反比例函数专项拔高习题

2018年07月03日初中数学3的初中数学组卷

第I卷（选择题）

请点击修改笫I卷的文字说明

一.选择题（共12小题）

’工（x>0）

1.已知函数y=<x的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过

』（x<0）

X

点P作y轴的垂线交图象于A,B两点，连接OA、OB.下列结论：

①若点Mi（xi，yi）,M2（X2,V2）在图象上，且xi〈x2V0,则yi〈y2；

②当点P坐标为（0,-3）时，^AOB是等腰三角形；

③无论点P在什么位置，始终有SMOB=7.5,AP=4BP；

④当点P移动到使/AOB=90。时，点A的坐标为（2遍，一遍）.

其中正确的结论个数为（）

2.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数尸L的图象交点的横坐

X

标，则方程x3+2x-1=0的实根X。所在的范围是（）

A.Q<<：—B.L<T<LC.D.<1

UYx044x033X022-x0

3.如图，在直角坐标系中，正方形0ABe的顶点。与原点重合，顶点A、C分别

在x轴、y轴上，反比例函数支k（kW0,x>0）的图象与正方形的两边AB、BC

X

分别交于点M、N,ND_Lx轴，垂足为D,连接。M、ON、MN.下列结论：

①△OCN之△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若/

MON=45°,MN=2,则点C的坐标为（0,&+1）.

其中正确结论的个数是()

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两

点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线尸四(k#0)上.将

X

正方形沿X轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值

5.如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、B

两点，若反比例函数y=k(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是

x

()

A.2WkW9B.2WkW8C.2WkW5D.5WkW8

6.如图，两个反比例函数支马口尸上的图象分别是li和加设点P在k上，PC

XX

J_x轴，垂足为C,交b于点A,PD_Ly轴，垂足为D,交L于点B,则三角形PAB

的面积为()

2

7.如图所示，已知A（尹……）为反比例函数咤图象上的两点,

动点P（x,0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点

0)C.(W,0)D.①，0)

22

8.如图，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数尸鱼&>0）图

X

象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M,交AB于点E,

过点P作y轴的垂线，垂足为点N,交AB于点F.则AF・BE=（）

A.8B.6C.4D.6^2

9.如图，直线I是经过点（1,0）且与y轴平行的直线.RtaABC中直角边AC=4,

BC=3.将BC边在直线I上滑动，使A,B在函数力上的图象上.那么k的值是（）

10.函数yi=x（x2o）,y2=A（x>0）的图象如图所示，下列结论：

X

①两函数图象的交点坐标为A（2,2）；

②当x>2时，y2>yi；

③直线x=l分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC的长为3；

④当x逐渐增大时，yi的值随着x的增大而增大，丫2的值随着x的增大而减小.

则其中正确的是（）

A.只有①②B.只有①③C.只有②④D.只有①③④

11.如图，反比例函数尸四（1<>0）与一次函数产工乂+1>的图象相交于两点人（人，

x2

yi）,B（X2，y2），线段AB交y轴与C,当|xi-X2I=2且AC=2BC时，k、b的值分

别为（）

A.k=—,b=2B.k=—,b=lC.k=—,b=—D.k=—,b=—

293393

12.（北师大版）如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=2的图

X

象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB,那么AAOB的面

积为（)

第n卷（非选择题）

请点击修改第n卷的文字说明

填空题（共11小题）

13.如图，直线y=-3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边，

在第一象限内作正方形ABCD,点C落在双曲线y=k（kWO）上，将正方形ABCD

X

沿X轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=K（kWO）上的点

X

（x>0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交

于点A,B,且BE：BF=1：m.过点E作EP，y轴于P,已知aOEP的面积为1,

（用含m的式子表示）

15.如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0,3）,0（0,0）,B（4,0）,C

（4,3）,动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数产四的图象

X

与边AC交于点E,直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题：

①若k=4,则△OEF的面积为呈；

3

②若k卷，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；

③满足题设的k的取值范围是0VkW12；

④若DE・EG=空，则k=l.

12

其中正确的命题的序号是(写出所有正确命题的序号).

