKMR£<

3H&SflVftJSMtt

注意点：

（1）注意防止由于"零截距"和"无斜率”造成丢解

（2）要学会变形使用两点间距离公式/=如一2’+31一%）'

当已知直线］的斜率占时，公式变形为/="+*'卜*-"|产片iI

当已知直线的倾斜角二时，还可以得到—H或/=g-x|.|0cd

（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。

（4）会在任何条件下求出直线方程。

（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质

解析几何中的一些常用结论：

1.直线的倾斜角a的范围是［0,n）

2.直线的倾斜角与斜率的变化关系：

当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角a的增大而增大。

当a是钝角时，k与a同增减。

3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。

4.两直线：1_//+8/+（：1=0L2：A2x+B2y+C2=OLJL2

5.两直线的到角公式：L］到L2的角为&tan0=1+4**«

夹角为e,tane=|1+3|注意夹角和到角的区别

6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。

7.有关对称的一些结论

点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是

(a,—b),(—a,b),(—a,—b),(b,a)

如何求点(a,b)关于直线Ax+By+C=O的对称点

直线Ax+By+C=O关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点(a,b)对称的直线方程又

是什么？

如何处理与光的入射与反射问题？

8曲线f(x,y)=O关于下列点和线对称的曲线方程为:

(1)点(a.b)

X知C-

(2W

y申HI

(3.

4X原点

71

直

5JX勤

ZG

直

61X勤y=x

Za

直

7X外y=-

/Ix=

9•点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。

点、P(xQ,y0)z圆的方程：(x—a)?+(y—b］二r：

如果仅0—2)2+仅0—b)2>，=点p(XoM)在圆外；

222

如果(x0—a)+(y0—b)<r^点P^o,y。)在圆内；

222<=>

如果(x0-a)+(y0-b)=r点P^OM)在圆上。

2

10.圆上一点的切线方程：点P(Xo，yo)在圆乂之+丫?二，上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r.

11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与x轴垂直的直线。

12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。d>r0

相离d=r=相切d<r=相交

13.圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别

为r,R

d>r+R=两圆相离

d=r+RO两圆相外切

IR-r|<d<r+RO两圆相交

d=|R-r|Q两圆相内切

d<|R一r|O两圆内含

d=0,两圆同心。

14.两圆相交弦所在直线方程的求法:

圆q的方程为:x^y^DjX+E^+C^O.

22

圆C2的方程为:x+y+D2x+E2y+C2=O.

把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D/D2)x+(E]-E2)y+(C]-C2)=O

15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。

16.焦半径公式：在椭圆。b=1中，%、上分别左右焦点，P(Xyyo)是椭圆是一点，则:

⑴

|PF1|=a+ex0

|PF2|=a-ex0

⑵三角形PF,Fz的面积如何计算

17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。

18.直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=O交于两点PjXpyJ月的名)则弦长1"】一“，।

19.双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。

20.抛物线中与焦点有关的一些结论：(要记忆)

解题思路与方法；

高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有

中档题.且解析儿何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最

重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：

(1)在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少

或避免错误的一个关键。

(2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别

式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确

判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲

线相交时：涉及弦长问题，常用"韦达定理法"设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法"

设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的

关系灵活转化，往往就能事半功倍。

(3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简

捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。

一般求己知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。

定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。

定式一一根据“形"设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为

22

mx+ny=l(m>0,n>0)o

定量一一由题设中的条件找到"式"中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。

(4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时.，一般需使

用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。

(5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应

用。

(6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程

的实质是将"曲线"化成"方程"，将"形"化成"数"，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方法

有：直接法、定义法、儿何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、歹I式、化简、

确定点的范围。

(7)参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。

第二部分解析几何中的范围问题《研究性学为之二》

在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长(或实轴长)、短

轴长(或虚轴长)等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路,

首先寻觅出(或直接利用)相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所

给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。

一、"题设条件中的不等式关系”之运用

事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探

索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为

解题的关键环节.

