华师计算机数学软件复习题

华师《计算机数学软件》复习题一、选择题1.数列有界是数列收敛的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要.当xf1时，下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是()x2-1x3-1(x-1)2sin(x-1).当lxl<1时，y= 一工口 ()A.是连续的B.无界函数C.有最大值与最小值D.无最小值4.设f(x)在(-8,+*有定义，则下列函数为奇函数的是()A.y=f(x)+f(―x)Ay=f(x)+f(—x)B.C.DB.C.D.y=x[f(x)-f(—x)_y=x3f(x2)y=f(-x)・f(x)B.y=x[f(x)-f(-x)5,设fQ2)=x4+x2+1,则尸(1)=()C.-1D.-3.设fG)=ln(1+x),则f(5)(Q=()TOC\o"1-5"\h\z4! -4!A.(1+x} B•(i+%>5! -5!C (1+x0 口。J+%>.设f(x)为可导偶函数，且gG)=f(cox),则g(g]=()12\o"CurrentDocument"A.0 B.1C.-1 D.2f.1x\ xsin—八 八.f(x)=<x,x中0，在x=0处()0,x=0A.极限不存在 B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导但不连续fx2+1,x<1.设f(x)=^ 在x=1可导，则a,b为()[ax+b,x>1A.a=-2,b=2 b.a=0,b=2C.a=2,b=0D.a=1,b=1.假设A是n阶方阵，其秩y<n，那么在A的n个行向量中（）A.必有r个行向量线性无关.B.任意r个行向量线性无关.C.任意r个行向量都构成最大线性无关向量组.D.任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表出..n维向量组a1,a2,,aJ3<s<n)线性无关的充分必要条件是()A.存在一组不全为零的数k,k,,k,使ka+ka+ka丰0.1 2 s11 22 ss••・a1,a2,,as中任意两个向量都线性无关.••••••a「a2,,as中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.•••a「a2,,as中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.•••.设A是mxn矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解.B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解.C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解.D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解..设离散型随机变量X的分布律为：P(X=k)=b入k(k=1,2)，且b>0，则入为()。A. ；B. ；C.b+1；D.大于零的任意实数。…b+1b-1.非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为「，则()r=m时,方程组Ax=b有解.r=n时,方程组Ax=b有惟一解.m=n时,方程组Ax=b有惟一解.r<n时,方程组Ax=b有无穷多解..设A,B为n阶方阵，满足等式AB=O，则必有()A=O或B=O.A+B=O.|A|二O或|B|=O.

d.|川+B=o.二、计算题,一,44+x26—x,,, ,.求函数f=—3—+—§—的极大值与极小值。（只需写出求解需要的mathematica程序即可）.在x2+J2y2《兀的范围内，求函数f=ex2—九y的极大值和极小值。（只需写出求解需要的mathematica程序即可）.在1,100001的范围中，有多少个p使得（p—1）!+1能被p整除？（只需写出求解需要的mathematica程序即可）4,已知limx=a,limx=a，证明limx=a；n-82n n-8n++1 nf8n「xn—an.求极限：lim （a丰0）x—ax2—a2x66.证明：当x-0时，一^=是x的多少阶无穷小；1—Xcosx2.求下列极限：lim&x+p）（x+q）—xx-+8.求下列极限：「2arctanx+sin2x—1+cosxsin(sinx)+2sin(sinx)+2x3.证明下列极限:设V%总有|/。)|«X2,求证：lim2=0；%fox.求下列极限：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"limx=lim(11 +/1 + +, )«->oonns+1 +2 Qn2+一x•一.求/(x)=lim(x—〃)arctan(一)”,(a>1)00 Q.已知x=2,x=2+一,…，x=2+—,证明limx存在，并求其值。1 2 % 用 X i及1 n13.讨论/(x)在兀=。处的连续性:(cosX)升2a14.设Q14.设Q>0,i=1,2,