16.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB.A,B两点的坐标分别是

(-1,0),(0,2),(：用两点在反比例函数丫=四(|<<0)的图象上,则卜等于.

X

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线I：y=-x-1,双曲线y=L,在

X

I上取一点Ai,过Ai作x轴的垂线交双曲线于点Bi,过Bi作y轴的垂线交I于点

A2,请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂

线交I于点A3，…，这样依次得到I上的点Al，A2，A3，…，An，...记点An的横坐

标为an,若ai=2,则a2=，a20i3=;若要将上述操作无限次地进行

下去，则ai不可能取的值是

18.如图，点A在双曲线尸&上，且0A=4,过点A作AC_Ly轴，垂足为C,0A

X

的垂直平分线交0C于点B,则△ABC的周长为

19.如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2,0),ZAOB=60°,

点A在第一象限，过点A的双曲线为打四.在x轴上取一点P,过点P作直线

X

0A的垂线I,以直线I为对称轴，线段0B经轴对称变换后的像是0B.

(1)当点0'与点A重合时，点P的坐标是;

20.如图，点A(xi，yi)、B(x2,y2)都在双曲线y=K(X>0)上，且X2-XI=4,

X

yi-y2=2；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F,AC

与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么

21.如图所示，RtAABC在第一象限，NBAC=90°,AB=AC=2,点A在直线y=x

上，其中点A的横坐标为1,且AB〃x轴，AC〃y轴，若双曲线厂N(kWO)与

X

△ABC有交点，则k的取值范围是

23.如图，一次函数丫=2*+1）的图象与x轴，y轴交于A,B两点，与反比例函数

尸四的图象相交于C,D两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,

X

F,连接CF,DE.有下列四个结论：

①ACEF与4DEF的面积相等；

②△AOBs/OE；

③△DCEgACDF；

④AC=BD.

其中正确的结论是.（把你认为正确结论的序号都填上）.

三.解答题（共27小题）

24.如图，一次函数丫=-叵+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段

3

AB为边在第一象限作等边AABC.

(1)若点C在反比例函数y=k的图象上，求该反比例函数的解析式；

X

(2)点P(2我，m)在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D,当aPAD

与40AB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐

标；如果不在，请加以说明.

25.如图，在直角坐标系中，RtaABC的直角边AC在x轴上,ZACB=90°,AC=1,

反比例函数y=K(k>0)的图象经过BC边的中点D(3,1).

X

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)若aABC与4EFG成中心对称，且4EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E

在这个函数的图象上.

①求OF的长；

26.已知：如图，直线y=Lx+b与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,

2

线段0A的长是方程x2-7x-8=0的一个根，请解答下列问题：

(1)求点B坐标；

(2)双曲线y=k(kWO,x>0)与直线AB交于点C,且AC=5娓，求k的值；

X

(3)在(2)的条件下，点E在线段AB上，AE=依，直线l_Ly轴，垂足为点P

(0,7),点M在直线I上，坐标平面内是否存在点N,使以C、E、M、N为顶

点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Ko*

27.如图1,一次函数y=-x+b与反比例函数y=K(kWO)的图象交于点A(1,

X

3),B(m,1),与x轴交于点D,直线OA与反比例函数y=K(kWO)的图象的

X

(2)判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；

(3)如图2,已知点F在x轴正半轴上，OF=2•，点P是反比例函数(kWO)

2x

的图象位于第一象限部分上的点(点P在点A的上方)，ZABP=ZEBF,则点P

的坐标为(，).

28.如图1,0OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3,A(2,1),反比例函数

y=K(x>0)的图象经过的B.

(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；

(2)如图2,直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M,N两点，若点。和点

B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；

(3)如图3,将线段0A延长交y=K(x>0)的图象于点D,过B,D的直线分

X

别交x轴、y轴于E,F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由.

29.有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函

数y=Lx与y=K(kWO)的图象性质.

kx

小明根据学习函数的经验，对函数丫=4与丫=上，当k>0时的图象性质进行了

kx

探究.

下面是小明的探究过程：

(1)如图所示，设函数y=L<与y=K图象的交点为A,B,已知A点的坐标为(-

kx

k,-1),则B点的坐标为；

(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.