例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为

We[—6]

(1)若直线AP的斜率为k,且门3’,求实数m的取值范围；

(2)当*=时，△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线方程.

分析：对于(1),已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于(2),则

要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积

等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.

解：

(1)由已知设直线AP的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0

•••点M到直线AP的距离为1

.・.好riI*①

.竽4加2

亚+IW32/

解得3或

・•・所求m的取值范围为■“争竽・引

X4=wO）

（2）根据已知条件设双曲线方程为

当*»=至+1时，点M的坐标为（4+L°）.

・•・A（L。），皿1=血，

:点M到直线AP的距离为1,

，ZXAPQ的内切圆半径r=1,

AZPAM=45°,

二%=1%=-I（不妨设点P在第一象限）

，直线PQ的方程为x=2+立，

直线AP的方程为y=x-l

因此解得点P的坐标为（2+场.1+事）

/一人=冷*6*=-JE——

将点P坐标代入双曲线方程A'得.+3

所求双曲线方程为J2+1

即M’-金^-=\

点评：这里的（1）,是题设条件中明显的不等关系的运用；

这里的（2）,审时度势的求解出点P坐标，恰如"四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可

总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.

*_=1

例2、设椭圆的两个焦点是用鸟色味，且椭圆上存在点P使得直线即与直线明垂

直.

（1）求实数m的取值范围;

幽=2一0

（2）设L是相应于焦点鸟的准线，直线空与1_相交于点Q,若1H引，求直线明的方程.

分析：对于(1),要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里

应有*+,且+=便是特设条件中隐蔽的不等关系.

对于(2),欲求直线抽的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.

解：

(1)由题设知蒯|+1>1*>*>0.且1=日工18=1«=6

设点P坐标为(勺)・)，则有

化简得勺’+乂

①

才=工

将①与m+1联立，解得

2M-I.

q=-------a0

Vm>0,且.

m>l

即所求m的取值范围为〔L网

x上=“罕

(2)右准线L的方程为©

■勺=-7=*

设点.

M4-1f-

如_”一志7*

:幽|c-0

②

(i)将"1*代入②得

=----------!-TTTJP--'

网-③

，由③得*»+5'-I=2一下,无解

(ii)将’1*•代入②得

四=___\_____M_4^\

网.+G1

...由题设得*1-5-1=2-石

由此解得m=2

,,产=冷/=土孝<二/

从而有NN

于是得到直线根的方程为夕=母「一家x-向

点评：对于(1),解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式对于(2),以求解点P坐标

以2.S

(~J・)为方向，对已知条件理।进行"数形转化〃，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本

策略.

二、“圆锥曲线的有关范围”之运用

我们在学习中己经看到，椭圆、双曲线和抛物线的"范围"，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究"范围"，一在

于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用："应用”它们来解决有关问题。

BB号+《"=1(<1>8>0)

例、以维*啊为焦点的椭圆aA与X轴交于A,B两点

(1)过鸟作垂直于长轴的弦MN,求/AMB的取值范围；

(2)椭圆上是否存在点P,使NAPB=12O。？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.

解：

(1)基于椭圆的对称性，不妨设定/为右焦点，M在第一象限，则易得a,

设A(—a,O),B(a,O),则NAMB为直线AM到BM的角,

又吨一。)<s(c4-a)

...利用公式得1+J.C•①

此时注意到椭圆离心率的范围：0<e<l,

②

由①®得1att<_2

—<ZiUrfS<<-arctan2

由此解得2

(2)设椭圆上存在点P使NAPB=120。

基于椭圆的对称性，不妨设点P(x,y)在第一象限

则有x>0,y>0

--■-T----,

tai1200=*"一入x-。x+。

1+“祖

，根据公式得x-a

整理得

2V=-/(/+V-♦')①

。一金

又这里②

二②代入①得短

-A')③

此时注意到点P在椭圆上，故得°〈"〈A④

243ab,

—i—5""WA

二由®©得%-A)

=<?之犷。之后

0⑤

辰之播•之理

由⑤得3⑥

于是可知，当.之后时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为l"T'"；

当＜祗*时，点P不存在.

