高中数学人教A版必修5第一章解三角形知识小结+测试题-经典附答案

人教A版必修五解三角形（一）、学问总结：学问梳理1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△==Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的状况，其推断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<ba>bsinA两解无解无解a=bsinA一解a<bsinA无解8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形态推断的思路，主要从边或角两方面入手.（二）巩固练习一单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1.△ABC中，，，，则等于（）ABC或D或2.△ABC中，，则△ABC肯定是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形3.已知△ABC中，，，，则等于（）ABCD4.△ABC中，，，，则最短边的边长等于（）ABCD5.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()A90°B120°C135°D150°6.△ABC中，，，则△ABC肯定是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形7.△ABC中，∠A=60°,a=EQ\r(,6),b=4,则满意条件的△ABC()A有一个解B有两个解C无解D不能确定8.△ABC中，若，，则等于（）A2BCD9.△ABC中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（）ABCD10.假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形态为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度确定11在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（

）A.米B.米C.200米D.200米12海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(

)

A.10海里

B.5海里

C.5海里

D.5海里二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC中，已知，，，则边长。14.在△ABC中，假如，则等于。15.在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是。16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为。三、解答题：（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17（本题12分）在△ABC中，已知，，试推断△ABC的形态。18（本题10分）在△ABC中，已知边c=10,又知，求边a、b的长。19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的两根，角A、B满意：2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。20（本题12分）在奥运会垒球竞赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，依据阅历及测速仪的显示，通常状况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）参考答案选择题（）123456789101112CBDABBADBDDCCCACAC二、填空题（）13、或1415、16、三、解答题17、（本题8分）解：由正弦定理得：，，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，△ABC为等边三角形。18、（本题8分）解：由，EQ\F(sinB,sinA),可得，变形为sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π－2B,∴A+B=.∴△ABC为直角三角形.由a2+b2=102和，解得a=6,b=8。19、（本题9分）解：由2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，得sin(A+B)=EQ\F(\r(,3),2),∵△ABC为锐角三角形∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的两根，∴a+b=2EQ\r(,3),∴c=EQ\r(,6),=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r(,3),2)。a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=EQ\r(,6),=EQ\F(1,2)×2×EQ\F(\r(,3),2)=EQ\F(\r