①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.

证明过程如下：设P(m,k),直线PA的解析式为y=ax+b(aW0).

m

"ka+b=-l

则k，

ma+b二一

in

解得_______

二直线PA的解析式为

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.

②当P点坐标为(1,k)(kWl)时，判断4PAB的形状，并用k表示出4PAB

的面积.

30.如图，一次函数y=kix+b(廿0)与反比例函数(k2W0)的图象交于

点A(-1,2),B(m,-1).

(1)求这两个函数的表达式；

(2)在x轴上是否存在点P(n,0)(n>0),使4ABP为等腰三角形？若存在,

31.直线y=kx+b与反比例函数y=§(x>0)的图象分别交于点A(m,3)和点

X

B(6,n),与坐标轴分别交于点C和点D.

(1)求直线AB的解析式；

(2)若点P是x轴上一动点，当ACOD与4ADP相似时，求点P的坐标.

32.如图，直线yi=mx+n(mWO)与双曲线y2=^.(kWO)相交于A(-1,2)

X

和B(2,b)两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D.

(1)求m,n的值；

(2)在y轴上是否存在一点P,使4BCP与AOCD相似？若存在求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

33.如图1,QOABC的边0C在x轴的正半轴上，OC=5,反比例函数y=W_（x>0）

X

的图象经过点A（1,4）.

（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；

（2）如图2,过BC的中点D作DP〃x轴交反比例函数图象于点P,连接AP、

OP.

①求AAOP的面积；

②在口OABC的边上是否存在点M,使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？

若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

34.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=-x+b与坐标轴交于

C,D两点，直线AB与坐标轴交于A,B两点，线段OA,OC的长是方程x2-3x+2=0

的两个根（OA>OC）.

（1）求点A,C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E,若点E是线段AB的中点，反比例函数y=K（k

X

NO）的图象的一个分支经过点E,求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N,使以点

B,E,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

35.如图1,一次函数y=kx-3(k#0)的图象与y轴交于点A,与反比例函数

y=—(x>0)的图象交于点B(4,b).

x

(1)b=；k=；

(2)点C是线段AB上的动点(与点A、B不重合)，过点C且平行于y轴的直

线I交这个反比例函数的图象于点D,求△OCD面积的最大值；

(3)将(2)中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离，得到

△OVD-,若点0的对应点CT落在该反比例函数图象上(如图2),则点〉的坐

36.如图，平面直角坐标系xOy中，点C(3,0),函数y=K(k>0,x>0)的

X

图象经过口OABC的顶点A(m,n)和边BC的中点D.

(1)求m的值；

(2)若AOAD的面积等于6,求k的值；

(3)若P为函数y——(k>0,x>0)的图象上一个动点，过点P作直线l_Lx

X

轴于点M,直线I与x轴上方的口OABC的一边交于点N,设点P的横坐标为t,

当里卫时，求t的值.

PM4

37.如图，直线y=ax+l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=N(x

X

>0)相交于点P,PC_Lx轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).

(1)求双曲线的解析式；

(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH±x轴于H,当以点Q、C、H

为顶点的三角形与^AOB相似时，求点Q的坐标.

38.如图，点M(-3,m)是一次函数y=x+l与反比例函数y=K(kWO)的图

X

象的一个交点.

(1)求反比例函数表达式；

(2)点P是x轴正半轴上的一个动点，设。P=a(aW2),过点P作垂直于x轴

的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A,B,过0P的中点Q作x

轴的垂线，交反比例函数的图象于点C,△ABU与aABC关于直线AB对称.

①当a=4时，求△ABU的面积；

②当a的值为时，△AMC与△AMC的面积相等.

>'A

39.如图，已知一次函数丫=当-3与反比例函数y=K的图象相交于点A（4,n）,

2x

与x轴相交于点B.

（1）填空：n的值为,k的值为；

（2）以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点

D的坐标；

（3）观察反比例函数y=k的图象，当y2-2时，请直接写出自变量x的取值范

40.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下

方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的"V形折线"）.