三、"一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用

在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由"相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此,

对于有关一元二次方程的判别式△＞(),求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的

不等式的原始不等关系。

例1、已知椭圆的一个顶点A。-1),焦点在x轴上，且右焦点到直线*-"+2亚=°的距离为3,若斜率不为。的直

线I与椭圆交于不同两点M、N,使M、N关于过A点的直线对称，求直线I的斜率取值范围。

卜+叫FR

解：(既设又解)设右焦点F(c,O),则由■

又b=l,.•.♦=下

二椭圆方程为*'+3/=3①

设直线I的方程为丫=1«+01②

*(凝Ji).4①工回中点名勺，*)

将②代入①得+Dx'+«*«+(3*a-3)=0

由题意人＞°=对-*+1＞的*5③

-3faw

"2=品

...点P坐标为(-含?/次。

又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有k

*+1

0m=---------

3^-(^-^)4+1>0(**0)

于是将⑤代入③得2

»3fc4-2fcJ-l<0(**0)

<=>-I<k<映0<k<t

因此可知，所求k的取值范围为(-ISU8.D

例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在X轴上，一条经过点、0「万）且方向向量为“二62•下）的宜线I交椭圆C

「A、B两点，交x轴于点M,又充=2万

（1）求直线I的方程；

（2）求椭圆C的长轴长的取值范围.

解:

=1(«>6>0)

（1）由题意设椭圆C的方程为d

...直线I的方向向量为a=（-24）

”二。一亭亦为直线।的方向向量

人-吏

直线I的斜率2

>+6=-坐a-与

因此，直线I的方程为2

即--J5=o

（2）设兵卬）1）•典吗Ja）

将直线I的方程与椭圆方程联立，消去x得

甘+4AA=0

aa

由题设A=（y」5户）'-4（5a'+必1）»0-«）>o

=5s1+3-5>0©

②

乂这里M（1,O）

.•.由豆7=2砺得。-勺，「0=2（叼-1必）

.•.”+讥=（X或，+2~=3）③

进而由③得乂必=一纨’

+>i=F，y④

.•.由④得，立=%+%>

⑤

“'"铸）-（❹80fr'

.♦.②代入⑤得*+城v+46：沙⑥

0（l-『X5fli+词）=-326a

=S?+4*i-5a*-4aV=-326a

⑦

注意到由⑥得1一.’<°=d’>L

故由⑦得9一/>0='<9・

因而得l<a<3⑧

，由⑦解出代入①并利用⑧得

U1,il%'-DV2G

5ua+——--i-5>0（1<a

9—。

)+5O"-D-5C9①>00”<3)

"o'>KIvo<3)

<=>1<d<3⑨

另一方面，再注意到b<c046’v4«',

再由⑦得等3…

<4K1<aCQ1<a(岑

因此产2a考

即所求椭圆c的长轴的取值范围为0季

点评：欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围，需要利用或挖掘题目中的不等关系.在这里，我们由血=翁导

出关于a、b的等式⑦之后，一方面利用了本题中人们熟知的△>()确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中

的大小关系：a>b>0,双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键.

四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用

所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。

因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：

1、点N+以4■a+f=呐部0%'+父+现+«<0;

点*.(q~3>A>部=与+患"<上

2、

八哂部“营-金上

3、

4、点%(q好'=2p*O>哂部=乂<2M-

例、已知椭圆的焦点为耳（<◎4（4,0），过点玛且垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为,

又椭圆上不同两点A、C满足条件：网4向毗洞成等差数列.

（1）求椭圆的方程；

（2）设弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m,求m的取值范围.

