导数的概念,导数几何意义

关于导数的概念,导数几何意义第1页，课件共37页，创作于2023年2月自由落体运动中，物体在不同时刻的速度是不一样的。平均速度不一定能反映物体在某一时刻的运动情况。物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。第2页，课件共37页，创作于2023年2月例1、自由落体运动的运动方程为s=-gt2，计算t从3s到3.1s，3.01s

，3.001s

各段时间内的平均速度（位移的单位为m）。12解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m)第3页，课件共37页，创作于2023年2月所以同理第4页，课件共37页，创作于2023年2月例1是计算了[3，3+△t]当t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。上面是计算了△t>0时的情况下面再来计算△t<0时的情况解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)=0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)第5页，课件共37页，创作于2023年2月所以设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则第6页，课件共37页，创作于2023年2月当△t→0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g△t>0

v△t<0v0.13.05g-0.12.95g0.013.005g-0.012.995g0.0013.0005g-0.0012.9995g--

各种情况的平均速度第7页，课件共37页，创作于2023年2月在t=3s

这一时刻的瞬时速度等于在3s

到(3+△t)s

这段时间内的平均速度当△t→0的极限，第8页，课件共37页，创作于2023年2月

设物体的运动方程是s=s(t),物体在时刻t

的瞬时速度为v,一般结论就是物体在t

到t+△t

这段时间内,当△t→0时平均速度的极限，即第9页，课件共37页，创作于2023年2月让我们再来看一个例子第10页，课件共37页，创作于2023年2月P相切相交再来一次例２、第11页，课件共37页，创作于2023年2月PPnoxyy=f(x)割线切线T当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.第12页，课件共37页，创作于2023年2月切线Pl

能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。不能xyo直线与圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线。所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。第13页，课件共37页，创作于2023年2月

圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

第14页，课件共37页，创作于2023年2月xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？

即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，第15页，课件共37页，创作于2023年2月一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是第16页，课件共37页，创作于2023年2月上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数记作：或即注意：1、函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。

第17页，课件共37页，创作于2023年2月2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0可正、可负，但不为0，而△y可能为0。3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0及其附近的函数值有关，与△x无关。4、若极限不存在，则称函数在点x0处不可导。第18页，课件共37页，创作于2023年2月

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.

故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:导数的几何意义第19页，课件共37页，创作于2023年2月导数可以描述任何事物的瞬时变化率．瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增长率，经济学上讲的一切边际量等．第20页，课件共37页，创作于2023年2月例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15(0x8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。解：第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率就是f'(2)和f'(6)根据导数定义：第21页，课件共37页，创作于2023年2月所以，同理可得

f

'(6)=5f(x)=x2-7x+15第22页，课件共37页，创作于2023年2月

f

'(6)=5说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速度上升；说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速度下降；第23页，课件共37页，创作于2023年2月练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为h(t)=v0t--gt2,求物体在时刻t0时的瞬时速度。12第24页，课件共37页，创作于2023年2月所以物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.第25页，课件共37页，创作于2023年2月练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s).若质点在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。a=2第26页，课件共37页，创作于2023年2月由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：(2)求平均变化率(3)取极限,得导数(1)求函数的增量第27页，课件共37页，创作于2023年2月例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.导数的几何意义的应用第28页，课件共37页，创作于2023年2月二、函数的导数：第29页，课件共37页，创作于2023年2月（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,

就是函数f(x)的导函数。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。第30页，课件共37页，创作于2023年2月练习:如图,已知曲线,求:

(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.

yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.第31页，课件共37页，创作于2023年2月练：设f(x)为可导函数,且满足条件,

求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.故所求的斜率为-2.导数的几何意义的应用第32页，课件共37页，创作于2023年2月xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T继续观察图像的运动过程，还有什么发现？第33页，课件共37页，创作于2023年2月第34页，课件共37页，创作于2023年2月第35页