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析

式；

（2）如图2,双曲线y=k与新函数的图象交于点C（1,a）,点D是线段AC上

X

一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E,

与双曲线交于点P.

①试求4PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此

时点D的坐标；若不能，请说明理由.

41.如图，双曲线y=K(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB〃x轴,

X

点A的坐标为(2,3).

(1)确定k的值；

(2)若点D(3,m)在双曲线上，求直线AD的解析式；

(3)计算aOAB的面积.

42.如图，点A(1,6)和点M(m,n)都在反比例函数y=K(x>0)的图象

X

上，

(1)k的值为；

(2)当m=3,求直线AM的解析式；

(3)当m>l时，过点M作MP，x轴，垂足为P,过点A作AB_Ly轴，垂足为

B,试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由.

43.【合作学习】

如图I,矩形ABOD的两边OB,0D都在坐标轴的正半轴上，0D=3,另两边与反

比例函数y=K(k#O)的图象分别相交于点E,F,且DE=2.过点E作EHLx轴

X

于点H,过点F作FG_LEH于点G.回答下面的问题：

①该反比例函数的解析式是什么？

②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？

(1)阅读合作学习内容，请解答其中的问题；

(2)小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题："当AE>EG时，矩形AEGF

与矩形DOHE能否全等？能否相似？”

针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两

个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由.

相交于A、B、C、D四点.

(1)当点C的坐标为(-1,1)时，A、B、D三点坐标分别是人(,),

B(,),D(,).

(2)证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形.

(3)当k为何值时，口ADBC是矩形.

45.如图，在直角梯形OABC中，BC〃AO,NAOC=90。，点A,B的坐标分别为

(5,0),(2,6),点D为AB上一点，且BD=2AD,双曲线y=N(k>0)经过点

X

D,交BC于点E.

(1)求双曲线的解析式；

(2)求四边形ODBE的面积.

46.如图，在平面直角坐标系中，直线I与x轴相交于点M,与y轴相交于点N,

《△MON的外心为点A(W,-2),反比例函数y=k(x>0)的图象过点A.

2x

(1)求直线I的解析式；

(2)在函数y=K(x>0)的图象上取异于点A的一点B,作BC±x轴于点C,

X

连接OB交直线I于点P.若AONP的面积是△OBC面积的3倍,求点P的坐标.

47.如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别

落在反比例函数y=K图象的两支上，且PB_Lx于点C,PA_Ly于点D,AB分别与

X

X轴，y轴相交于点E、F.已知B(1,3).

(1)k=；

(2)试说明AE=BF；

(3)当四边形ABCD的面积为2L时，求点P的坐标.

48.如图①，直角三角形AOB中，ZAOB=90°,AB平行于x轴，0A=20B,AB=5,

反比例函数行K（x>0）的图象经过点A.

X

（1）直接写出反比例函数的解析式；

（2）如图②，P（x,y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1VXV8,连接

0P,过点。作0QL0P,且0P=20Q,连接PQ.设点Q坐标为（m,n）,其中

m<0,n>0,求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m,1）,求APOQ的面积.

49.如图，点A、B分别在x,y轴上，点D在第一象限内，DC±x轴于点C,A0=CD=2,

AB=DA=J^,反比例函数y=K（k>0）的图象过CD的中点E.

x

（1）求证：△AOB丝Z\DCA；

（2）求k的值；

（3）aBFG和4DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是

否在反比例函数的图象上，并说明理由.

y=K(x>0,k是常数)的图象经过点A(1,4),点

x

B(m,n),其中m>l,AM，x轴，垂足为M,BN，y轴，垂足为N,AM与BN

的交点为c.

(1)写出反比例函数解析式;

(2)求证：△ACBs^NOM；

(3)若4ACB与△NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析

O\MX

2018年07月03日初中数学3的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

’工（x>0）

1.已知函数丫=x的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过

4<0）

X

点P作y轴的垂线交图象于A,B两点，连接OA、OB.下列结论：

①若点Mi（xi，yi）,M2（X2,V2）在图象上，且xi〈x2V0,则yi〈y2；

②当点P坐标为（0,-3）时，^AOB是等腰三角形；

③无论点P在什么位置，始终有SMOB=7.5,AP=4BP；

④当点P移动到使/AOB=90。时，点A的坐标为（2遍，一遍）.