解：

（1）由题设得2a=10,c=4

/.a=5,b=3,c=4

...椭圆方程为259-

（2）（设而不解）设底*i，M）•贝%>■）.（71，），笠AC的中点幽勺,加

则由题意得电回=网4

。2（.一甸=《一叫）+

=/+5=8①

故有点“―加

,:A、C在椭圆9x'+2»‘=225上

.."+2册=225

9蜡+2»广=225

两式相减得双X；一4）+2%才=0

“一力T力

，一叼2厘）|十l②

4=（一9为心4

，由①及所设得25其③

y-y.=—-为

：,弦AC的垂直平分线方程为36

369,

.=一竺尤="=一2.

二由题意得916④

±2

注意到当x=4时椭圆上点的纵坐标为5,又点看（4尤）在椭圆内部

⑤

16

点评：此题解法充分体现了"以我为主”的思想。以我为主：以我所引入的参数拴释已知条件，以我所引入的参数构造

弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略.…，本解法以运用自设参数为主而将所给的y=kx+m放在十分次要的位置，

从而使我们直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望。想一想：这里为什么可以不用直线方程y

=kx+m与椭圆方程联立。

五、"圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用

“相等，，与“不等〃是辩证的统一，根据"相等"与"不等"之间相互依存的辩证关系，椭圆与双肺线定义中显示了明朗的“相

等”关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等"关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题，适时认知并发掘出本题的不等关

系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：

1设点P为MC上一点，骗部叫一网|«2c或附|+帜4|之2a

设点P为双曲线ch一点，蛹P囹|+随|之2）:或||阿卜也|忆2tL

4-A=t（a>aA>0）尸

例、已知双曲线。A的左、右焦点分别为7、%，若在其左

支上存在点P且点P到左准线的距离与"■卜旧射成等比数列，求离心率e的取值范围.

分析：寻求e的范围的一般途径为

（1）认知或发掘出本题的不等关系;

（2）将（1）中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式;

（3）将（2）中的不等式演变为关于e的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围.

其中，有关双曲线上点P处的两条焦点半径9E的问题，定义中明朗的等量关系:

I阿卜忸鸟“=&是认知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系：

网1+1图之配则是寻求参量范围的重要依据。

解：

（1）确立不等关系

注意到这里巡恬口遇I①

（2）不等关系演变之一

设左支上的点P到左准线的距离为d,

则山题意得PH

即Id（变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系）

.•.四卜松I②

又点P在双曲线左支上

摩|=2a（点p在左支这-条件的应用）③

网=言

。一I,

网=1

・・・由②③解得・一U④

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...将④代入①得三+当

⑤

(3)不等关系演变之二：

由⑤得"'-

故解得1<.M瓶+1

于是可知，所求离心率e的范围为0•北+D

第三部分直线与圆维曲线问题的解题箫略

《研究•学前之一)

众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考

的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实

践能力，需要切实解决好以下两个问题：

(1)条件或目标的等价转化；

(2)对于交点坐标的适当处理。

本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希

望对高考备考有所帮助。

一、条件或目标的认知与转化

解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为己

经解过的题。然而，转化的基础是认知一一认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基

础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。

1、化生为熟

化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是

两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长

或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。

(1)向弦中点问题转化

亡-ee.独

例1.已知双曲线必=i(a>0,b>0)的离心率3,过点A(0,-b)和B(a,O)

皂

的直线与原点间的距离为2

(1)求双曲线方程；

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(2)若直线(kmM)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆

心的同一个圆上，求m的取值范围。

略解:

--ya-l

(1)所求双曲线方程为3(过程略)

y^kxt-JK

y-3?-3消去y得：口'_务3-■冷

(2)由

"土立

33

由题意知，当3时，*。>。€>»->41>0①

设y«).CD中点pg力、

则C、D均在以A为圆为的同-圆上="'8・

3kmtn3Kl—m—I

又"一内'为=-内・

JOXL

3fca一・一1I■

APLCD^—_■—--03V-4M+1

如k②

于是由②得4③

1

由②代入①得JT">。，解得m<0或m>4④

于是综合③、④得所求m的范围为4

(2)向弦长问题转化

一年一-

例2.设F是椭圆1927的左焦点，M是C］上任一点，P是线段FM上的点,

且满足

(1)求点P的轨迹c2的方程;

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（2）过F作直线I与J交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列,

求使冈■炯成立的直线।的方程。

分析：为避免由代换回■率同引发的复杂运算，寻觅替代E-2!麴।的等价条件:

*1■轲

设弦AD、BC的中点分别为O1、02,则，故据此得

刎力口闻-白阳-pep.

