力学大会2015集含单个流体夹杂无限大问题解析的

黄拳章1，武文明1，1，2，（1.第二兵工程大学动力工程系，西安710025；2.第二兵工程大学装备管理工程系，西安换法导外荷用夹内压的解现ahnv出力解一致随将圆圆形采复函级位形的性学法到导ahnvahnv关于椭形体杂部力析的导程解本的导行对分析了号O343文献标志码(ID)但这些方法还不能直接应用于含体的情况由于流体的渗流扩散和蒸发是一个非常漫长而复杂的过时间内可认为孔隙中的流体质量保持不变对于材料的短期响应认为压现为压力极化现象[1]么压力究竟如何分布ybqax的长、短半轴分别为a和b，第一和第二主应力分别为σ1和σ2，其中σ1的方向与x轴正方向的夹角为α。其中，流体ybqaxq

式中，λb/a为椭圆的长细E和ν分别为平面应变状态下基体的弹性模量 q 采用保角变换方法，将物理平面z内的椭圆变换为像平面ζ上的单位圆，然后求出复函数ϕ(ζ)和ψ(ζ)，进而可求得含椭圆形流体夹杂无限大平面问题的位ζω'(ζ) ω(ζ)

(zω(ζ)R(1Rab2

maba

当σ1σ2p时，把椭圆的流体压力q作为内边界条件，从而可求得复uρ 4Gρ1m22mcos2θ 到原物理平面内椭圆孔边界的径向和环向位移。将式（5）中径向位移uρ在单位圆S0

p

2

1 12q2κq1 4m 4m 1mEθ,

2 1m 1m 4m 4mFθ1m2Eθ1m2分别为第一类和第二类完全椭圆积 其函数形式如下 πEθ,k21k2sin2θ0

（k 假定的流体为线性可压缩的均匀无粘流体，根据文献[3-4]，V/V 其中，V和V分别表示流体夹杂的体积和体积变q和κ分别表示流体S/S

θθ

4m1m2q 4m

2

1κ1mRθ1m2

4m1 当m0时，椭圆孔成圆孔，式(10)可写q1κ2

\*MERGEFORMAT图1中流体夹杂为半径为ra的圆形，其他条件不变。设圆孔边界给定的外载荷为σrτrθ，其正方向的规定如图2所示。yrrroθxq图2ϕ(z)AlnzAzazk kψ(z)BlnzBzbzk k

\*MERGEFORMAT,ARxiRy Bκ(RxiRy \*MERGEFORMAT A1(σσ B1(σσ \*MERGEFORMAT 式（12）中的系数ak和bk，可由孔边界的给定载荷或位移约束的分布规律来确定。在极坐标下，应力组合[5,7]可表示为：

\*MERGEFORMATi \*MERGEFORMAT 将式（16）的等号左端展开成复三角级数i

C

\*MERGEFORMAT 2π 将式（12）z求

σ ϕ'(z)Azm ψ'(z)B \*MERGEFORMAT 其中，式（12）中的系数akAm/kbkBmkkm1(m2)。将式（17）式）分别代入式（16）的左右两端，并注意到孔边ztreiθCeimθ

(1m)ABm21m

m0 r2 \*MERGEFORMATAmeimθBe2iθB1m0 令上式等号两边eimθ(m各项的系数对应正幂m AAB2C r m A1B1Cm

A2

C \*MERGEFORMATr m AmC 负幂m 1

Bm2C 求解如图1所示含圆形流体夹杂的无限大平面问题，可将流体内部压力q为固体域内孔边界的力边界条件，联合外力边界条件，通过（13）、（14）、），可求出式（12）中复函数ϕ(z)和ψ(z)中的系数，从而根据位移组合（3）求孔边界位1

2σu (κ1)(σσ)r 2

a( a 1 a+ [a(κ1)r3](σ1σ2)cos \*MERGEFORMAT4G u=11a2(κ1)ra4](σσ)sin 4G 当σ1σ2p时，在ra的圆孔边界上，径向位移为u1(κ1)pa 1