其中正确的结论个数为（）

【分析】①错误.因为X1VX2V0,函数y随x是增大而减小，所以皿>丫2；

②正确.求出A、B两点坐标即可解决问题；

③正确.设P（0,m）,则B（3,m）,A（-11,m）,可得PB=-3,PA=-

IDIDinID

推出PA=4PB,SAOB=SAOPB+SAOPA=3+丝=7.5；

22

④正确.设P（0,m）,则B（A,m）,A（-以，m）,推出PB=-W,PA=-丝,

IDIDIDID

0P=-m,由△OPBs^APO,可得OP2=PB・PA,列出方程即可解决问题；

【解答】解：①错误.•••xi<X2<0,函数y随x是增大而减小，

.,.yi>y2,故①错误.

②正确.VP(0,-3),

/.B(-1,-3),A(4,-3),

/.AB=5,OA=^y2=5,

AAB=AO,

•••△AOB是等腰三角形，故②正确.

③正确.设P(0,m),则B(W»,m),A(-m),

inin

APB=-A,PA=-H,

IDID

APA=4PB,

SAOB=SAOPB+SAOPA=—+-^^=7.5,故③正确.

22

④正确.设P(0,m),则B(3,m),A(-丝，m),

mm

.\PB=-XPA=-H,OP=-m,

mm

VZAOB=90°,ZOPB=ZOPA=90°,

.,.ZBOP+ZAOP=90°,NAOP+NOAP=90°,

/.ZBOP=ZOAP,

.'.△OPB^AAPO,

•••OP_LPB,

APOP

，OP2=PB・PA,

m2=-—•(--lA),

mm

/.m4=36,

Vm<0,

/.m=-泥，

:.A(2通，-灰)，故④正确.

二②③④正确，

故选：C.

y

X

【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相

似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

2.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数yj•的图象交点的横坐

X

标，则方程x3+2x-1=0的实根X。所在的范围是（）

A.Q<„B.<—C.<上D.<1

【分析】首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与尸上的图象

X

交点的横坐标，再根据四个选项中X的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图

象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断

方程x3+2x-1=0的实根x所在范围.

【解答】解:方程X3+2X-1=0,

x2+2=—,

,它的根可视为y=x2+2和1的图象交点的横坐标，

X

当x=L时，y=x2+2=2」^,y=L=4,此时抛物线的图象在反比例函数下方;

416x

当x=Ut，y=x2+2=2L,y=^3,此时抛物线的图象在反比例函数下方；

39x

当*=1时，y=x2+2=2^,y=£2,此时抛物线的图象在反比例函数上方；

24x

当x=l时，y=x2+2=3,y=£l,此时抛物线的图象在反比例函数上方.

X

故方程x3+2x-1=0的实根X所在范围为：l<x<X

32

故选：C.

【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题，

同学们要注意分析其中的“关键点"，还要善于分析各图象的变化趋势.

3.如图，在直角坐标系中，正方形0ABe的顶点0与原点重合，顶点A、C分别

在x轴、y轴上，反比例函数打四（kWO,x>0）的图象与正方形的两边AB、BC

X

分别交于点M、N,ND_Lx轴，垂足为D,连接OM、ON、MN.下列结论：

①△OCN四△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若/

MON=45。，MN=2,则点C的坐标为（0,&+1）.

其中正确结论的个数是（）

【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到SAONC=SAOAM=lk,即

LOC・NC=1JOA・AM,而OC=OA,则NC=AM,在根据"SAS”可判断△OCN0△OAM；

22

根据全等的性质得到ON=OM,由于k的值不能确定，则NMON的值不能确定，

无法确定△ONM为等边三角形，则ONWMN；根据SAOND=SAOAM=1J<和SAOND+S

四边形DAMN=SaOAM+SzJ3MN,即可得至S四边形DAMN=SAOMN;作NE10M于E点，则^ONE

为等腰直角三角形，设NE=x,则0M=0N=J5<,EM=V5<-x=（a-1）x,在Rt

△NEM中，利用勾股定理可求出X2=2+&,所以OM=（扬）2=4+2&,易得△

BMN为等腰直角三角形，得至UBN=^MN=&,设正方形ABCO的边长为a,在

RtAOCN中，利用勾股定理可求出a的值为扬1,从而得到C点坐标为（0,扬1）.