O于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。

略解:

屋。）F（T叽

点P分国所成的比入=2。

椭圆C］的中心2

（1）点P的轨迹C2的方程为43（过程略）

（2）设直线।的方程为/①

%），D（勺.%）.

①代入椭圆G的方程得

（钱、令小+曲1-记-竽・0

3-8*z

，+勺0r7?,勺2

故有4k¥3

（3-财9k,

故弦AD中点0］坐标为邓'+.孙’+方

|回.侬区-讣笔普・

②

①代入椭圆C2的方程得（做’+献+8fc%+铲T2■。，

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破・12

又有记+3出+3

（4一英）

故弦BC中点。2坐标为4k‘+3'4k：+3

*+D

3+3③

*卜/+1

，由②、③得W+3④

注意至产・才回“鹤匕3-四

⑤

于是将②、③、④代入⑤并化简得：4公一*'-5-4

I亚

由此解得2。

因此，所求直线।的方程为5*士a*下-。.

2.化繁为简

解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样

的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设

计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简

的策略，除去"化生为熟"之外，重要的当数"借重投影"或"避重就轻"。

（1）借助投影

对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁

杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向X轴（或y轴或其

它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够

有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。

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例3.如图，自点M(1,-1)引直线I交抛物线》■/于P］、P2两点，在线段P］、P2上取

-点Q，使愀1、阳、陨।的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。

解：设4国/玛®1力1小冷

又设直线।的方程为/.以一0①

①代入门,得-a+o・o

由题意得A〉0=*‘-«-4＞0

=上＜2-点或k＞2+2^②

且q巧・k+lj③

2I1

又由题意得幽21④

作PjQ、P2在直线y=-l上的投影Pj、Q'、P/(如图)

姆＜。＜现

又令直线I的倾斜角为2则由阳崎日“得

M卜一回=-正1!

ccsacosa

同理,coxa.

2I

-----―-------4-

.♦•将上述三式代入④得x-lX|-I~-1

"JT-1q匕-(/+砧+1

2-

⑤

K-12_

•••将③代入⑤得点一・^2

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⑥

，将⑥代入①得氏-2

8

+

7

F?⑦

于是由⑥、⑦消去参数k得3=3+2CM-D-2«-y+l=°⑧

再注意到②式，由⑥得或⑨

因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为

-#vx<Uftl<*vl+6

（2）避重就轻

事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们

解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。

例4.已知点P、Q在椭圆9一"6八M4上，椭圆中心为°,且。P-OQ=0,求椭

圆中心。到弦PQ的距离。

分析：这里需要P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不

论是求解P、Q坐标，还是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回,

避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性，想到避开正面求解，而由直线0P（或0Q）方

程和椭圆方程联立方程组解出点P（或点Q）坐标。

解（避重就轻，解而不设）：设/不d]%口.』,1

则由°，・=0得°妙"L0Q

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（1）当点P、Q不在坐标轴上一时，设直线0P的方程》■力1

则直线0Q的方程为".kX

②

将①代入椭圆方程取*9。-144易得*.商+9

③

14U

将②代入椭圆方程-1**易得巧・9L，+16

11M+0

~h对+16④

II（1配2+3+@公+1«）25

H4

...由③、④得同’国’⑤

又在中作an■做于从于是由|OH“PQ|=|OPHOQ|及⑤式得

p/f.g‘PH'明’

144

I125

=所*丽

1|1912

⑵当点P、Q在坐标轴上时，同样可得1c因'⑷，从而有S.亍。