\*MERGEFORMAT 1[(κ1)pS \*MERGEFORMATS

\*MERGEFORMAT由式（24）可以看出，含液圆的压力q的大小仅与无穷远处主应力的大小GE2(1ν代入（11）以后，两者的表达式是一样的，这足也说明3.1节的推导确性。如图3所示，外径为b、内径为a的厚壁圆筒中含有线性可压缩，在固体基体的外边界上作用均匀压p。由于受外边界压p的作用，在流体内部产生了压力q。 去除的流体，保留外边界面力p，并在孔的内边界上施加面力p；子问题：去除的流体，仅在内边界上作用表面力p，外边界没有任何面力作用；qpba：去除的流体，仅在内边界上作用表面力qqpba 图3d 1 r rr \*MERGEFORMATdr r r1积应变分别为θha)、θhb和θhc)1 2 E

b2a2

\*MERGEFORMAT b2a2则图3中圆孔的体积应变为2p1 b2a2

\*MERGEFORMAT根据式（8）可得流体压力为q

\*MERGEFORMAT当外径b趋近于无穷大时，式（28）对应平面应变情况的流体压力为q \*MERGEFORMAT力为σ，由此使流体产生的未知压力为q。根据叠加原理，可将该问题分解(a)：去除的流体，保留远场应力σ，边界作用表面力σN，其中N为内孔表面外法线方向的单位矢量，背离材料方向（指向）。子问题 去除的流体，内边界作用表面力σN，外边界不再作用任何面力；子问题(c)：去除的流体，内边界作用表面力qN，外边界不再作用任何面力.σσσ 图4 tr(σ) \*MERGEFORMAT θ子(b中，孔的体

h,(b)为θh,(b)tr(H: \*MERGEFORMATH为孔的柔度张量[2]类 θh,(c)tr(H:qI)qtr(H:I \*MERGEFORMATI为二阶单位张tr(σ)tr(H:σ)qtr(H:Itr(σ)tr(H:σ)qtr(H:I)κq.椭圆孔的柔度张H的具体形式为[2H1[(2λ)eeee(2λ2λ)eee

\*MERGEFORMAT\*MERGEFORMAT 222 1111(1λ)2(ee+ee)(ee+ee)λ(eeee+eeee 1 2 1 2 112 221其中，λb/a为椭圆的短半轴b与长半轴a的比值，e1和e2分别为坐标系当椭圆孔远场应力状态为σσP时，相当于单向受力状态下α0o α90o两种情况的叠加，此时的压力为q

\*MERGEFORMAT当λ1时，式（36）就为含圆形流体夹杂情况体压力的解q62ν'p(68ν)(1ν)p.4κE' 4(1ν2)κE

\*MERGEFORMAT tr(σ)2p1ν

\*MERGEFORMAT

2(1ν)

\*MERGEFORMAT

p

Ep 2(1ν)

4q \*MERGEFORMATθh,(c)1

q

E 由式（39）和（40）可以看出对问题图4(b)和图4()Khnv采用细观力学方法得到体积应变比本文通过弹性力学基本方程得到的体积应变p和压力q引起的孔的附加应变。的原可是1 0 从图5中可以看出，当Eκ1时，Kachanov的解小于本文推导的解析解，而当Eκ比较大时，Kachanov的解大于解析解，当ν0.5时两种解答总是相等。从式（39）较大时 压力与外界压力的比值qp就相应变大，当基体材料不可压缩ν0.5）时qp一般解，将椭圆形流体夹杂成圆形以后，采用复变函数级数法推导了问题的解答的详细实现过程，并将该解和本文的解答进行了对照分析，了可能的原ZimmermanR.CompressibilityofSandstones[M].Amsterdam,ElsevierSciencePublishers,1991.KachanovM.Elasticsolidswithmanycracksandrelatedproblems[M].InAdvanceinAppliedMechanics,1993,30:259-445.KachanovM,TsukrovI,ShafiroB.Materialswithfluid-saturatedcracksandcavities:Fluidpressurepolarizationandeffectiveelasticresponse[R].InternationalJournalofFracture,1995,73:R61-R66.ShafiroB,KachanovM.Materialswithfluid-filledporesofvariousshapes:Effectiveelasticpropertiesandfluidpressurepolarization[J].InternationalJournalofSolidandStructures,1996,34(27):3517-3540.万,.弹性理论基础下册(第二版) 微积分学