【解答】解：•.•点M、N都在y=K的图象上，

X

/.SAONC=SAOAM=-^J<>SP-1.0C*NC=—OA*AM,

222

•.•四边形ABC。为正方形，

AOC=OA,ZOCN=ZOAM=90",

；.NC=AM,

/.△OCN^AOAM,所以①正确；

.*.ON=OM,

•••k的值不能确定，

AZM0N的值不能确定，

...△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形,

...ONWMN,所以②错误；

•S/、QND=SAOAM="^"k，

2

而SAOND+S四边形DAMN=SAOAM+S^OMN，

，四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；

作NE±OM于E点，如图，

VZMON=45°,

.•.△ONE为等腰直角三角形，

/.NE=OE,

设NE=x,则0N=V2x-

OM=V5<,

.,.EM='/^x-x=(&-1)x,

在RtaNEM中，MN=2,

VMN2=NE2+EM2,EP22=x2+[(a-1)x]2,

•，.X2=2+^/2>

0N2=(J^x)2=4+2

VCN=AM,CB=AB,

.\BN=BM,

•••△BMN为等腰直角三角形,

.BN=^JVIN=&,

2

设正方形ABCO的边长为a,则OC=a,CN=a-

在RtAOCN中，VOC2+CN2=ON2,

•'•a2+(a-\[2)2=4+2、历,解得ai="\历H,az=_1(舍去),

AOC=V2+1,

...c点坐标为(0,扬1),所以④正确.

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、

比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性

质进行几何计算.

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两

点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线尸四（k#0）上.将

X

正方形沿X轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值

A.1B.2C.3D.4

【分析】作CE±y轴于点E,交双曲线于点G.作DF±x轴于点F,易证△OAB

^△FDA^ABEC,求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的

坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则a

的值即可求解.

【解答】解：作CE，y轴于点E,交双曲线于点G.作DFLx轴于点F.

在y=-3x+3中，令x=0,解得：y=3,即B的坐标是（0,3）.

令y=0，解得：x=l,即A的坐标是（1,0）.

则OB=3,OA=1.

VZBAD=90°,

/.ZBAO+ZDAF=90°,

又,直角AABO中，ZBAO+ZOBA=90°,

/.ZDAF=ZOBA,

•.,在△OAB和4FDA中，

"ZDAF=Z0BA

-NB0A=NAFD，

,AB=AD

.,.△OAB^AFDA（AAS）,

同理，△OAB之4FDA0ZXBEC,

，AF=0B=EC=3,DF=OA=BE=1,

故D的坐标是（4,1）,C的坐标是（3,4）.代入y=K■得：k=4,则函数的解析

X

式是：y=A.

x

AOE=4,

则C的纵坐标是4,把y=4代入y=_l得：x=l.即G的坐标是（1,4）,

x

ACG=2.

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函

数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键.

5.如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、B

两点，若反比例函数y=K(x>0)的图象与AABC有公共点，则k的取值范围是

A.24W9B.24W8C.2WkW5D.5WkW8

【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比

例函数图象与aABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取

到最大值，根据直线y=-x+6,设交点为(x,-x+6)时k值最大，然后列式利

用二次函数的最值问题解答即可得解.

【解答】解：•••点C(1,2),BC〃y轴，AC〃x轴，

当x=l时，y=-1+6=5>

当y=2时,-x+6=2,解得x=4,

.,.点A、B的坐标分别为A(4,2),B(1,5),

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=lX2=2最小，

设反比例函数与线段AB相交于点(x,-x+6)时k值最大，

则k=x(-x+6)=-x2+6x=-(x-3)2+9,

Vl<x<4,

.,.当x=3时，k值最大，

此时交点坐标为（3,3）,

因此，k的取值范围是2WkW9.

故选:A.

【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看

似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的

最值问题解答是解题的关键.