i,k,求lim(am1 2ns4.〃")rz

k15.若(pQ)15.若(pQ)在处连,续，/Q)=Q—〃lpQ),.求/Q).参考答案一、选择题1-5：BDDCC6〜10：AACCA11〜15：DDAAC

二、计算题1.6一x

~1T解：参考6一x

~1T1)f[x_]=2)D[f[x],x]3)Solve(f[x]==0)通过以上程序可以求得函数的一阶导数，令一阶导数为0,将求得的解代入原函数方程即可得到函数的极大值与极小值。解：解答本题可以首先利用mathematica函数画出二元函数的图象，根据图象可以得到函数的极大值和极小值。参考mathematica程序如下所示：1)f[x_,y_]=ex2-兀y2)x2+22y2<K3)Plot[f[x_,y_],x2+2yy2<兀]解：本题可利用的函数包括：1)Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)。2)Solve[方程，变元]，解方程函数。参考mathematica程序如下所示：Solve[Mod[(p一1)!+1,p]==0,{p,1,10000}]使得(P-1)!+1能被P整除也就是求解当p在1,100001的范围中变化时Mod[(p-1)!+1,p]==0的解。4.3N，当2>>2N时，有|x一3N，当2>>2N时，有|x一a|<s；nf8由于limx =由于limx =a，Vs>0，3N，当2n+1>2N+1时，有|x取N=取N=max{2N,2N+1},则当n>N时，有x一a<s，即limx=anf85.TOC\o"1-5"\h\zXn一an (x一a)(Xn-1+axn-2++an-2x+an-1)nan-1 n解：lim =lim = =—an-2xfax2-a2 x-a x2-a2 2a 26.x6 (1+\'cosx2)x6 2x6 ，解：一=- --j =4x2(xf0)是x的二阶无穷小1-V'COSx2 1-C0Sx2 2(x2)27.解：原式=lim(x+解：原式=lim(x+p)(x+q)-x2xf+8v;(x+p)(x+q)+xlim(P+q)xxf+88.2arctanx2x =lim——sin(sinx) xf2arctanx2x =lim——sin(sinx) xf0x解：原式=5.、， =limxf0Sin(sinx)+o(x) x-09.证：因为If(x)|<x2，即-x2<f(x)<x2当x>0时，-x<f(x) <x , lim(-x) =limx= 0 n limf(x)=0x xf0+ xf0+ xf0+x当x<0时，x<f(x)<-x , lim(-x) -limx= 0 n limfx)二0x xf0- xf0- xf0-x由夹逼定理知limf(x)=0xf0x10.解：k=11 <nn2+knn2+111.解：lim,nn—8n2+n=1,lim—n—8v',=1nlimx=1n-8n- - .. X、 --当x<-a时，limarctan(—)n不存在;X当一a<x<a时，limarctan(—)n=0；X当x=a时，f(x)=lim(x-a)arctan(—)n=0；n—8X、 兀当x>a时，limarctan(—)n=一'不存在0n—8 '不存在0 ，x、n-8综上所述，f(X)=lim(X-a)arctan(-)n=n-8兀(X—a)/212.解：若极限存在lim解：若极限存在limxn=A,n—8，则limx =lim(2+')，即n+1 Xn—8 n—8 人nx=x=2+—>2n+1 Xn则Vs>0A=1+y2,A=1—%；2(舍去)存在性：由于A=1+v'2=2+—>2AX-A|=(2+nXn-1)-(2+A)Xn-1|A-x

= n-1XA

n-1X-n—14243<t1244n-1_|2—(1+V2)|_1—虎|_0-14n-14n-14n-1<6..（当n足够大时）由极限定义知limx=A=1+72nn-813.解：lim(cosx)x-2=lim(1+cosx-1)x-2=e一X-0(c0sx-1)厂2=e一X-02x2厂2=e-\故当f(0)=a=e=时，f(X)在x=0处连续.解：设a=max{a},则14vk1nanan+an+ +an0<n^an+an+ +an-a<a(nk-1)lima(