6.如图，两个反比例函数尸马口尸上的图象分别是k和岳设点P在k上，PC

XX

_Lx轴，垂足为C,交L于点A,PD，y轴，垂足为D,交L于点B,则三角形PAB

的面积为（）

2

【分析】设P的坐标是（a,工），推出A的坐标和B的坐标，求出/APB=90。,

a

求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可.

【解答】解：•••点P在y=上上，

X

IXp|Xyp|=|k|=l,

...设P的坐标是（a,±）（a为正数），

a

•.•PA，x轴，

，A的横坐标是a,

0A在y=-2上,

X

；.A的坐标是（a,-2）,

VPB±yft,

•；B在y=-2上,

.•.代入得：1^-1,

ax

解得：x=-2a,

AB的坐标是(-2a,A.),

/.PA=|--(--)|=—,PB=a-(-2a)|=3a,

aaa

•.•PA，x轴，PB_Ly轴，x轴，y轴，

/.PA±PB,

...△PAB的面积是：1PAXPQ=LX3a=2.

22a2

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的

坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目.

7.如图所示，已知A(1,yi),B(2,y2)为反比例函数y=工图象上的两点，

2x

动点P(x,0)在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点

P的坐标是()

OPx

A.(1,0)B.(1,0)C.泣，0)D.芭，0)

2

【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐标代入求

出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在4ABP中，|AP-BP|V

AB,延长AB交x轴于*当P在P，点时，PA-PB=AB,此时线段AP与线段BP

之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可.

【解答】解：•.♦把A(1,yi),B(2,y2)代入反比例函数y=L得：y1=2,丫2=工,

2x2

AA(工2),B(2,L),

22

•.•在4ABP中，由三角形的三边关系定理得：AP-BP|<AB,

，延长AB交x轴于P，，当P在，点时，PA-PB=AB,

即此时线段AP与线段BP之差达到最大,

设直线AB的解析式是y=kx+b,

2』

k+b

把A、B的坐标代入得：2

*2k+b

解得:k=-1,b=—,

2

直线AB的解析式是y=-x+1,

2

当y=0时,x=—,

2

即P(1,0),

2

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式

的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度.

8.如图，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数尸1&〉0)图

X

象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M,交AB于点E,

过点P作y轴的垂线，垂足为点N,交AB于点F.则AF・BE=()

A.8B.6C.4D.6A/2

【分析】首先作辅助线：过点E作EC±OB于C,过点F作FD±OA于D,然后

由直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，求得点A与B的坐标，则可得OA=OB,

即可得△AOB,△BCE,△ADF是等腰直角三角形，则可得

AF・BE=&CE•叵F=2CE・DF,又由四边形CEPN与MDFP是矩形，可得CE=PN,

DF=PM,根据反比例函数的性质即可求得答案.

【解答】解：过点E作ECLOB于C,过点F作FDLOA于D,

•直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，

AA(6,0),B(0,6),

AOA=OB,

/.ZAB0=ZBA0=45o,

ABC=CE,AD=DF,

VPM1OA,PN10B,

/.四边形CEPN与MDFP是矩形，

；.CE=PN,DF=PM,

•••P是反比例函数尸&(x>0)图象上的一点，

X

APN*PM=4,

ACE*DF=4,

在RMBCE中，BE=—壁—=V2CE,

sin450

在RSADF中，AF=_5E__=®F,

sin45

.••AF・BE=V^CE・&DF=2CE・DF=8.

故选：A.

【点评】此题考查了反比例函数的性质，以及矩形、等腰直角三角形的性质.解

题的关键是注意数形结合与转化思想的应用.

9.如图，直线I是经过点（1,0）且与y轴平行的直线.Rt^ABC中直角边AC=4,

BC=3.将BC边在直线I上滑动，使A,B在函数打片的图象上.那么k的值是（）

X

o-kx

।

A.3B.6C.12D.至

4

【分析】过点B作BM±y轴于点M,过点A作AN_Lx轴于点N,延长AC交y

轴于点D,设点C的坐标为（1,y）,根据反比例函数上的点向x轴y轴引垂线

形成的矩形面积